Teil II: Lineare Algebra

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1 3 Vektorräume 49 Teil II: Lineare Algebra 3 Vektorräume Wir haben in den vorangegangenen Kapiteln ausführlich die Differential- und Integralrechnung in einer (reellen Variablen untersucht Da die Welt aber nicht eindimensional ist, muss es letztlich unser Ziel sein, diese Theorie auf Funktionen in mehreren Variablen auszudehnen, also die Definitionsund auch Wertebereiche unserer Funktionen von (Teilmengen von R auf (Teilmengen von R 2, R 3 oder allgemein R n für ein n N zu erweitern Wir werden auch dann wieder versuchen, wie in Kapitel 0 eine gegebene Funktion an einem festen Punkt durch eine lineare Funktion zu approximieren Allerdings sind in mehreren Variablen bereits solche linearen Funktionen relativ komplizierte Objekte, so dass wir nun zuerst diese ausführlich studieren wollen dies ist der Inhalt der sogenannten linearen Algebra bzw der Vektorrechnung Natürlich treten solche linearen Funktionen, vor allem in der Form von linearen Gleichungssystemen, auch außerhalb der Analysis an vielen Stellen auf Während ihr in der Schule dabei vermutlich nur Gleichungssysteme mit zwei oder drei Variablen betrachtet und gelöst habt, sind in der Praxis aber auch Gleichungssysteme mit vielen tausend Variablen keine Seltenheit Wir müssen daher auch untersuchen, wie man solche großen Gleichungssysteme effizient behandeln kann also wie man sie überhaupt erst einmal hinschreiben, und dann natürlich auch lösen kann In der Analysis haben wir ja hauptsächlich mit den reellen Zahlen als zugrunde liegendem Körper gearbeitet, und das wird sich nun in der linearen Algebra auch nicht wesentlich ändern Allerdings haben wir auch schon gesehen, dass viele Konstruktionen und Sätze auch mit den komplexen Zahlen oder sogar (wie in Kapitel 3 mit einem beliebigen Körper funktionieren Die lineare Algebra verhält sich hier sehr gutartig : Da wir letztlich nur lineare Funktionen bzw Gleichungen betrachten werden, benötigen wir keinen geordneten Körper, keine Ungleichungen, Epsilons oder Abschätzungen, und damit auch kein Supremumsaxiom oder andere spezielle Eigenschaften von R oder C Wir können daher nahezu die gesamte lineare Algebra über einem beliebigen Grundkörper studieren, also z B auch über Q, dem Körper Z 2 aus Beispiel 36 (b, oder anderen Körpern, die ihr vielleicht inzwischen aus der Parallelvorlesung Algebraische Strukturen kennt Wir werden unseren Grundkörper daher jetzt auch wieder mit K bezeichnen (statt mit K, was ja für R oder C stand 3A Der Vektorraumbegriff Wie ihr ja sicher aus der Schule wisst, werden die Elemente von R n, die uns im Folgenden hauptsächlich interessieren werden, in der Regel Vektoren genannt Aber was genau ist im Allgemeinen eigentlich ein Vektor? Genau wie bei Gruppen und Körpern in Kapitel 3 werden Vektoren über die Operationen definiert, die man mit ihnen durchführen kann: In einer Gruppe gibt es eine Verknüpfung, die gewisse Eigenschaften erfüllt (siehe Definition 3, in einem Körper zwei Verknüpfungen + und mit den erwarteten Eigenschaften (siehe Definition 35 Was sind nun die analogen definierenden Verknüpfungen und Eigenschaften für Vektoren? Wir wissen alle aus der Schule, dass man Vektoren addieren und strecken, also mit einer reellen Zahl (bzw mit einer Zahl des gewählten Grundkörpers K multiplizieren kann Genau diese beiden Strukturen definieren einen allgemeinen Vektorraum: Definition 3 (Vektorräume Es sei K ein Körper Ein Vektorraum über K (oder K-Vektorraum ist eine Menge V zusammen mit zwei Verknüpfungen +: V V V (Vektoraddition und : K V V (Skalarmultiplikation

