Übungen zur Linearen Algebra 1

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1 Übungen zur Linearen Algebra 1 Wintersemester 2014/201 Universität Heidelberg - IWR Prof. Dr. Guido Kanschat Dr. Dörte Beigel Philipp Siehr Blatt 10 Abgabetermin: Freitag, , 11 Uhr Lösungen der Zusatzaufgaben von Blatt 10. Bei Fragen zu diesen Lösungen wenden Sie sich bitte an Ihre Tutoren. Die Aufgaben A10.11 und A10.12 werden in der Plenarübung am besprochen. Aufgabe 10. (Spuroperator I) Sei K ein Körper, n N. Dann ist der Spuroperator wiefolgt definiert: spur : K n n K, A i=1 a ii Mit der üblichen Notation für Matrizen A = (a ij ) 1 i n. Zeigen Sie: a) Die spur ist eine lineare Abbildung. 1 j n b) Für alle m, n N und A K m n, B K n m gilt: spur(ab) = spur(ba). c) Sind A K n n und B K n n ähnlich, so gilt spur(a) = spur(b). d) Aus char(k) = 0 folgt für alle n N und A, B K n n, dass AB BA E n. Wobei E n die (n n)-einheitsmatrix ist. e) Finden Sie ein Gegenbeispiel für diese Aussage, wenn char(k) > 0. f) Sei A R n n mit n verschiedenen Eigenwerten λ 1,..., λ n R. Zeigen Sie: spur(a) = λ i. i=1 Bemerkung: In einem Ring oder Körper ist die Charakteristik die kleinste natürliche Zahl n > 0, sodass 1 } {{ } = 0. n Ist dies für kein n N erfüllt, dann wird die Charakteristik auf 0 gesetzt. Beispiele: char(f p ) = p und char(r) = 0. 1

2 Lösung Sei im folgenden A, B zu den jeweiligen Aufgabenteilen passend gewählt. a) Sei α K. Dann gilt: b) spur(αa + B) = spur(ab) = (αa ii + b ii ) = α i=1 a ii + i=1 = α spur(a) + spur(b). = m (AB) ii = i=1 k=1 i=1 = spur(ba) m m b ki a ik = i=1 k=1 a ik b ki (BA) kk c) Wenn A und B ähnlich sind, dann gibt es eine reguläre Matrix P K n n mit B = P 1 AP. Mit Aufgabenteil b) folgt dann direkt: k=1 spur(b) = spur(p 1 AP ) = spur(p 1 (AP )) i=1 = spur((ap )P 1 ) = spur(ap P 1 ) = spur(a). d) Es gilt spur(e n ) = n, sofern die Charakteristik von K nicht endlich ist. Weiter ist: spur(ab BA) = spur(ab) spur(ba) = spur(ab) spur(ab) = 0 Angenommen es gäbe A, B mit AB BA = E n, dann wäre aber spur(ab BA) = spur(e n ) = n 0. e) Betrachte F 2 und die Matrizen: ( 0 1 A = 0 0 ) ( 0 1, B = 1 0 Dann gilt mit der Addition und Multiplikation in F 2 (!): ( ) ( ) AB BA = = E f) Wir wollen zeigen, dass die Matrix A mit n verschiedenen Eigenwerten im R n diagonalisierbar ist. (Siehe dazu A10.1.) Wenn dies so ist, dann gibt es eine Basiswechselmatrix S R n n, sodass A = S 1 diag(λ i )S, denn dim(r n ) = n. Also ist nach Teilaufgabe c) spur(a) = spur(diag(λ i )) = n i=1 λ i. ). b ii 2

3 Es genügt zu zeigen, dass die zu λ i gehörigen Eigenvektoren linear unabhängig sind. IV: n = 1 Nach Definition (A10.1) ist v 1 0, also linear unabhängig. IS: Die Behauptung gilt für n 1. Sei µ 1,..., µ n R mit µ 1 v µ n v n = 0. Ohne Einschränkung sei λ n 0 (durch geeignete Wahl der Indizes). Es gilt: Ebenso gilt: Es ergibt sich durch (10.1) (10.2): 0 = A 0 = A (µ 1 v µ n v n ) = µ 1 Av µ n Av n = λ 1 µ 1 v λ n µ n v n (10.1) 0 = λ n (µ 1 v µ n v n ). (10.2) 0 = µ 1 (λ 1 λ n )v µ n 1 (λ n 1 λ n )v n 1 + µ n (λ n λ n )v n = µ 1 (λ 1 λ n )v µ n 1 (λ n 1 λ n )v n 1 Nach Induktionsvoraussetzung sind v 1,..., v n 1 linear unabhängig, also folgt: und da λ i λ j für i j: µ 1 (λ 1 λ n ) =... = µ n 1 (λ n 1 λ n ) = 0, µ 1 =... = µ n 1 = 0. Aus Gleichung (10.2) folgt dann auch µ n = 0 (siehe o.e.). Somit gilt nun µ 1 =... = µ n = 0 und somit sind v 1,..., v n linear unabhängig. Bemerkung: Dieser Beweis geht ganz analog für die allgemeinere Aussage: Sei V ein K-Vektorraum und f End(V ). Seien v j ein Eigenvektor zum Eigenwert λ j für j = 1,..., n und es gelte λ i λ j für i j. Dann sind v 1,..., v n linear unabhängig. Es folgt: Ist zudem dim(v ) = n, so besitzt f höchstens n verschiedene Eigenwerte, und falls f genau n verschiedene Eigenwerte besitzt, so ist f diagonalisierbar. 3

