Lineare Algebra II. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 9 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 16. Juni.

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1 Lineare Algebra II Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 9 (SS 2011) Abgabetermin: Donnerstag, 16. Juni Erinnerungen, Ergänzungen und Vorgriffe zur Vorlesung: Affine Räume Definition. Ein affiner Raum über einem Körper K ist ein Tripel (A,T,+) bestehend aus einer Menge A, einem Vektorraum T über K und einer Abbildung + (genannt Translations-Abbildung) mit folgenden Eigenschaften: (1) Für P A und v, w T gilt +: A T A (P,v) P +v (P +v)+w = P +(v +w) (2) Für jedes P A ist die Abbildung bijektiv. Bemerkungen: T A v P +v In (1) steht + für die Abbildung A T A des affinen Raumes, bis auf den Ausdruck v+w der sich auf die Addition im Vektorraum T bezieht. In (2) muß man die Bijektivität nur für ein P A fordern. (vgl. Aufgaben). Für zwei Punkte P und Q A gibt es wegen der Bijektivitätsforderung in (2) genau einen Vektor v T mit Q = P +v Er heist der Differenzvektor von P und Q und wird geschrieben als Q P = PQ = v

2 2 Häufig schreibt man für das Tripel (A,T,+) einfach A und bezeichnet den dazugehörigen Vektorraum mit T A. Er heißt der Translationsraum von A. Die Dimension eines affinen Raumes ist definiert als die Dimension des Translationsraumes: dima = dim K T A Beispiel: Für jeden Vektorraum T ist (T,T,+) ein affiner Raum, wobei die Translations-Abbildung + die Addition in T ist. Wählt man in T = K n, so erhält man das Standardbeispiel (K n,k n,+). Beispiel: Ist V ein Vektorraum, P V ein Element und T V ein Untervektorraum, so ist A = P +T = {P +v v T } V einaffinerraummittranslationsraumt.genauer:(a,t,+)isteinaffinerraum, wobei + hier einfach für die Summe von Elementen in V steht. Der Raum A = P +T heißt affiner Unterraum von V. Tatsächlich ist jeder affine Raum von dieser Form. Man kann sich also einen affinen Raum als einen verschobenen Vektorraum vorstellen. Der praktische Unterschied zu einem Vektorraum ist, daß es keinen Ursprungspunkt (Nullpunkt) gibt. Je zwei Punkte eines affinen Raumes sind gleichberechtigt. Es sei etwa A = P +T wie im Beispiel, und Q ein weiterer Punkt von A. Dann gilt auch A = Q+T Zum Beweis betrachtet man den Differenzvektor von P und Q w = Q P Dies ist ein Element von T. Also gilt für v T: und daher Q+v = (P +w)+v = P +(w+v) Q+T P +T Genauso erhält man die umgekehrte Inklusion. Das einfachste Beispiel eines affinen Raumes ist die euklidische Ebene wie man sie aus der elementaren Geometrie kennt. Hier spricht man von Punkten und Geraden. Dabei zeichnet man aber (hoffentlich!) keinen Ursprungspunkt aus. Dies ist auch nicht notwendig. Man kann vom Schnittpunkt zweier Geraden, vom Schwerpunkt eines Dreiecks, etc. sprechen ohne einen Nullpunkt festzulegen. Allerdings bilden die Differenzvektoren PQ von Punkten P, Q der Ebene einen Vektorraum, nämlich den Translationsraum der Ebene.

3 Bei der hier gegebenen abstrakten Definition von affinen Räumen geht man von der Definition eines Vektorraumes aus und definiert dann affine Räume als Tripel (A, T, +). (Sozusagen wirft man den Nullpunkt weg.) Homorphismen und die affine Gruppe 3 Definition. Es seien A und B affine Räume (über dem gleichen Körper). Ein Homomorphismus von Anach A (auch: eineaffine Abbildung)ist einpaar (f,t f ) von Abbildungen f: A B T f : T A T B mit folgenden Eigenschaften (1) T f ist ein Vektorraumhomomorphismus (zwischen den Translationsräumen T A und T B der affinen Räume). (2) Für P A, v T A gilt f(p +v) = f(p)+t f (v) (Hier steht + jeweils für die Translations-Abbildungen in A bzw. B.) Sind f und T f bijektiv, so heißt (f,t f ) ein Isomorphimus von affinen Räumen. Beispiel: EsseienA = K n undb = K m,genauera = (K n,k n,+)bzw.b = (K m,k m,+), siehe das Beispiel oben. Es sei (f,t f ) eine affine Abbildung von A nach B. Dann ist T f ein Vektorraum-Homomorphismus K n K m. Es sei β M(n m,k) die zugehörige Matrix, so daß also Für die Abbildung T f (v) = β v f: K n K m gilt nun für alle P, v K n f(p +v) = f(p)+β v Wählen wir P = 0, so folgt einfach f(v) = f(0)+β v Die Abbildung f ist also eine lineare Abbildung gefolgt von einer Translation um einen Vektor, nämlich f(0). Es folgt, daß jede affine Abbildung K n K m von der Form ( ) f(v) = v 0 +β v mit v 0 K m und β M(n m,k) ist.