2 50 Andreas Gathmann so dass gilt: (a (V,+ ist eine abelsche Gruppe (siehe Definition 3 (b ( Distributivität Für alle λ,µ K und x V gilt (λ + µ x = λ x + µ x (c (2 Distributivität Für alle λ K und x,y V gilt λ (x + y = λ x + λ y (d (Assoziativität Für alle λ,µ K und x V gilt (λ µ x = λ (µ x (e Für alle x V gilt x = x Die Elemente von V heißen Vektoren, die Elemente von K Skalare Bemerkung 32 (a Beachte, dass man einen Vektorraum nur dann definieren kann, wenn man vorher einen Körper K gewählt hat Wenn klar ist, welcher Körper gemeint ist, werden wir jedoch auch oft nur von einem Vektorraum (statt einem K-Vektorraum sprechen (b In Definition 3 haben wir mehrfach die gleichen Symbole für unterschiedliche Dinge verwendet: Es gibt z B zwei Additionen, die wir beide mit + bezeichnet haben, nämlich die Addition +: K K K zweier Körperelemente und die Addition +: V V V der Vektoren Da man aus der Art der verknüpften Elemente eindeutig ablesen kann, um welche Verknüpfung es sich handeln muss, können dadurch aber keine Mehrdeutigkeiten entstehen: So werden z B beim ersten Pluszeichen in Definition 3 (b zwei Skalare, beim zweiten jedoch zwei Vektoren addiert Nur wenn wir auch in der Notation explizit deutlich machen wollen, um welche der beiden Verknüpfungen es sich handelt, schreiben wir diese als + K bzw + V Analog gibt es auch die Multiplikation zweimal, einmal als Multiplikation K in K und einmal als Skalarmultiplikation V, und auch zweimal die Null, nämlich einmal als Null 0 K im Körper K und einmal als Nullvektor 0 V, d h als das neutrale Element von (V,+ In dieser ausführlichen Notation könnte man z B die Bedingung aus Definition 3 (b als Beispiel 33 (λ + K µ V x = λ V x + V µ V x schreiben In der Regel werden wir diese Indizes K und V jedoch weglassen, genauso wie die Malzeichen sowohl für K als auch für V (a Für jeden Körper K ist V = {0} (mit den trivialen Verknüpfungen ein K-Vektorraum, der sogenannte Nullvektorraum (b Es seien K ein Körper und n N Wir betrachten die Menge K n = K K = }{{} :,, K n-mal aller geordneten n-tupel in K, d h ein Element von K n wird dadurch angegeben, dass man n Elemente,, von K angibt (die nicht notwendig verschieden sein müssen und auf deren Reihenfolge es ankommt Dass wir die Elemente,, dabei untereinander und nicht nebeneinander schreiben, ist momentan eine reine Konvention, die sich später bei der Einführung von Matrizen in Abschnitt 6A als nützlich erweisen wird Definiert man nun auf K n die komponentenweisen Verknüpfungen + y y n + y := und λ + y n λ := λ

