Funktionentheorie. Prof. Dr. M. Rost. Übungen Blatt 6 (WS 2016/17) 1. Abgabetermin: Freitag, 9. Dezember.

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1 Funktionentheorie Prof. Dr. M. Rost Übungen Blatt 6 (WS 2016/17) 1 Abgabetermin: Freitag, 9. Dezember Erinnerungen an die Vorlesung: Im Folgenden werden manchmal einige Definitionen und Bemerkungen aus der Vorlesung zusammengefaßt. Man kann die meisten Dinge auch in Büchern oder auf den auf der Homepage angegebenen Links nachlesen. Anmerkungen und Hinweise sind ausdrücklich erwünscht (per oder in der Vorlesung). Der projektive Raum P(V) und die projektive lineare Gruppe PGL(V) In der Vorlesung wurden projektive Räume allgemein definiert: Sei K ein Körper und V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum, so sei P(V) = {L V L ist 1-dimensionaler K-Untervektorraum von V } die Menge der 1-dimensionalen Untervektorräume von V. Die Menge P(V) besteht also aus allen K-Geraden in V durch 0. Sie heißt der projektive Raum von V. Jede Gerade L P(V) wird von einem Vektor v L, v 0 erzeugt: L = Kv (v ist eine Basis des 1-dimensionalen Vektorraumes L). Man schreibt kurz Dabei gilt Mit anderen Worten: L = [v] [v] = [w] Kv = Kw a K,a 0 : w = av P(V) = {[v] v V \{0}} ist die Menge der Äquivalenzklassen [v] von Vektoren v V, v 0, wobei [v] dem von v erzeugten Untervektorraum entspricht. 1 Fassung vom 12. Dezember

2 2 Eine andere Beschreibung von P(V) ist als Quotient der Menge der nicht-trivialen Vektoren nachder Operationder multiplikativen GruppeK = K\{0}bezüglich Multiplikation: P(V) = (V \{0})/K Die Gruppe GL(V) der invertierbaren Endomorphismen von V operiert auf V: GL(V) P(V) P(V) (f,l) f(l) Die Gruppe GL(V) hat als Untergruppe die Gruppe der Skalare aufgefaßt als Skalarmultiplikationen (Vielfache a id V der Identät): K GL(V) a = (v av) Die Skalarmultiplikationen operieren trivial auf P(V): Für a K, a 0 gilt offensichtlich (af)(l) = af(l) = f(al) = f(l) Man definiert die projektive lineare Gruppe als die Quotienten-Gruppe PGL(V) = GL(V)/K (K ist eine zentrale Untergruppe, insbesondere ein Normalteiler.) Schreibt man wieder [f] = K f PGL(V) für die Äquivalenzklasse modulo Multiplikationen mit Skalaren, so erhält man schließlich eine Operation PGL(V) P(V) P(V) ([f],l) f(l) ([f],[v]) [f(v)] Der projektive Raum P n und die projektive lineare Gruppe PGL n Wählt man eine Basis in V, so werden diese Dinge sehr konkret: Es sei V = K n+1 mit Basis e 0, e 1,..., e n. In diesem Fall schreibt man P n = P n K = P(Kn+1 ) = K n+1 /K und PGL n+1 (K) = GL n+1 (K)/K Man nennt P n den n-dimensionalen projektive Raum über dem Körper K.

3 Die Äquvalenzklasse eines Vektors schreibt man als v = (v 0,...,v n ) = n v i e i i=0 [v] = [v 0,...,v n ] oder auch in der Verhältniss-Schreibweise Entsprechend schreibt man [v] = [v 0 : : v n ] [A] PGL n+1 (K) für die Klasse einer invertierbaren (n+1) (n+1) Matrix A. Die Operation der projektive linearen Gruppe PGL n+1 (K) auf P n liest sich dann als PGL n+1 (K) P n P n ([A],[v]) [Av] wobei Av für die gewöhnliche Multiplikation (Matrix mal Spaltenvektor) steht. Zerlegung des P n Es sei [v] = [v 0 : : v n ] P n Weil v 0, gibt es einen Index i mit v i 0. Man kann dann v i auf 1 normieren indem man v durch w = v/v i ersetzt: [v] = [w] = [w 0 : : w i 1 : 1 : w i+1 : : w n ] (w k = v k /v i ) Ist also v i 0 (für ein spezielles i), so kann man v i = 1 voraussetzen. Die restlichen n Zahlen v j (j i) sind dann frei in K wählbar. Daher auch die Bezeichnung P n als n-dimensionalen projektiven Raum. Er ensteht zwar aus dem n+1-dimensionalen Vektorraum K n+1, aber beim Übergang zu den 1-dimensionalen Unterräumen verliert man eine Dimension. Man betrachte wieder eine Gerade [v] = [v 0 : ] P n Für v 0 gibt es zwei Fälle: v 0 0 und v 0 = 0. Ist v 0 0, so kann man v 0 = 1 annehmen. Dann ist [v] = [1 : v 1 : : v n ] wobei v = (v 1,...,v) K n = n Ke i i=1 3

