Lineare Algebra. 6. Übungsstunde. Steven Battilana.

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1 Lineare Algebra 6. Übungsstunde Steven attilana November, 6

2 Lineare Abbildungen Eine Abbildung f : X Y heisst injektiv, falls x, x X : x x fx fx. In Worten: erschiedene Elemente aus X werden auf verschiedene ilder in Y abgebildet. Eine Abbildung f : X Y heisst surjektiv, falls y Y x X : fx = y. In Worten: Jedes Element aus Y wird von f getroffen. Eine Abbildung f : X Y heisst bijektiv, falls y Y!x X : fx = y. In Worten: Jedes Element aus Y wird von f genau eins getroffen. Eine Abbildung F : W zwischen E-ektorräumen und W heisst linear genauer Homomorphismus von E-ektorräumen, wenn v, w und λ E: L F v + w = F v + F w L F λv = λf v Diese beiden edingungen kann man zusammenfassen zu einer: L F v + λw = F v + λf w. Notation. Für F : W linear ist F Hom, W. Es ist üblich, den egriff Homomorphismus zu verschärfen: i F Hom, W und bijektiv Isomorphismus Notation: =W ii F Hom, W und = W Endomorphismus Notation: F End iii F End und bijektiv Automorphismus Zudem gilt: i G : W linear, so dass F G = id W, G F = id, d.h. w W : v : F Gw = w GF v = v Seien MF, MG die darstellenden Matrizen von F : W isomorph und G : W homomorph und, W sind endlichdimensionale ektorräume, d.h. dim < und dimw <. Dann bedeutet ijektivität von F, dass

3 dim = dimw MF MG = MG MF = dim MF = MG Sei die F Hom, W. ImF := F = {F v v } W ist ein Untervektorraum von W und heisst ildf oder ImF. kerf := {v F v = } ist ein Untervektorraum von und heisst kerf. Satz. Sei F : W linear und, W sind ektorräume. Dann gilt: i F =, die Null wird immer auf die Null abgebildet ii F surjektiv ImF = W dimimf = dimw iii F injektiv kerf = {} dimkerf = iv F ist ein Isomorphismus dim = dimw = rangf Satz. Sind f, g linear Abbildungen f g ist eine lineare Abbildung. Satz. Sind f, g lineare Abbildungen, dann ist die Funktion F := f ± g die aus der Linearkombination von f, g entsteht wieder eine lineare Abbildung. Der Rang der linearen Abbildung F ist definiert als: rangf = dimimf. Der Rang der linearen Abbildung F ist gleich dem Rang ihrer Abbildungsmatrix MF. Es gilt: rangf = dimimf = rangmf = rangmf T Zeilenrang = Spaltenrang: rangmf = rangmf T Achtung: Im Allgemeinen gilt: Spaltenraum Zeilenraum eispiel : Sei F : R R, x 5x. F ist nicht linear, da F =. 3

4 Abbildungsmatrix darstellende Matrix; Spezialfall mit Standardbasis Gegeben: ein ektorraum, F :, A W,, v F v und asis von mit A = {a,..., a n } und die Standardbasis von W mit = {b,..., b m } Gesucht: M A F. erechne für jeden asisvektor F a i, i {,..., n}. Erstelle M AF = F a,..., F a n } m-zeilen. }{{} n-spalten Wir haben die Abbildungsmatrix von F erhalten, wobei der Definitionsbereich bezüglich A und ildbereich bezüglich gegeben ist. eispiel : Sei F = d dt : P P, p ṗ = dp dt. i Zu zeigen: F ist eine lineare Abbildung. eweis: a, b P, λ E : F a + λb = d a + λb dt = d dt a + λ d dt b = F a + λf b ii Finde die Abbildungsmatrix M F bezüglich der Monombasis = {, t, t }. p = λ + λ t + λ t P, ṗ = λ + λ t P, p = ṗ = λ λ λ λ λ E 3 E 3 = e t = e t = e 3 ṗ = ṗe =, ṗt = ṗe =, ṗt = ṗe 3 = = M F = 4

5 Ein Polynom p P n ist durch die Funktionswerte px i an n + paarweise verschiedenen Punkten x i {,..., n} eindeutig bestimmt. Seien, U, W E-ektorräume mit dim = n, dimu = k und dimw = l, dann ist die Dimensionsregel für erknüpfungen von linearen Abbildungen: Mf R l n, Mg R k l Mg f = Mg Mf R k l R l n = R k n Satz. Seien und W zwei endlichdimensionale ektorräume eines grösseren ektorraums endlichdimensional dim = n < und dimw = k < und sei f : W linear, dann gelten die folgenden Dimensionsformeln: dim + W = dim + dimw dim W n = dim = dimkerf + dimimf Eigenschaften von linearen Abbildungen: Seien, W E-ektorräume und = {v,..., v n } eine asis von. linear. Sei F : W ImF = spanf v,..., F v n, d.h. F ist eindeutig definiert durch die Werte der asisvektoren Ist F injektiv und v,..., v n linear unabhängig, dann sind F v,..., F v n ImF linear unabhängig dimf < und F injektiv F ist bijektiv! asiswechsel, Koordinatentransformation II Satz. Sei E ein Körper, ein E-ektorraum mit dim = n <. Seien v, A = {a,..., a n }, = {b,..., b n } asen für. Dann existieren eindeutige λ,..., λ n E sowie eindeutige µ,..., µ n E, so dass v = n λ k a k = k= n µ k b k. k= Da stellt sich die Frage wie man zwischen den asen A und wechseln kann, konkret hat man zum eispiel die Abbildungsmatrix bezüglich A gegeben und möchte nun die Abbildungsmatrix bezüglich darstellen. Zu jeder asis = {v,..., v n } von gibt es genau einen Isomorphismus: φ :, x,..., x n φ x,..., x n = n x k v k = x v x n v n mit φ e i = v i. k= 5