3 3 Vektorräume 5 für alle λ K, so ist K n mit diesen Verknüpfungen ein K-Vektorraum In der Tat folgen die Vektorraumeigenschaften alle aus den Körpereigenschaften von K; wir zeigen hier exemplarisch Teil (b der Definition 3: Für alle λ,µ,,, K gilt (λ + µ λ + µ (λ + µ = (λ + µ = λ + µ = λ + µ wobei das mittlere Gleichheitszeichen genau die Distributivität in K ist und die beiden anderen aus der Definition der Vektoraddition und Skalarmultiplikation in K n folgen Im Fall K = R und n = 2 ist K n = R 2 einfach die bekannte reelle Ebene, und die beiden Verknüpfungen entsprechen natürlich wie im folgenden Bild der aus der Schule bekannten Vektoraddition und Skalarmultiplikation, x = ( x y x + y λx x x Wenn wir im Folgenden vom Vektorraum K n sprechen, werden wir diesen Raum immer als Vektorraum über dem Körper K betrachten (sofern wir nichts anderes angeben Diese Vektorräume K n für n N sind sicher die wichtigsten Beispiele für K-Vektorräume Im Fall n = erhält man K = K, also K selbst als K-Vektorraum; der Fall n = 0 wird konventionsgemäß als der Nullvektorraum K 0 = {0} aufgefasst (c Sind V und W zwei K-Vektorräume, so ist (in Verallgemeinerung von (b auch ihr Produkt V W mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation ein K-Vektorraum (d Es seien K ein Körper und M eine Menge Dann ist die Menge Abb(M,K := { f : M K} aller Abbildungen von M nach K ein K-Vektorraum, indem wir Addition und Multiplikation punktweise definieren als ( f + g(x := f (x + g(x und (λ f (x := λ f (x für alle λ K, x M und f,g: M K Der Nullvektor ist in diesem Fall die Funktion, die jedes Element von M auf 0 abbildet, und das zu einer Funktion f : M K additive Inverse die Funktion f : M K, x f (x Ein Spezialfall dieser Konstruktion ist der Raum Abb(N,R aller reellen Zahlenfolgen (e R ist ein Q-Vektorraum In der Tat kann man reelle Zahlen addieren und mit einer rationalen multiplizieren, und es ist klar, dass mit diesen Definitionen alle Vektorraumeigenschaften erfüllt sind Genauso ist auch C ein Vektorraum über R und Q Wir wollen nun zunächst ein paar elementare Eigenschaften von Vektorräumen zeigen Sie haben einen ähnlichen Charakter wie die Axiome in Definition 3, folgen aber bereits aus diesen (so dass man sie nicht separat als Axiome fordern muss Lemma 34 (Eigenschaften von Vektorräumen In jedem K-Vektorraum V gilt für alle λ K und x V : (a 0 K x = λ 0 V = 0 V (b Ist λ x = 0 V, so ist λ = 0 K oder x = 0 V (c ( x = x

4 52 Andreas Gathmann Beweis (a Es gilt 0 K x = (0 K +0 K x = 0 K x+0 K x wegen der Distributivität aus Definition 3 (b, nach Subtraktion von 0 K x also 0 V = 0 K x Genauso erhalten wir mit der 2 Distributivität λ 0 V = λ (0 V + 0 V = λ 0 V + λ 0 V, nach Subtraktion von λ 0 V also 0 V = λ 0 V (b Ist λx = 0 V und λ 0 K, so folgt (c Es gilt x = x = (λ λx (Definition 3 (e = λ (λx (Definition 3 (d = 0 V (Teil (a ( x + x = ( x + x (Definition 3 (e = ( + x (Definition 3 (b = 0 K x = 0 V (Teil (a, also ist ( x das additive Inverse zu x Immer wenn man eine neue mathematische Struktur (wie z B Gruppen, Körper, oder jetzt hier die Vektorräume einführt, sollte man als Erstes zwei Dinge untersuchen: die sogenannten Unterstrukturen, d h Teilmengen, die selbst wieder die betrachtete Struktur haben, und die sogenannten Morphismen, d h Abbildungen, die diese Struktur erhalten Wir haben dies in Kapitel 3 nur deswegen für Gruppen und Körper nicht getan, weil wir in dieser Vorlesung nur Vektorräume, aber nicht Gruppen und Körper ausführlich studieren wollen Diejenigen von euch, die auch die Parallelvorlesung Algebraische Strukturen hören, haben dort aber sicher bereits z B Untergruppen und Morphismen von Gruppen untersucht und werden