Lineare Algebra. 6. Übungsstunde. Steven Battilana. battilana.uk/teaching

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1 Lineare Algebra 6. Übungsstunde Steven Battilana battilana.uk/teaching November, 7

2 Vektoräume Eine Menge E zusammen mit zwei Verknüpfungen + : E E E, x, y x + y Addition : E E E, x, y x y Multiplikation heisst Körper, wenn x, y, z E folgendes gilt: K E zusammen mit der Addition + ist eine abelsche Gruppe. Ihr neutrales Element wird mit, das zu a E inverse Element mit a bezeichnet; vgl. Diskrete Mathematik, 5. Algebra, Definition 5.7 und 5.8: E; + is an abelian group: i Assoziativität x + y + z = x + y + z ii Neutrales Element e E : x + e = e + x = x iii Inverses Element x E : x + x = x + x = e iv Abelsch Kommutativität x + y = y + x K Bezeichnet E := E \ {}, so gilt für x, y E auch x y E, und E zusammen mit der so erhaltenen Multiplikation ist eine abelsche Gruppe. Ihr neutrales Element wird mit, das zu x E inverse Element mit x oder /x bezeichnet. Man schreibt y/x = x y = yx. Vgl. Diskrete Mathematik, 5. Algebra, Definition 5.7 und 5.8: E; is an abelian group vgl. Diskrete Mathematik, 5. Algebra: Definition 5.6 und Theorem 5.3 Meistens werden wir mit den Körpern R oder C arbeiten. Ein weiterer Körper der für uns Informatiker bekannt ist, ist der kleinste endliche Körper Z, der nur {, } enthält. Ein Vektorraum V über E oder auch E-Vektorraum; VR ist eine ist einen nichtleere Menge V zusammen mit zwei Operationen: + : V V V, x, y x + y Addition : E V V, α, x αy Skalarmultiplikation so dass x, y, z V und α, β E gilt: V V zusammen mit der Addition ist eine abelsche kommutative Gruppe das neutrale Element heit Nullvektor, es wird mit, und das Negative wird mit x bezeichnet; vgl. Diskrete Mathematik, 5. Algebra: V ; + is an abelian group: i Assoziativität x + y + z = x + y + z ii Neutrales Element e V : x + e = e + x = x iii Inverses Element x V : x + x = x + x = e iv Abelsch Kommutativität x + y = y + x

3 V Die Multiplikation mit Skalaren muss in folgender Weise mit den anderen Verknpfungen vertrglich sein: i Distributivität I ii Distributivität II iii Assoziativität iv Verträglichkeit mit Beispiel : α + βx = αx + βx αx + y = αx + βy αβx = αβx x = x. n-dimensionale Vektoren bilden über E einen Vektorraum.. m n-matrizen bilden über E einen Vektorraum. 3. P n := {Polynome in einer Variablen mit Koeffizienten in E von max. Grad n} bilden über E einen Vektorraum. Sei V ein Vektorraum, U V, U {}. U hiesst Untervektorraum, Unterraum, linearer Teilraum UVR, falls sie bezüglich Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist, d.h. wenn x, y U und α E gilt: U x + y U U αx U. Jeder Untervektorraum U enthählt den Nullvektor, d.h. U U. Satz. Jeder Untervektorraum ist ein Vektorraum. Beispiel : Zu zeigen: W = x x x 3 Bemerkung Wir haben zwei Optionen: R 3 x + x + x 3 =. Überprüfe ob V und V von der Vektorraum Definition erfüllt sind. Verwende den Satz von oben und zeige nur U und U Beweis: Wir führen den Beweis mit der zweiten Option durch. Also genügt es nach dem Satz zu zeigen, dass W ein Untervektorraum ist. x y Seien x = x, y = y W, λ E x 3 y 3 U W, da + + =, U folgt trivialerweise 3