4 Aufgabe 10.6 (Basiswechsel) Betrachte R 3 als R -Vektorraum mit den Basen: A = {(1, 1, 2), (2, 3, 7), (2, 3, 6) }, B = {(1, 2, 2), ( 1, 3, 3), ( 2, 7, 6) }. a) Bestimmen Sie die Transformationsmatrix A id,a,b. b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Vektors Lösung bezüglich der Basis B. v = 2 (1, 1, 2) + 9 (2, 3, 7) 8 (2, 3, 6) a) Der Basiswechsel A id,a,b bildet den Koeffizientenvektor (λ 1, λ 2, λ 3 ) eines beliebigen v R 3 mit v = λ i v A,i auf den Koeffizientenvektor (µ 1, µ 2, µ 3 ) mit v = µ i v B,i ab. Dafür müssen die Basisvektoren von Ain der Basis Bdargestellt werden. Die dabei auftretenden Koeffizienten werden spaltenweise in die Transformationsmatrix geschrieben. Es gilt: (1, 1, 2) = 1 (1, 2, 2) +6 ( 1, 3, 3) 3 ( 2, 7, 6) ( 1, 3, 3) = 2.6 (1, 2, 2) +8.6 ( 1, 3, 3) 4 ( 2, 7, 6) ( 2, 7, 6) = 2.4 (1, 2, 2) +6.4 ( 1, 3, 3) 3 ( 2, 7, 6) Damit ist die Transformationsmatrix gegeben durch: A id,a,b = b) Wir wenden einfach den in a) bestimmten Basiswechsel an: µ µ 2 = A id,a,b 9 = 38.2 µ

5 Aufgabe 10.7 (Lineare Abbildungen) Im folgenden seien die Räume R n ausgestattet mit der Standardbasis E = (e i ) i=1,...,n. Bestimmen Sie die Matrizen A f,e,e für folgende Endomorphismen: a) f : R 2 R 2 : Rotation um 90 Grad in mathematisch negativer Richtung. b) f : R 2 R 2 : Spiegelung an der Achse x = 0. c) f : R 3 R 3 : Rotation um 180 Grad um die Achse, die von (0, 0, 1) erzeugt wird. Lösung a) Es gilt also f(e 1 ) = e 2 und f(e 2 ) = e 1. Also ist f(x) = Ax mit = ( ). b) Es gilt also f(e 1 ) = e 1 und f(e 2 ) = e 2. Somit ist A = ( c) Rotation um x 3 -Achse: Es gilt also f(e 1 ) = e 1, f(e 2 ) = e 2 und f(e 3 ) = e 3. Die zugehörige Matrix A ist eine 3 3-Matrix. Die zugehörige Matrix ist also A = ).