6 In Worten: φ ordnet x seinen Koordinaten bezüglich der asis zu. Seien mit asis A = {v,..., v m } und W mit asis = {w,..., w n } ektorräume über E. Dann gibt es zu jeder linearen Abbildung f : W genau eine Matrix M A f, so dass M Af j = fv j = a j w a mj w m für j =,..., n. Die Matrix M A f von oben hat als j-te Spalte den ektor der Koordinaten von fv j bezüglich der asis. Wichtig In den Spalten einer Abbildungsmatrix stehen die ilder der asisvektoren, d.h. M A f = fv fv m. Die Matrix M A f kann mit Hilfe des kommutierenden Diagramms auch foglendermassen beschrieben werden: M A f = φ f φ A E m φ A M A f f W φ Die reguläre Transformationsmatrix T A mit asen A = {v,..., v n }, = {w,..., w n } vom ektorraum sieht wie folgt aus: T A = φ φ A = t t n.. t n t nn, Dadurch kann man nun folgend beschreiben w i = t i v +...+t ni v n = T Av i, wobei w i bezüglich und v i bezüglich A dargestellt ist: v T A v A = w, wobei v A =. v n bzgl. A, w = φ A T A w. w n φ bzgl.. i {,..., n}, Rechenregeln. T A A = T A = T A λ A K n ein Koordinatenvektor bezüglich A µ K n ein Koordinatenvektor bezüglich T Aλ A = µ 6

7 f : linear mit Abbildungsmatrix MA A f wobei der Definitionsbereich und der ildbereich bezüglich A gegeben ist. Analog ist die Abbildungsmatrix M f im Definitionsbereich und im ildbereich bezüglich gegeben. Wir erreichen eine asistransformation von A nach der Abbildungsmatrix MA A f mit den Transformationsmatrizen TA, T A: M f φ φ M f = T A M A A ft A T A f T A φ A φ A MA Af f : linear mit Abbildungsmatrix M f wobei der Definitionsbereich bezüglich und der ildbereich bezüglich gegeben ist. Analog ist die Abbildugnsmatrix M f im Definitionsbereich bezüglich und im ildbereich bezüglich gegeben. Wir erreichen eine asistransformation von nach Definitionsbereich bzw. von nach ildbereich der Abbildungsmatrix M f mit den Transformationsmatrizen T, T : M f φ φ M f = T M ft T f T φ φ M f Seien A = e,..., e n die kanonische asis vom ektorraum und = b,..., b n eine weitere asis von beschrieben mit der kanonischen asis. Dann existiert eine Transformationsmatrix mit: T A = b b n mit e i = T A b i, i {,..., n}. A T A Mit der obigen Definition erhalten wir somit: T A e i = b i, i {,..., n}. 7

8 Transformationsmatrix Gegeben: A = a,..., a n, = b,..., b n sind asen von. Gesucht: Transformationsmatrix T A und T A. A b b n a a n Gaussen ohne Zeilenvertauschung A a a n b b n Gaussen ohne Zeilenvertauschung T A TA Intuition A }{{ } A }{{ } T A =T A eispiel 3: 3 3 Gegeben: A =,,, = 3,, Gesucht: T A, T A iii l 3 ii ii iii i ii ii l i i 3 iii i 3 iii 3 iii l 3 i = T A = TA = T A könnt ihr entweder mit dem Rezept von oben berechnen oder ihr benützt das Rezept aus der 3. Übungsstunde und berechnet die Inverse T A = TA. eispiel 4: Sei = P mit asen = {, x, x } Standardbasis Monombasis und A = {a, a, a 3 } 8

9 mit a T A, T A? a = x a = x + = x + x + a 3 = x = x x + b Sei F = d : P dt P, p ṗ = dp mit Abbildungsmatrix dt MF = M F =. Was ist MA A F? c Sei px = 3x 8x + P. Was sind die Koordinaten von p bezüglich A und? a Da die Standardbasis ist, gilt: T A = a a a 3 = TA = T A : Zeilenvertauschungen iii l 3 ii i 4 iii 4 4 ii 4 iii i ii iii TA = T A = b Unter erwendung der Rechenregel erhalten wir: MA A F = TA M F T A = = 3 3 c Koordinaten von p bezüglich : p =

10 Koordinaten von p bezüglich A: p A = TA p =. 3 Test: a a + 3a 3 = 3x 8x + = px Zwei Matrizen A, E m n heissen äquivalent, wenn es S E m m und T n gibt mit: = SAT Falls m = n nennen wir A, E m n ähnlich, wenn es ein S E m m gibt mit: = SAS.