4 4 frei wählbar ist (keine Vorraussetzung v 0). Ist v 0 = 0, so ist wobei Man erhält so eine Zerlegung Iteriert man dies, so erhält man wobei K i aus den Elementen der Form besteht. Beispielsweise hat man und K 0 besteht nur aus einem Punkt [v] = [0 : v 1 : : v n ] v = (v 1,...,v) K n \0 P n = K n P n 1 P n = K n K n 1 K 1 K 0 [0 : : 0 : 1 : v n i+1 : : v n ] K 2 = {[0 : : 0 : 1 : a,b] a,b K} K 1 = {[0 : : 0 : 1 : a] a K} K 0 = {[0 : : 0 : 1]} Man kann diese Zerlegung variieren. Beginnt man etwa mit v n statt v 0, so erhält man P n = K n K n 1 K 1 K 0 wobei nun K i aus den Elementen der Form besteht. (Siehe Vorlesung für weitere Details.) [v 0 : : v i 1 : 1 : 0 : : 0] P 1 C und gebrochen lineare Funktionen Wir spezialisieren uns nun auf den Fall n = 1. Man nennt P 1 auch die projektive Gerade. (Nebenbei: P 2 nennt man auch die projektive Ebene.) Außerdem wollen wir der Einfachheit halber K = C annehmen. Die Zerlegung P 1 = P 1 C = C 1 C 0 besteht dann aus dem Grundkörper C 1 = C und einem weiteren Punkt, der mit bezeichnet wird. Man erhält so eine Bijektion P 1 C C { } [z 0 : z 1 ] z 0 /z 1

5 wobei hier z 0 /z 1 = im Fall z 1 = 0 zu lesen ist. Die Inverse dieser Abbildung ist C { } P 1 C z [z,1] (z ) [1,0] Man sagt, die projektive Gerade P 1 C (in unserem Fall K = C auch Riemannsche Zahlenkugel genannt) entsteht aus C durch Hinzunahme eines unendlich fernen Punktes. Wenn man will, kann man P 1 C = C { } als Definition von P1 C nehmen. Der Zugang über projektive Räume (hier: Geraden in C 2 ) ist aber letztendlich praktischer. Interessant wird es nun, wenn man die Operation der Gruppe {[ ] a b PGL 2 (C) = a,b,c,d C, ad bc 0} c d auf P 1 C = C { } betrachtet (siehe auch Vorlesung). Man erhält [ ] [ ] [ a b z a z +b 1 az+b ] = = cz+d c d][ 1 c z +d 1 1 Die Funktionen f A (z) = az +b cz +d, A = ( ) a b, det(a) 0 c d heißen gebrochen lineare Funktionen. Diese werden als Abbildungen C { } C { } az +b z cz +d aufgefaßt, wobei die Sonderfälle auf naheliegende Weise definiert werden. Genauer: d c Offensichtlich gilt: z az +b cz +d (z, cz +d 0) (c 0) a c (c 0) (c = 0) f AB = f A f B 5

6 6 und Es folgt f aa = f A (a 0) f 1 A = f A 1 = f A # wobei A # = det(a)a 1 die Adjunkte von A ist: ( a b c d ) # = ( d b c a Man beachte: Ist deta = 0, so ist im Fall A 0 die Abbildung f A zwar definiert, aber eine konstante Abbildung (also nicht invertierbar). ) 3 Punkte in P 1 Lemma 1. Sind P 1, P 2, P 3 3 paarweise verschiedene Punkte und sind Q 1, Q 2, Q 3 3 weitere paarweise verschiedene Punkte in P 1 C, so gibt es genau eine gebrochen lineare Funktion f mit f(p i ) = Q i (i = 1,2,3) Beweis. In der Vorlesung habe ich eine ad hoc Skizze des Beweises diskutiert. Dies war viel zu kompliziert. Einfacher geht es unter Verwendung von Aufgabe 1. Denn nach Aufgabe 1 gibt es eine Basis e 1, e 2 von C 2 mit und eine Basis f 1, f 2 von C 2 mit Es sei nun der Basis-Wechsel: P 1 = [e 1 ] P 2 = [e 2 ] P 3 = [e 1 +e 2 ] Q 1 = [f 1 ] Q 2 = [f 2 ] Q 3 = [f 1 +f 2 ] A GL 2 (C) Ae i = f i (i = 1,2) Dann gilt [A]P i = Q i was gleichbedeutend ist mit f A (P i ) = Q i Für die Eindeutigkeit von f (also von [A]) benutze man Aufgabe 2.

7 7 Fixpunkte Lemma 2. Jede gebrochen lineare Funktion f hat mindestens einen Fixpunkt (einen Punkt z C { } mit f(z) = z). Beweis. EsseiAeineMatrixzuf (alsof = f A ).WeilCalgebraischabgeschlossen ist, hat A einen Eigenwert λ. Es ist λ 0 weil det(a) 0. Sei v ein Eigenvektor von A. Dann gilt [A][v] = [λv] = [v] [v] ist ein Fixpunkt von f A (möglicherweise = [1,0])

8 8 Aufgabe 1. Es sei K ein Körper und V ein 2-dimensionaler K-Vektorraum. Man zeige: Sind L 1, L 2, L 3 paarweise verschiedene Elemente von P(V), so gibt es eine Basis e 1, e 2 von V bezüglich der gilt L 1 = [e 1 ] L 2 = [e 2 ] L 3 = [e 1 +e 2 ] Aufgabe 2. In V = K n betrachte man die (n+1) Geraden [L i ] = [e i ] = [0 : : 1 : : 0] (i = 1,...n) i [L 0 ] = [e 1 + +e n ] = [1 : : 1] Man zeige: Läßt g PGL(V) alle L i fest, also g(l i ) = L i (i = 0,...n) so ist g = [id V ]. Aufgabe 3. Man gebe die gebrochen lineare Funktion f an mit f(0) = 1 f(1) = f( ) = 0 Aufgabe 4. Man gebe alle gebrochen lineare Funktionen an, die (1) als Fixpunkt haben, (2) als einzigen Fixpunkt haben, (3) 0 als Fixpunkt haben.