4 x + y U x + y = x + y W, x 3 + y 3 da x + y + x + y + x 3 + y 3 = x + x + x 3 + y }{{} + y + y 3 = }{{} x +x +x 3 = y +y +y 3 = λx U λx = λx λx 3 W, da λx + λx + λx 3 = λ x + x + x 3 = }{{} x +x +x 3 = Oder statt, dass ihr U und U separat zeigt könnt ihr auch die all in one Variante zeigen: x λy U/U x λy = x λy W, x 3 λy 3 da x λy +x λy +x 3 λy 3 = x + x + x 3 λ y }{{} + y + y 3 = }{{} x +x +x 3 = y +y +y 3 = Basen, Dimensionen und lineare Un-Abhänigkeit Für diesen Abschnitt werden wir folgendes annehmen. Sei V ein Vektorraum über einem Körper K und eine Familie Menge v i i I von Vektoren v i V. Ist I = {,..., r}, so hat man Vektoren v,..., v r. Seien v,..., v r V ausgewählte Vektoren. Ein Vektor der Form x := λ v,..., λ r v r = r λ k v k k= mit λ,..., λ r E heisst Linearkombination von v,..., v r. Für allgemeines I definiert man span E v i i I als die Menge all der v V die sich aus einer von v abhängigen endlichen Teilfamilie Teilmenge von v i i I linear kombinieren lassen. Man nennt span E v i i I den von der Familie Menge aufgespannten oder erzeugten Raum. Für eine endliche Familie v,..., v r verwendet man oft die suggestivere Notation: span E v,..., v r : = Ev Ev n = {v V λ,..., λ r E mit v = λ v λ r v r }. Die folgenden Notationen sind äquivalent: span E v,..., v r span E {v,..., v r } v,..., v r. 4

5 Die Vektoren v,..., v r in der Defintion von oben heissen Erzeugendensystem von span E v,..., v r, wenn a V als Linearkombination der Vektoren v,..., v r dargestellt werden kann. Falls klar ist, welcher Körper gemeint ist, schreibt man nur span statt span E. Sei V ein E-Vektorraum und v i i I I = {,..., r}. Dann gilt: i spanv,..., v r ist ein Untervektorraum ii Ist W V ein Untervektorraum und gilt v i spanv,..., v r W. Beispiel 3: span, x, x, x 3 = P 3 spanx 3 + x, x, x, x, = P 3 ein Erzeugendensystem ist nicht eindeutig. v,..., v r V heissen linear unabhängig, wenn: eine Familie Menge von Elementen aus V mit W für alle i {,..., r} so ist r λ k v k = λ v λ r v r = λ =... = λ r = k= und sonst heissen sie linear abhängig. v,..., v r V heissen linear unabhängig genau dann, wenn kein v i sich als Linearkombination der anderen a j mit j i schreiben lässt. z.b. v ist keine Linearkombination von v,..., v r schreiben. Beispiel 4: ist linear abhängig von 4, weil = ist linear unabhängig von. 3 3 Bei komponentenweiser Multiplikation bekommt man in der ersten Koordinate niemals, wenn man und 3 behalten will. Sei B = b i i I V. B heisst Basis von V, wenn V = spanb V wird erzeugt von B B = b i i I alle b i sind untereinander linear unabhängig. 5

6 Satz. B ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. spanb = V, aber spanb \ {b i } V, b i B. Satz. B ist ein maximal linear unabhängige Teilmenge von V, d.h. b i i I sind linear unabhängig aber b i i I {v} sind nicht mehr linear unabhängig, v V \ B. Sind B und B Basen von V, so gilt B = B. Jeder Vektorraum hat eine Basis. Sei B eine Basis von V. Dann ist B = dimv = # Basisvektoren die Dimension von V, wobei = Kardinalität von einer Menge ist. Falls dimv = n, dann gilt allgemein: Falls k < n, sind v,..., v k V nicht erzeugend Falls k > n, sind v,..., v k V linear abhängig Basisauswahlsatz. Aus jedem endlichen Erzeugendensystem eines Vektorraumes kann man eine Basis auswählen. Insbesondere hat jeder endlich erzeugte Vektorraum eine endliche Basis. Basisergnzungssatz. In einem endlich erzeugten Vektorraum V seien linear unabhängige Vektoren w,..., w n gegeben. Dann kann man w n +,..., w r finden so dass eine Basis von V ist. Beispiel 5: dimr n = n = dimc n dimp n = n + dim R C = B = {w,..., w n, w n +,..., w r } BP n = {, x, x,..., x }{{ n } } n+ Basisvektoren Basis von C über dem Körper R ist z.b. {, i} dim C C = Basis von C über dem Körper C ist z.b. {} 6

