34 Lineare Abbildungen

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1 34 Lineare Abbildungen 34 Motivation Wir haben wichtige Eigenschaften von Vektorräumen kennen gelernt Damit ist es sinnvoll zu untersuchen, wie Abbildungen zwischen Vektorräumen aussehen können Die wichtigsten Abbildungen zwischen Vektorräumen sind lineare Abbildungen Der asisbegriff bildet ein wichtiges Werkzeug zur eschreibung linearer Abbildungen 34 Definition Es seien U, V zwei K-Vektorräume Eine Abbildung f : U V heißt lineare Abbildung (Vektorraumhomomorphismus), wenn gilt: a) f(u + v) f(u) + f(v) für alle u, v U b) f(λu) λf(u) für alle λ K, u U U und V heißen isomorph, wenn es eine bijektive lineare Abbildung f : U V gibt Wir schreiben hierfür U V emerkung: Die egriffsbildung ist ähnlich wie bei Gruppen (vgl 90): Ein Vektorraumhomomorphismus überführt die Verknüpfungen in U (Addition, skalare Multiplikation) in die Verknüpfungen in V Man fasst oft (a) und (b) in eine edingung zusammen: f(λu + µv) λf(u) + µf(v) λ, µ K, u, v U, d h Linearkombinationen in U werden in solche in V überführt 343 eispiele a) Die Abbildung f : IR 3 IR, ( ) x x + x 44

2 ist linear, denn y λ + µy f λ x + µ y f λx + µy y 3 λ + µy 3 ( ) (λx + µy ) + (λ + µy 3 ) (λx + µy ) ( ) ( ) x + y + y 3 λ + µ x y y für alle x, y IR 3 und alle λ, µ IR y 3 y λf x + µf y y 3 b) f : IR IR, x x + ist keine lineare Abbildung, denn f(0 + 0) f(0) + f(0) + ( ) ( ) c) f : IR IR x x, ist ebenfalls nicht linear, da x f ( x ( )) ( ) 4, f (( )) ( ) ( ) 344 Weitere egriffe Analog zu 90 definiert man auch für Vektorräume Monomorphismen, Epimorphismen, Isomorphismen, Endomorphismen und Automorphismen In Analogie zu 9 ist für einen Homomorphismus f : U V Im(f) : {f(u) u U} das ild von f, Ker(f) : {u U f(u) 0} der Kern von f 45

3 345 Satz: Eigenschaften linearer Abbildungen a) Ist f : U V ein Isomorphismus, so ist auch die Umkehrabbildung f : V U linear b) Die lineare Abbildung f : U V ist genau dann injektiv, wenn Ker(f) {0} ist c) Ist f : U V linear, so ist Ker(f) ein Unterraum von U und Im(f) ein Unterraum von V d) Es gilt dim Ker(f) + dim Im(f) dim U 346 eispiel Wir betrachten die lineare Abbildung Ker(f) x f : IR 3 IR, ( ) x x 0 ist eine Ebene durch den Ursprung in IR3 (und somit ein zweidimensionaler Unterraum des IR 3 ) {( ) } x Im(f) IR x IR ist eine Gerade durch den Ursprung in IR (und 0 somit ein eindimensionaler Unterraum des IR ) Es ist dim Ker(f) + dim Im(f) + 3 dim(ir 3 ) Weiteres eispiel: Abbildung f : IR 3 IR aus 343a Man überzeugt sich davon, dass dim Ker(f), dim Im(f) 46

4 Welche Rolle spielen asen bei der eschreibung linearer Abbildungen? Hierzu betrachten wir zunächst asisdarstellungen von Vektoren 347 Satz: Eindeutigkeit der Darstellung in einer festen asis Es sei : {b,, b n } eine geordnete asis des K-Vektorraums V Dann gibt es zu jedem Vektor v V eindeutig bestimmte Elemente,, x n K mit v x i b i Diese x i heißen Koordinaten von v bezüglich Wir schreiben v x n eweis: Die Existenz der Darstellung ist klar wegen V span() Zu zeigen bleibt die Eindeutigkeit Es sei v x i b i und v y i b i Dann ist 0 v v (x i y i )b i, wegen der linearen Unabhängigkeit von also x i y i, i,, n emerkung: Die Abbildung, die jeden Vektor v auf seinen Koordinatenvektor abbildet, ist ein Isomorphismus von V nach K n 47

5 Selbstverständlich liefern unterschiedliche asen auch unterschiedliche Koordinatendarstellungen eines Vektors Wie kann man diese Darstellungen ineinander umrechnen? 348 eispiel: Umrechnung von Koordinatendarstellungen Im IR sei eine asis {b, b } gegeben ezüglich habe ein Vektor v die ( ) x Darstellung v y Wir betrachten die neue asis {c, c } mit c die Darstellung von v bezüglich? ( ), c ( ) Wie lautet Ansatz: v ( ) λ Es muss gelten µ ) ( ) λ ( x y Die estimmungsgleichungen v λc + µc µ ( ) λ + µ ( ) ( ) λ + µ λ + µ λ + µ x λ + µ y haben die Lösung λ x y, µ x + y eispielsweise ist ( ) ( 5 5 ) 5 + ( ) 4 3 Auf diese Weise kann man allgemein die Koordinatendarstellung von Vektoren bezüglich einer asis in eine solche bezüglich einer anderen asis umrechnen, wenn nur für die asisvektoren von die Darstellungen bezüglich der asis bekannt sind 48

6 asen ermöglichen es, eine lineare Abbildung durch wenige Daten zu beschreiben: Es genügt, zu wissen, was mit den asisvektoren passiert 349 Satz: harakterisierung einer linearen Abbildung durch ihre Wirkung auf die asis Es seien U, V zwei K-Vektorräume und {b,, b n } eine asis von U Außerdem seien v,, v n V Dann gibt es genau eine lineare Abbildung f : U V mit f(b i ) v i, i,, n eweis: Es sei u U und u n x i b i Wir setzen f(u) n x i v i Man prüft nach: f ist eine lineare Abbildung: Für u n x i b i und w n y i b i, λ, µ K ist ( ) ( ) f(λu + µw) f λ x i b i + µ y i b i f (λx i + µy i )b i (λx i + µy i )v i λ λf(u) + µf(w) f(b i ) v i für i,, n x i v i + µ y i v i Zum Nachweis der Eindeutigkeit nehmen wir an, dass g eine weitere lineare Abbildung mit g(b i ) v i für i,, n ist Dann folgt ( ) linear g(u) g x i b i x i g(b i ) x i v i x i f(b i ) linear f ( ) x i b i f(u) 49

7 Eine weitere wichtige Aussage, die mithilfe von asen bewiesen werden kann, bezieht sich auf isomorphe Vektorräume 340 Satz: Isomorphie endlichdimensionaler Vektorräume Es seien U, V zwei endlichdimensionale K-Vektorräume Dann sind U und V genau dann isomorph, wenn sie dieselbe Dimension haben: U V dim U dim V emerkung: Dieser Satz besagt z, dass es im Wesentlichen nur einen einzigen n-dimensionalen Vektorraum über IR gibt: den IR n eweisskizze: Man zeigt: a) Ein Isomorphismus zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen bildet asen auf asen ab b) Eine lineare Abbildung zweier Vektorräume gleicher endlicher Dimension, die eine asis auf eine asis abbildet, ist ein Isomorphismus 50