jetzt feststellen, dass sich Untervektorräume und Morphismen von Vektorräumen, die wir nun studieren wollen, eigentlich fast genauso verhalten Wir beginnen dabei mit den Untervektorräumen, und studieren die Morphismen dann im nächsten Kapitel Definition 35 (Untervektorräume Es sei V ein Vektorraum über einem Körper K Eine Teilmenge U V heißt Untervektorraum oder Unterraum von V, in Zeichen U V, wenn U nicht leer ist und die folgenden beiden Bedingungen erfüllt: (a für alle x,y U ist x + y U; (b für alle λ K und x U ist λx U Man sagt hierfür auch, dass U bezüglich Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist Bemerkung 36 (a Durch fortgesetztes Anwenden der Eigenschaften (a und (b von Definition 35 sieht man sofort, dass in einem Unterraum U von V auch für alle n N >0 gilt: Für alle λ,,λ n K und,, U ist λ + + λ n U Beachte, dass,, hierbei im Gegensatz zu Beispiel 33 (b verschiedene Vektoren, und nicht die Komponenten eines Vektors in K n sind In der Tat ist diese Indexnotation in der Praxis für beide Bedeutungen üblich Aus dem Zusammenhang ist aber immer offensichtlich, was gemeint ist, da,, in Beispiel 33 (b Elemente des Grundkörpers sind, hier jedoch Elemente des betrachteten Vektorraums (b Jeder Unterraum U von V muss den Nullvektor enthalten: Nach Definition 35 ist U nicht leer, enthält also ein Element x U Damit liegt nach Definition 35 (b auch 0 x = 0 in U

5 3 Vektorräume 53 Die Abgeschlossenheit eines Untervektorraums bezüglich Vektoraddition und Skalarmultiplikation bedeutet gerade, dass sich diese beiden Verknüpfungen zu Verknüpfungen +: U U U und : K U U auf U einschränken lassen Wir wollen nun sehen, dass dies die Menge U selbst wieder zu einem Vektorraum macht was letztlich auch den Namen Untervektorraum erklärt Lemma 37 Jeder Untervektorraum eines K-Vektorraums ist (mit den eingeschränkten Verknüpfungen selbst wieder ein K-Vektorraum Beweis Wir müssen die Eigenschaften aus Definition 3 für U nachweisen Dazu beginnen wir mit (a und zeigen zunächst, dass (U,+ eine Gruppe ist (Assoziativität der Vektoraddition Weil V ein Vektorraum ist, gilt (x + y + z = x + (y + z für alle x,y,z V und damit erst recht für alle x,y,z U Die Assoziativität der Addition überträgt sich also direkt von V auf U (Additives neutrales Element Nach Bemerkung 36 (b liegt der Nullvektor in U Dieser erfüllt x + 0 = 0 + x = x für alle x V und damit auch für alle x U, und ist damit ein neutrales Element für die Addition in U (Additive inverse Elemente Für jedes x U gilt nach Definition 35 (b auch ( x U, und dies ist ja nach Lemma 34 (c genau das additive inverse Element zu x Die übrigen Vektorraumeigenschaften sind alle von der Form, dass für alle Vektoren aus U eine bestimmte Gleichung gelten muss und dies folgt nun genauso wie die Assoziativität oben sofort daraus, dass die betreffenden Gleichungen sogar für alle Vektoren aus V gelten Wir können also viele neue Beispiele von Vektorräumen finden, indem wir in bereits bekannten Vektorräumen nach Unterräumen suchen also nach nicht-leeren Teilmengen, die unter der Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen sind Hier sind ein paar Beispiele dafür Beispiel 38 (a Für jeden Vektorraum V sind der Nullvektorraum {0} V und der gesamte Raum V V natürlich stets Unterräume von V Sie werden die trivialen Unterräume genannt (b Es seien K = R und V = R 2 Für ein gegebenes m R betrachten wir die folgenden Teilmengen U,U 2,U 3 von V : U U 2 U 3 {( x } {( x : = m : x = m + 2 } {( x } : = oder = 0 Die Ursprungsgerade ( U ist( ein Untervektorraum von R 2 : Natürlich ist U /0, und für alle x y λ R und x =,y = R 2 gilt: y 2 Sind x,y U, also = m und y 2 = my, so ist + y 2 = m + my = m( + y und damit auch x + y U Ist x U, also = m, so ist auch λ = mλ, also λx U