7 Tricks beim Rechnen bei Fragen betreffend Dimension, Basis, lineare Abhängigkeit, etc. Gegeben: v,..., v k V Gesucht: dimv, spanv,..., v k linear unabhängig?. Schreibe v T. v T k = A in eine Matrix mit n Zeilen.. Führe Gauss-Elimination auf A aus bis ihr die Zeilenstufenform erreicht habt. 3. Ziehe Fazit: RangA = dimspanv,..., v k RangA = k v,..., v k ist linear unabhängig RangA < k v,..., v k ist linear abhängig RangA = dimv v,..., v k ist erzeugend Falls RangA = dimv = k, dann bilden v,..., v k also eine Basis für R n Beispiel 6: 3 Zu zeigen:, 5, R 3 bilden eine Basis in R 3. Beweis: Wissen dimr 3 = 3, und wir haben 3 Vektoren. Jetzt müssen wir nur noch zeigen, dass die Vektoren linear unabhängig sind. 3 5 ii l i 5 iii l 3ii 5 9 = A RangA = 3 voller Rang Vektoren sind linear unabhängig und bilden somit eine Basis von R 3. Beispiel 7: Ist B = {, x, + x + x 3 } eine Basis von P 3? Wenn ja beweise, wenn nein, erweitere zu einer Basis. 7

8 Wissen: dimp 3 = 4 B kann keine sein, weil dimb = 3 < 4. Behauptung: B = {, x, + x + x 3, x } ist eine Basis von P 3. Beweis: = e x = e x = e 3 x 3 = e 4 + x + x 3 = e + e 3 + e 4 linear unabhänging, also ist B eine Basis von P 3 3 Basiswechsel, Koordinatentransformation I Seien A = e,..., e n die kanonische Basis vom Vektorraum V und B = b,..., b n eine weitere Basis von V beschrieben mit der kanonischen Basis. Dann existiert eine Transformationsmatrix mit: T B A = b b n mit e i = T B A b i, i {,..., n}. V A T A B V B Es gilt die folgende Rechenregel: TB A = T A B Mit der obigen Definition erhalten wir somit: TB Ae i = b i, i {,..., n}. 4 Lineare Abbildungen Eine Abbildung f : X Y heisst injektiv, falls x, x X : x x fx fx. In Worten: Verschiedene Elemente aus X werden auf verschiedene Bilder in Y abgebildet. 8

9 Eine Abbildung f : X Y heisst surjektiv, falls y Y x X : fx = y. In Worten: Jedes Element aus Y wird von f getroffen. Eine Abbildung f : X Y heisst bijektiv, falls y Y!x X : fx = y. In Worten: Jedes Element aus Y wird von f genau eins getroffen. Eine Abbildung F : V W zwischen E-Vektorräumen V und W heisst linear genauer Homomorphismus von E-Vektorräumen, wenn v, w V und λ E: L F v + w = F v + F w L F λv = λf v Diese beiden Bedingungen kann man zusammenfassen zu einer: L F v + λw = F v + λf w. Notation. Für F : V W linear ist F HomV, W. Es ist üblich, den Begriff Homomorphismus zu verschärfen: i F HomV, W und bijektiv Isomorphismus Notation: V =W ii F HomV, W und V = W Endomorphismus Notation: F EndV iii F EndV und bijektiv Automorphismus Zudem gilt: i G : W V linear, so dass F G = id W, G F = id V, d.h. w W : v V : F Gw = w GF v = v Seien MF, MG die darstellenden Matrizen von F : V W isomorph und G : W V homomorph und V, W sind endlichdimensionale Vektorräume, d.h. dimv < und dimw <. Dann bedeutet Bijektivität von F, dass dimv = dimw MF MG = MG MF = dimv MF = MG Sei die F HomV, W. ImF := F V = {F v v V } W ist ein Untervektorraum von W und heisst BildF oder ImF. 9

10 kerf := {v V F v = } V ist ein Untervektorraum von V und heisst kerf. Satz. Sei F : V W linear und V, W sind Vektorräume. Dann gilt: i F =, die Null wird immer auf die Null abgebildet ii F surjektiv ImF = W dimimf = dimw iii F injektiv kerf = {} dimkerf = iv F ist ein Isomorphismus dimv = dimw = rangf Satz. Sind f, g linear Abbildungen f g ist eine lineare Abbildung. Satz. Sind f, g lineare Abbildungen, dann ist die Funktion F := f ± g die aus der Linearkombination von f, g entsteht wieder eine lineare Abbildung. Der Rang der linearen Abbildung F ist definiert als: rangf = dimimf. Der Rang der linearen Abbildung F ist gleich dem Rang ihrer Abbildungsmatrix MF. Es gilt: rangf = dimimf = rangmf = rangmf T Zeilenrang = Spaltenrang: rangmf = rangmf T Achtung: Im Allgemeinen gilt: Spaltenraum Zeilenraum Beispiel : Sei F : R R, x 5x. F ist nicht linear, da F =.