6 Aufgabe 10.8 (Vektorraum der Folgen) Betrachte den reellen Vektorraum reeller Folgen und die Menge: F = {(a n ) n N : a n+2 = a n+1 + a n }. a) Zeigen Sie, dass F ein Untervektorraum des Folgenraumes ist. Bestimmen Sie eine Basis. b) Finden Sie eine weitere Basis mit Elementen der Form (r n ) n N. c) Erklären Sie, wie man mit b) direkt das n-te Folgenglied bestimmen kann? Geben Sie diese Formel für die Folge (a n ) n N mit a 1 = 1, a 2 = 1 explizit an. Bemerkung: Der Folgenraum ist ein unendlich dimensionaler Vektorraum. F ist ein endlich dimensionaler Unterraum. Lösung In dieser Lösung ist die Notation für eine Folge ( ) n und das k-te Folgenglied von (a n ) n ist a k. a) Es ist (0) n F. Sei (a n ) n, (b n ) n F und λ R, dann gilt: denn die Vorschrift von F lautet: λ(a n ) n + (b n ) n = (λa n + b n ) n F, λa n+2 + b n+2 = λ(a n+1 + a n ) + b n+1 + b n = (λa n+1 + b n+1 ) + (λa n + b n ). Somit haben wir gezeigt, dass F ein Untervektorraum des Folgenraumes ist. Nun müssen wir noch eine Basis finden. Dazu definieren wir die beiden Folgen (b n ) n und (c n ) n über: b 1 = 1, b 2 = 0, b n+2 = b n+1 + b n, c 1 = 0, c 2 = 1, c n+2 = c n+1 + c n. Nach Definition gilt (b n ) n, (c n ) n F. Behauptung: ((b n ) n, (c n ) n ) ist eine Basis von F. Seien λ, µ R mit λ(b n ) n + µ(c n ) n = 0 gegeben. Dann gilt: λb 1 + µc 1 = 0 λb 2 + µc 2 = 0 λ + 0 = µ = 0 λ = µ = 0. Somit ist ((b n ) n, (c n ) n ) linear unabhängig. 6

7 Sei (a n ) n F beliebig, dann gilt direkt: a 1 = a 1 b 1 + a 2 c 1 a 2 = a 1 b 2 + a 2 c 2 Induktionsbehauptung: a k = a 1 b k + a 2 c k Für beliebiges n N gilt dann: a n+2 = a n+1 + a n = a 1 b n+1 + a 2 c n+1 + a 1 b n + a 2 c n = a 1 (b n+1 + c n+1 ) + a 2 (b n + c n ) = a 1 b n+2 + a 2 b n+2. Und damit ist ((b n ) n, (c n ) n ) ein Erzeugendensystem. Man beachte, dass die Induktion von n auf n+2 schließt. Daher benötigt man zwei Induktionsanfänge k = 1 und k = 2. b) Behauptung: (r n ) n F (r = 0 oder r 2 = r + 1). : Sei (r n ) n F und r R \ 0, dann ist nach der rekursiven Eigenschaft von Folgen in F : r 3 = r 2 + r. Da r 0 folgt: r 2 = r + 1. : Für r = 0 ist (r n ) n = (0) n F. Im Fall r 2 = r + 1 sei n N beliebig. Dann gilt: r n+2 = r 2 r n = (r + 1)r n = r n+1 + r n, also ist (r n ) n F. Im Fall r = 0 erhält man die Nullfolge die kein Basiselement sein kann. Daher suchen wir Elemente r R, die die Gleichung r 2 = r + 1 erfüllen. Also Nullstellen von r 2 r 1. Die Nullstellen sind gegeben durch: t = 1+ 2 und 1 t. Behauptung: T = ((t) n, (1 t) n ) ist eine Basis von F. Da F nach a) 2-dimensional ist genügt es die lineare Unabhängigkeit von T zu zeigen. Seien λ, µ R mit λ(t) n + µ(1 t) n = (0) n. Dann gilt für n = 1 und n = 2: Dann ist: λt + µ(1 t) = 0 (10.3) λt 2 + µ(1 t) 2 = 0 (10.4) (10.4) t (10.3) : 0 =µ(1 t) 2 µ(1 t)t =µ(1 3t + 2t 2 ) =µ(1 3t + 2(1 + t)) =µ(3 t). Dabei wurde ausgenutzt, dass t 2 = t + 1 ist. Da 3 t 0 gilt µ = 0 und damit λ = 0. 7

8 c) Nach b) ist T eine Basis, dass heißt für beliebiges (a n ) n F gibt es λ, µ R mit (a n ) n = λ(t n ) n + µ((1 t) n ) n. Für das n-te Folgenglied gilt daher a n = λt n + µ(1 t) n. Im Beispiel der Aufgabe ist nun a 1 = a 2 = 1, und somit erhält man die Gleichungen: 1 = λt + µ(1 t) 1 = λt 2 + µ(1 t) 2 War substrahieren wie oben das t-fache der 1. Gleichung von der 2. und erhalten: 1 t = µ(1 t) 2 µ(1 t)t =... = µ(3 t). Setzt man t ein und investiert viel Arbeit ergibt sich: µ =, λ =. Und damit: a n = (tn (1 t) n ) = ( 1 + ) 2 ( 2 1 ) 2. 8

9 Aufgabe 10.9 (Interpolation) Finden Sie ein Polynom p(x) vom Grad 4 (also p P 4 ), dass die folgenden Werte annimmt: x = p(x) = Lösung Das Polynom hat diese Gestalt p(x) = a 1 + a 2 x + a 3 x 2 + a 4 x 3 + a x 4. Zum Bestimmen der Koeffizienten a i muss ein Gleichungssystem gelöst werden. Gauß-Elimination liefert folgende Lösung a 1 a 2 a 3 a 4 a b a = ( ) T. 9