6 54 Andreas Gathmann 30 U 2 ist nach Bemerkung 36 (b( kein Unterraum ( von R 2, da 0 / U 2 U 3 ist ebenfalls ( kein 2 Unterraum, denn es liegen zwar und in U 0 3, nicht aber deren Summe Beachte, dass man hier nicht nur an den Formeln, sondern auch an den Bildern oben schon sehen kann, ob die gegebenen Teilmengen abgeschlossen bezüglich Vektoraddition und Skalarmultiplikation, also ob sie Untervektorräume sind (c Für eine gegebene Teilmenge D R ist die Teilmenge U Abb(D,R aller stetigen Funktionen f : D R ein Unterraum des Vektorraums Abb(D,R aus Beispiel 33 (d, denn mit f und g sind nach Lemma 85 auch f + g und λ f für alle λ R stetig Analog sind auch die Räume aller differenzierbaren Funktionen bzw aller Polynomfunktionen in Abb(D, R, sowie der Raum aller konvergenten Folgen in Abb(N,R Untervektorräume Bemerkung 39 (Durchschnitt und Vereinigung von Unterräumen Es seien U und U 2 Unterräume eines K-Vektorraums V (a Der Durchschnitt U U 2 ist ebenfalls wieder ein Unterraum von V : U U 2 ist nicht leer, denn nach Bemerkung 36 (b liegt der Nullvektor in U und U 2, und damit auch in U U 2 Sind x,y U U 2, so gilt insbesondere x,y U und damit auch x + y U, da U ein Unterraum ist Genauso ergibt sich x + y U 2, insgesamt also x + y U U 2 Ist x U U 2 und λ K, so gilt insbesondere x U und damit dann auch λx U, da U ein Unterraum ist Genauso ergibt sich auch λx U 2 und damit dann λx U U 2 Analog sieht man natürlich, dass auch der Durchschnitt U U n von mehr als zwei Unterräumen wieder ein Unterraum ist (b Die Vereinigung U U 2 ist im Allgemeinen kein Unterraum von V : Wir haben z B in Beispiel 38 (a (mit m = bzw m = 0 gesehen, dass die beiden Geraden {( } {( } x x : = und : = 0 Unterräume von R 2 sind, ihre Vereinigung jedoch nicht Aufgabe 30 Welche der folgenden Teilmengen sind Unterräume von R 3? (a a 0 : a,b R ; b a (b {x R 3 : + ax 3 = a} für ein festes, gegebenes a R; (c {x R 3 : x 3 = x3 2 = x3 3 }; (d {x R 3 :,,x 3 Z} Hierbei sei jeweils x = x, d h,,x 3 seien die Koordinaten des Vektors x x 3 Aufgabe 3 Es seien U und U 2 Unterräume eines K-Vektorraums V Zeige, dass U U 2 genau dann ein Unterraum von V ist, wenn U U 2 oder U 2 U 3B Linearkombinationen Möchte man aus der Vereinigung zweier Unterräume (oder einer anderen Menge, die noch nicht unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist einen Unterraum machen, muss man um die Abgeschlossenheit zu erreichen offensichtlich noch alle Vektoren zu der Menge hinzufügen, die sich durch Vektoraddition und Skalarmultiplikation aus den gegebenen Vektoren erzielen lassen Dies tut die folgende allgemeine Konstruktion