11 Abbildungsmatrix darstellende Matrix; Spezialfall mit Standardbasis Gegeben: V ein Vektorraum, F : V, A W, B, v F v und Basis von V mit A = {a,..., a n } und die Standardbasis von W mit B = {b,..., b m } Gesucht: M A B F. Berechne für jeden Basisvektor F a i, i {,..., n}. Erstelle MB AF = F a,..., F a n } m-zeilen. }{{} n-spalten Wir haben die Abbildungsmatrix von F erhalten, wobei der Definitionsbereich bezüglich A und Bildbereich bezüglich B gegeben ist. Beispiel : Sei F = d dt : P P, p ṗ = dp dt. i Zu zeigen: F ist eine lineare Abbildung. Beweis: a, b P, λ E : F a + λb = d a + λb dt = d dt a + λ d dt b = F a + λf b ii Finde die Abbildungsmatrix MB BF bezüglich der Monombasis B = {, t, t }. p = λ + λ t + λ t P, ṗ = λ + λ t P, p = ṗ = λ λ λ λ λ E 3 E 3 = e t = e t = e 3 ṗ = ṗe =, ṗt = ṗe =, ṗt = ṗe 3 = = MB B F =

12 Ein Polynom p P n ist durch die Funktionswerte px i an n + paarweise verschiedenen Punkten x i {,..., n} eindeutig bestimmt. Seien V, U, W E-Vektorräume mit dimv = n, dimu = k und dimw = l, dann ist die Dimensionsregel für Verknüpfungen von linearen Abbildungen: Mf R l n, Mg R k l Mg f = Mg Mf R k l R l n = R k n Satz. Seien V und W zwei endlichdimensionale Vektorräume eines grösseren Vektorraums endlichdimensional dimv = n < und dimw = k < und sei f : V W linear, dann gelten die folgenden Dimensionsformeln: dimv + W = dimv + dimw dimv W n = dimv = dimkerf + dimimf Eigenschaften von linearen Abbildungen: Seien V, W E-Vektorräume und B = {v,..., v n } eine Basis von V. linear. Sei F : V W ImF = spanf v,..., F v n, d.h. F ist eindeutig definiert durch die Werte der Basisvektoren Ist F injektiv und v,..., v n V linear unabhängig, dann sind F v,..., F v n ImF linear unabhängig dimf < und F injektiv F ist bijektiv! 5 Basiswechsel, Koordinatentransformation II Satz. Sei E ein Körper, V ein E-Vektorraum mit dimv = n <. Seien v V, A = {a,..., a n }, B = {b,..., b n } Basen für V. Dann existieren eindeutige λ,..., λ n E sowie eindeutige µ,..., µ n E, so dass v = n λ k a k = k= n µ k b k. k= Da stellt sich die Frage wie man zwischen den Basen A und B wechseln kann, konkret hat man zum Beispiel die Abbildungsmatrix bezüglich A gegeben und möchte nun die Abbildungsmatrix bezüglich B darstellen. Zu jeder Basis B = {v,..., v n } von V gibt es genau einen Isomorphismus: φ B : V, x,..., x n φ B x,..., x n = n x k v k = x v x n v n mit φ B e i = v i. k=