4 4 Isomorphismen: Ist (f,t f ) ein Isomorphismus, so ist (f 1,T 1 f ) ebenfalls ein Homomorphismus von affinen Räumen. Übrigens braucht man hier nur zu fordern, daß f oder T f bijektiv sind. Die Menge der Automorphismen eines affinen Raumes A (Isomorphismen von A nach A) bilden eine Gruppe, die affine Gruppe Aff(A). Lemma. Jeder (endlich-dimensionale)affine Raum ist isomorph zu (K n,k n,+). Beweis. Es sei (A,T,+) ein affiner Raum. Man wähle eine Basis von T und erhält so einen Vektorraum-Isomorphismus g: K n T Sodann wähle man einen Punkt P A und definiere Für v K n gilt dann f: K n A f(x) = P +g(x) f(x+v) = P +g(x+v) = P +g(x)+g(v) = f(x)+g(v) Dies zeigt, daß (f,g) eine affine Abbildung ist. f ist bijektiv weil g bijektiv ist und nach Eigenschaft (2) in der Definition affiner Räume. Die Affine Gruppe Aff n (K) Um diese Gruppe genauer zu studieren, betrachten wir wieder einen geeigneten Speziallfall. Hier ist das vorweggenommene Ergebnis. Definition. Die n-dimensionale affine Gruppe ist die Menge von (1+n) (1+n)- Matrizen {( ) 1 0 Aff n = Aff n (K) = t K t β n, β GL n (K)} Für Elemente in Aff n liegen das Produkt ( )( ) ( ) t β t β = t+βt ββ und das Inverse ( ) 1 ( ) = t β β 1 t β 1 wieder in Aff n. Also ist Aff n eine Untergruppe der linearen Gruppe GL n+1 (K). Die Untergruppe {( ) } 1 0 T = t K t 1 n

5 heißt die Translations-Untergruppe von Aff n (K). Um den Zusammenhang zu klären, sei V = K n+1. Wir bezeichnen die Einheitsvektoren mit e 0,e 1,...,e n Ferner sei T = {0} K n = e 1 K + +e n K und A = e 0 +T Dann ist A ein affiner Raum mit Translationsraum T = K n. Es sei P A und g Aff n. Dann ist ( 1 P = e 0 +v = v) mit v K n und g = mit t K n, β GL n (K). Damit ist ( 1 g(p) = g = v) ( ) 1 0 t β ( ) ( ) = t β)( v t+βv Es folgt g(p) A, also definiert g eine Abbildung von A nach A: ( ( ) 1 1 v) t+βv Man rechnet leicht nach, daß diese Abbildung affin ist. Ferner ist jede (bijektive) affine Abbildung A A von dieser Form (siehe ). Rechnen und Gleichungen in affinen Räumen Es sei A ein affiner Raum über dem Körper K mit Translationraum T, es seien P 1,...,P n A Punkte in A und c 1,...,c n K Wir wollen Linearkombinationen der Form n c i P i = c 1 P 1 + +c n P n betrachten. Zunächst machen solche Ausdrücke keinen Sinn, weil Produkte cp und Summen Q+R für c K und Q, R A gar nicht defniert sind. Wählen wir aber einen festen Punkt P A so ist P i = P +v i 5

6 6 mit eindeutig bestimmnten v i T, v i = P i P. Formales Rechnen liefert dann n n n n c i P i = c i (P +v i ) = c i P + c i v i = C P +v mit C = v = n c i K n c i v i T Das Ergebnis C P + v macht macht noch immer keinen Sinn, bis auf zwei Speziallfälle: Ist C = 1, so ergibt sich P +v, das ein Element von A ist. Ist C = 0, so ergibt sich v, ein Element von T. Dies führt zu folgender Definition. Definition und Lemma. Es seien P 1,...,P n A Punkte in A und c 1,...,c n K Man wähle eine Punkt P A und setze n v = (P i P) T Ist c 1 + +c n = 1 so definiert man c 1 P 1 + +c n P n := P +v A Ist c 1 + +c n = 0 so definiert man c 1 P 1 + +c n P n := v T Diese Definitionen hängen nicht von der Wahl von P ab. Die letzte Behauptung kann entweder explizit nachrechnen oder sich in einem umgebenden Vektorraum V mit A = P +T V ansehen (vgl. Vorlesung). Diese Betrachtungen lassen sich erweitern auf Gleichungen wie folgt. Eine affine Gleichung ist vom Typ ( ) c 1 P 1 + +c n P n = d 1 Q 1 + +d n Q m

7 7 mit c i, d j K und P i, Q j A und der Nebenbedingung c 1 + +c n = d 1 + +d n DierechteundlinkeSeitevon( )machenhierapriorikeinensinn,diegleichung c 1 P 1 + +c n P n d 1 Q 1 d n Q m = 0 aber schon, weil nun die linke Seite die Koeffizientensumme 0 hat, also ein Element von A ist. Im Fall A = P + T V machen die rechte und linke Seite von ( ) übrigens durchaus Sinn, es sind Elemente des affinen Raumes cp +T wobei c = c c n = d 1 + +d n. Beispiel: Für ein ebenes Dreieck A, B, C ist der Schwerpunkt gegeben durch S = A+B +C 3 Hier ist rechts die Koeffizientensumme 1/3+1/3+1/3 = 1, also tatsächlich ein Element der affinen Ebene definiert. Beispiel: Für ein ebenes Dreieck sei S der Schwerpunkt, U der Umkreismittelpunkt und H der Schnittpunkt der Höhen. Für diese Punkte gilt die affine Beziehung 2U +H = 3S (Sie zeigt auch, daß diese Punkte auf einer Geraden liegen, der eulerschen Geraden). Hinweis: Aufgabe 4 war schon als Aufgabe 2 des Präsenzblattes gestellt. Aufgabe 1. (a) Man zeige, daß man in Eigenschaft (2) in der Definition affiner Räume die Bijektivität nur für ein P A fordern muß. (b) Manzeige,daßeineaffineAbbildung(f,T f )(siehedefinitionoben)bereits dann ein Isomorphismus ist, wenn f oder T f bijektiv ist.

8 8 Aufgabe 2. Es seien V ein Vektorraum und v 1,..., v r V. Ferner sei c K fest gewählt. Man zeige daß die Menge { r } r A = c i v i c i K, c i = c ein affiner Unterraum von V ist. Man gebe für den Translationsraum Erzeugende als Vektorraum an. Aufgabe 3. Es sei V ein Vektorraum und A, B V affine Unterraüme von V (also von der Form P + T wie im Beispiel auf Seite 2). Man zeige, daß der Durchschnitt A B wieder ein affiner Unterraum von V ist. Hinweis. Die leere Menge ist auch ein affiner Raum. Aufgabe 4. Die Gruppe Aff 1 ist die Gruppe von 2 2-Matrizen {( ) } 1 0 Aff 1 = Aff 1 (K) = b K, a K b a Für x K gilt ( ) ( ) = b a)( x ax+b und damit ist die Wirkung von Aff 1 auf A = {1} K vollständig beschrieben. Man läßt die 1 gerne weg und schreibt einfach A = K und α(x) = ax+b solange dies nicht zur Verwirrung führt. (a) Man zeige: Ist α Aff 1 keine Translation (a 1), so hat α in A genau einen Fixpunkt P α. Man drücke P α explizit durch a, b aus. Hinweis. Ein Fixpunkt von α ist ein Punkt P mit α(p) = P. (b) Man zeige: Sind P 1 P 2 und Q 1 Q 2 Punkte in A, so gibt es genau ein α Aff 1 mit α(p 1 ) = Q 1 α(p 2 ) = Q 2