7 3 Vektorräume 55 Definition 32 (Linearkombinationen und erzeugte Unterräume Es sei A eine beliebige Teilmenge eines K-Vektorraums V Wir setzen Lin A := {λ + + λ n : n N, λ,,λ n K,,, A} Die Elemente dieser Menge werden Linearkombinationen der Vektoren aus A genannt Offensichtlich ist Lin A stets ein Unterraum, denn es ist immer 0 Lin A (wir erhalten den Nullvektor für n = 0, und außerdem sind Summen und skalare Vielfache von Linearkombinationen aus A natürlich wieder Linearkombinationen aus A Man nennt Lin A den von A erzeugten bzw aufgespannten Unterraum Bemerkung 33 (a Natürlich enthält Lin A stets die Menge A, denn für jedes x A ist x = x Lin A Ist weiterhin U ein beliebiger Unterraum, der A enthält, so muss U nach Bemerkung 36 (a bereits Lin A enthalten In diesem Sinne ist Lin A also (bezüglich Mengeninklusion der kleinste Unterraum, der A enthält (b Ist A = {,, } eine endliche Menge, so schreibt man Lin A = Lin{,, } auch als Lin(,, In diesem Fall können wir in den obigen Linearkombinationen natürlich annehmen, dass stets alle diese Vektoren,, vorkommen (nicht benötigten Vektoren können wir ja den Vorfaktor Null geben, und erhalten die einfachere Darstellung Lin(,, = {λ + + λ n : λ,,λ n K} Im Fall einer einelementigen Menge A = { } schreiben wir Lin A = Lin( auch als Lin (c Ist A hingegen eine unendliche Menge, so wird jede Linearkombination von Elementen aus A nur eine Auswahl dieser Elemente enthalten können, da Linearkombinationen nach Definition stets endlich sind Eine unendliche Summe der Form i=0 λ ix i würde in der linearen Algebra auch gar keinen Sinn ergeben, da wir im Gegensatz zur Analysis ja keinen Konvergenzbegriff zur Verfügung haben Betrachten wir z B im Vektorraum Abb(N, R aller reellen Zahlenfolgen (siehe Beispiel 33 (d die Folgen (e i = (0,0,,0,,0,0,, die genau an der i-ten Stelle eine haben, so ist der von allen e i mit i N erzeugte Unterraum nicht der Raum aller Folgen, sondern nur der Unterraum aller Folgen, bei denen nur endlich viele Glieder ungleich Null sind ( Beispiel 34 Für m R ist der vom Vektor in R 2 erzeugte Unterraum Lin ( { = λ m ( } : λ R = m also der Raum U aus Beispiel 38 (a m {( λ λm } : λ R = {( x : = m }, Mit Hilfe der Konstruktion von erzeugten Unterräumen können wir jetzt wie oben bereits erläutert zu zwei Unterräumen U und U 2 einen neuen konstruieren, der sich aus der Vereinigung U U 2 ergibt indem wir statt der Menge U U 2 (die nach Bemerkung 39 (b im Allgemeinen ja kein Unterraum ist zum davon erzeugten Unterraum Lin(U U 2 übergehen Wir erhalten daraus die folgende Konstruktion: Lemma und Definition 35 (Summe von Unterräumen Es seien U und U 2 zwei Unterräume eines K-Vektorraums V Dann ist der von U und U 2 erzeugte Unterraum gegeben durch Lin(U U 2 = U +U 2 := { + : U, U 2 } Man nennt diesen Unterraum die Summe von U und U 2 Beweis Da jeder Vektor der Form + mit U und U 2 eine Linearkombination von Vektoren aus U U 2 ist, ist die Inklusion Lin(U U 2 U +U 2 klar

8 56 Andreas Gathmann Für die andere Inklusion sei x Lin(U U 2, also x = λ z + + λ n z n für gewisse λ,,λ n K und z,,z n U U 2 Wir können annehmen, dass die z,,z n dabei so nummeriert sind, dass z,,z k U und z k+,,z n U 2 gilt Dann ist aber Bemerkung 36 (a Ist x = λ z + + λ k z }{{} k +λ k+ z k+ + + λ n z n U }{{} +U 2 U U 2 und U = Lin(,, = {λ + + λ n : λ,,λ n K} U 2 = Lin(y,,y m = {µ y + + µ m y m : µ,, µ m K}, so ist die Summe dieser Unterräume gegeben durch U +U 2 = {λ + + λ n + µ y + + µ m y m : λ,,λ n, µ,, µ m K} = Lin(,,,y,,y m (b Analog zu Definition 35 kann man natürlich auch die Summe von mehr als zwei Unterräumen definieren, und man erhält wie oben Lin(U U n = U + +U n := { + + : x i U i für alle i =,,n} Beispiel 37 Für die Unterräume U = Lin 0 0 und U 2 = Lin 0 0 von R 3 ist die Summe nach Bemerkung 36 (a wie im Bild rechts dargestellt die (, -Ebene U +U 2 = Lin(U U 2 = Lin 0, U U 2 x 3 Lin(U U 2 = U +U 2 Gemäß Bemerkung 33 (a ist dies in der Tat der kleinste Unterraum, der U und U 2 enthält Bemerkung 38 (Eindeutigkeit der Summendarstellung Jeder Vektor in einer Summe U + +U n von Unterräumen lässt sich nach Definition als + + mit x i U i für alle i =,,n schreiben Allerdings ist diese Darstellung im Allgemeinen nicht eindeutig: Betrachten wir wie im Bild rechts die drei Ursprungsgeraden U = Lin ( 0, U 2 = Lin ( 0, U 3 = Lin (, in R 2, so hat z B der Vektor ( ( ( ( ( ( ( = + + = + + U U 2 +U 3 = R 2 }{{}}{{}}{{}}{{}}{{}}{{} U U 2 U 3 U U 2 U 3 zwei verschiedene Darstellungen dieser Art Ist die Darstellung jedoch immer eindeutig, so geben wir dieser Situation einen besonderen Namen: Definition 39 (Direkte Summe von Unterräumen Es seien U,,U n Untervektorräume eines K-Vektorraums V und U = U + +U n Hat jedes x U eine eindeutige Darstellung der Form x = + + mit x i U i für alle i =,,n, so nennt man die Summe direkt und schreibt dies als U = U U n U 3 U U 2

9 3 Vektorräume 57 Im Fall von nur zwei Unterräumen kann man besonders einfach feststellen, ob eine Summe direkt ist Lemma 320 Für zwei Unterräume U,U 2 eines K-Vektorraums V sind äquivalent: (a U = U U 2 ; (b U = U +U 2 und U U 2 = {0} Beweis (a (b: Es sei U = U U 2 Nach Definition ist dann natürlich U = U +U 2 Ist weiterhin x U U 2, so können wir x sowohl mit = x und = 0 als auch mit = 0 und = x in der Form x = + mit U und U 2 schreiben Da diese Darstellung aber nach Voraussetzung eindeutig ist, folgt x = 0 Weil x U U 2 beliebig war, bedeutet dies gerade U U 2 = {0} (b (a: Es gelte nun U = U +U 2 und U U 2 = {0} Weiterhin sei x U +U 2 mit zwei Darstellungen x = + = x + x 2 für gewisse,x U und,x 2 U 2 Dann gilt x = x 2 U U 2 Nach Voraussetzung bedeutet dies gerade = x 2 = 0, d h = und = Die Darstellung ist also eindeutig, und damit gilt U = U U 2 Beispiel 32 Die Summe U +U 2 in Beispiel 37 ist direkt, denn dort ist U U 2 = {0} In der Tat sieht man in diesem Beispiel in Übereinstimmung mit Lemma 320 auch sofort, dass sich jeder Vektor in U eindeutig als Summe eines Vektors in U und eines in U 2 schreiben lässt Die Summe U +U 2 +U 3 im Beispiel von Bemerkung 38 ist hingegen nicht direkt, wie wir dort bereits gesehen hatten Allerdings ist in diesem Fall trotzdem U U 2 U 3 = {0} was zeigt, dass sich die Aussage von Lemma 320 nicht genauso auf mehr als zwei Summanden übertragen lässt Die zu Lemma 320 analoge Aussage für allgemeine Summen ist stattdessen die folgende: Aufgabe 322 Zeige, dass die folgenden Aussagen für Unterräume U,,U n eines K-Vektorraums V äquivalent sind: (a U = U U n ; (b U = U + +U n und U i (U + +U i +U i+ + +U n = {0} für alle i =,,n Aufgabe 323 Es seien U = { f : R R : f ( x = f (x für alle x R} und V = { f : R R : f ( x = f (x für alle x R} in Abb(R, R die Menge aller geraden bzw ungeraden Funktionen Man beweise, dass dann Abb(R,R = U V gilt