13 In Worten: φ B ordnet x seinen Koordinaten bezüglich der Basis B zu. Seien V mit Basis A = {v,..., v m } und W mit Basis B = {w,..., w n } Vektorräume über E. Dann gibt es zu jeder linearen Abbildung f : V W genau eine Matrix MB A f, so dass MB Af j = fv j = a j w a mj w m für j =,..., n. Die Matrix M A B f von oben hat als j-te Spalte den Vektor der Koordinaten von fv j bezüglich der Basis B. Wichtig In den Spalten einer Abbildungsmatrix stehen die Bilder der Basisvektoren, d.h. M A B f = fv fv m. Die Matrix MB A f kann mit Hilfe des kommutierenden Diagramms auch foglendermassen beschrieben werden: MB A f = φ B f φ A E m V φ A M A B f f W φ B Die reguläre Transformationsmatrix TB A mit Basen A = {v,..., v n }, B = {w,..., w n } vom Vektorraum V sieht wie folgt aus: T A B = φ B φ A = t t n.. t n t nn, Dadurch kann man nun folgend beschreiben w i = t i v +...+t ni v n = TB Av i, wobei w i bezüglich Bund v i bezüglich A dargestellt ist: v TB A v A = w B, wobei v A =. v n bzgl. A, w B = φ A T A B V w. w n φ B bzgl. B. i {,..., n}, Rechenregeln. T A A = T A B = T B A λ A K n ein Koordinatenvektor bezüglich A µ B K n ein Koordinatenvektor bezüglich B TB Aλ A = µ B 3

14 f : V V linear mit Abbildungsmatrix MA A f wobei der Definitionsbereich und der Bildbereich bezüglich A gegeben ist. Analog ist die Abbildungsmatrix MB Bf im Definitionsbereich und im Bildbereich bezüglich B gegeben. Wir erreichen eine Basistransformation von A nach B der Abbildungsmatrix MA A f mit den Transformationsmatrizen TA B, T B A: M B B f φ B φ B M B B f = T A B M A A ft B A T B A V f V T A B φ A φ A MA Af f : V V linear mit Abbildungsmatrix M B B f wobei der Definitionsbereich bezüglich B und der Bildbereich bezüglich B gegeben ist. Analog ist die Abbildugnsmatrix M B B f im Definitionsbereich bezüglich B und im Bildbereich bezüglich B gegeben. Wir erreichen eine Basistransformation von B nach B Definitionsbereich bzw. von B nach B Bildbereich der Abbildungsmatrix M B B f mit den Transformationsmatrizen T B B, T B B : M B B f φ B φ B M B B f = T B B M B B ft B B T B B V f V T B B φ B φ B M B B f Seien A = e,..., e n die kanonische Basis vom Vektorraum V und B = b,..., b n eine weitere Basis von V beschrieben mit der kanonischen Basis. Dann existiert eine Transformationsmatrix mit: T B A = b b n mit e i = T B A b i, i {,..., n}. V A T A B V B Mit der obigen Definition erhalten wir somit: T A B e i = b i, i {,..., n}. 4

15 Transformationsmatrix Gegeben: A = a,..., a n, B = b,..., b n sind Basen von V. Gesucht: Transformationsmatrix T A B und T B A. B A b b n a a n Gaussen ohne Zeilenvertauschung A B a a n b b n Gaussen ohne Zeilenvertauschung TB A TA B Intuition BB B A }{{ } AB }{{ } T B A =T A B Beispiel 3: 3 3 Gegeben: A =,,, B = 3,, Gesucht: TB A, T A B iii l 3 ii ii iii i ii ii l i i 3 iii i 3 iii 3 iii l 3 i = TB A = TA B = T B A könnt ihr entweder mit dem Rezept von oben berechnen oder ihr benützt das Rezept aus der 3. Übungsstunde und berechnet die Inverse TB A = TA B. Beispiel 4: Sei V = P mit Basen B = {, x, x } Standardbasis Monombasis und A = {a, a, a 3 } 5

16 mit a T A B, T B A? a = x a = x + = x + x + a 3 = x = x x + b Sei F = d : P dt P, p ṗ = dp mit Abbildungsmatrix dt MF = MB BF =. Was ist MA A F? c Sei px = 3x 8x + P. Was sind die Koordinaten von p bezüglich A und B? a Da B die Standardbasis ist, gilt: TB A = a a a 3 = TA B = T B A : Zeilenvertauschungen iii l 3 ii i 4 iii ii 4 iii i ii iii 4 4 TA B = TB A = 4 4 b Unter Verwendung der Rechenregel erhalten wir: MA A F = TA B MB B F TB A = = c Koordinaten von p bezüglich B: p B =

17 Koordinaten von p bezüglich A: p A = TA B p B =. 3 Test: a a + 3a 3 = 3x 8x + = px Zwei Matrizen A, B E m n heissen äquivalent, wenn es S E m m und T n gibt mit: B = SAT Falls m = n nennen wir A, B E m n ähnlich, wenn es ein S E m m gibt mit: B = SAS. 7