10 Aufgabe (Dimensionsformel) Sei V ein K-Vektorraum und U, W V Untervektorräume. Die Dimensionsformel für Untervektorräume lautet: Sei K = R,V = R 4 und dim(u + W ) = dim(u) + dim(w ) dim(u W ). (10.) U = (1, 0, 1, 2), (0, 1, 1, 1), W = (1, 1, 4, 0), (2, 3, 1, 1), (3, 1, 0, 0). Bestimmen Sie Basen von U + W und U W und verifizieren Sie anhand dieser die Dimensionsformel. Hinweis: Verwenden Sie zur Bestimmung der Basen den Zassenhaus-Algorithmus (siehe nächste Seite). Die Rechnung verläuft mit ganzen Zahlen. 10

11 Zassenhaus-Algorithmus zur Bestimmung einer Basis von U + W und U W. Seien U, W Untervektorräume von V und dim(v ) = n. Sei (u 1,..., u k ) eine Basis von U und (w 1,..., w l ) eine Basis von V. 1. Schreibe die Basisvektoren als Zeilenvektoren in die Matrix Z K (k+l) 2n. u 1,1 u 1,n u 1,1 u 1,n.... Z = u k,1 u k,n u k,1 u k,n w 1,1 w 1,n w l,1 w l,n Bringe die Matrix Z auf Zeilenstufenform: ( ) Z A = 0 B 3. Die Zeilenvektoren von A bilden eine Basis von U + W. Die Zeilenvektoren von B bilden eine Basis von U W. Lösung Es gilt: dim(u + W ) = 4 = = dim(u) + dim(v ) dim(u V ). 1 0 dim(u) = rg = 2, da lin unabh dim(w ) = rg = rg =

12 Gaußalgorithmus Es ist also { (1, 0, 1, 2), (0, 1, 1, 1), (0, 0, 2, 3), (0, 0, 0, 13) } eine Basis von U +W und { ( 2, 3, 1, 1) } eine Basis von U W. Beweis Zassenhaus-Algorithmus Der Beweis geht am schnellsten mit einem allgemeineren Satz, der A8.2 ähnelt. Siehe auch Wikipedia zu Zassenhaus-Algorithmus. Das war nicht in der Aufgabe gefordert. Satz 0.1 Sei V ein K-Vektorraum. Seien U, W Untervektorräume. Definiere: U = u 1,..., u k, W = w 1,..., w l, X = (u 1, u 1 ),..., (u k, u k ), (w 1, 0),..., (w l, 0) V V, π : X V, (x, y) x

13 Dann gilt: i) π ist eine lineare Abbildung. ii) im(π) = U + W. iii) ker(π) = {0} (U W ). iv) X = U W. Beweis. i) klar. ii) Klar nach Definition von π. iii) : Sei (0, z) ker(π), dann gibt es u U und w W mit (0, z) = (u, u) + (w, 0). Also ist z = u und somit z U. Da auch u = w ist folgt mit der Abgeschlossenheit von Vektorräumen auch z W, also z U W. : Sei z (U W ). Dann gilt: iv) Definiere folgende Abbildungen: (0, z) = (z, z) + ( z, 0) X. (wohldef) (0, z) ker(π). ϕ : U W X, ψ : X U W, (u, w) (u + w, u), (x, y) (x, x y). Dann gilt: ϕ ψ = id X und ψ ϕ = id U W. Nach A2.4a) sind beide Abbildungen bijektiv. Die Matrix Z lässt sich in der Form wie im Satz schreiben: Nach der Umformung erhält man: ((u 1, u 1 ),..., (u k, u k ), (w 1, 0),..., (w l, 0)). ((a 1, ),..., (a µ, ), (0, b 1 ),..., (0, b ν ), (0, 0),..., (0, 0)), mit a i, b i 0. In den ersten ν Zeilen wurde eine Basis von U + V berechnet. Nach Bosch Satz (keine Ahnung ob der in der Vorlesung dran kam) und mit obigem Satz gilt: dim(u W ) = dim(x) = dim(im(π)) + dim(ker(π)) = dim(u + W ) + dim(u W ). Die Dimension von U W entspricht gerade der Zeilen in Z die ungleich 0 sind. Also: dim(u W ) = µ + ν. Damit gilt dim(u W ) = (µ + ν) µ = ν. Da aber die Vektoren (0, b i ) nach obigem Satz in U W liegen und es genau ν linear unabhängige Vektoren sind, bilden sie eine Basis von U W. 13