9 Aus der linearen Algebra. Themen: Lineare Abbildungen Darstellung durch Matrizen

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1 9 Aus der linearen Algebra Themen: Der à n Lineare Abbildungen Darstellung durch Matrizen

2 Der à n besteht aus den n-tupeln mit x i Ã. x 1 x 2 x = (x 1, x 2,...,x n ) oder x =. x n

3 Der à n besteht aus den n-tupeln mit x i Ã. x 1 x 2 x = (x 1, x 2,...,x n ) oder x =. x n Addition und Skalarmultiplikation definiert man komponentenweise x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,...,x n + y n ), αx = (αx 1,αx 2,...,αx n ).

4 Addition ebener Vektoren, Ã = Ê y (x,y) (x,y)+(x,y ) (x,y ) x Wir verschieben (x, y ) so, dass sein Fußpunkt auf dem Endpunkt von (x, y) steht, der Endpunkt des so verschobenen Vektors zeigt dann auf den Endpunkt der Summe

5 Skalarmultiplikation, Ã = Ê y α(x,y) (x,y) x Für α 0 ist der Ergebnisvektor die Verlängerung oder Verkürzung um das α-fache. Bei α < 0 kehrt sich zusätzlich die Orientierung um.

6 Kanonische Basis Mit e 1 = (1, 0, 0,...,0), e 2 = (0, 1, 0,...,0),... können wir schreiben n x = (x 1, x 2,...,x n ) = x i e i. i=1

7 Kanonische Basis Mit e 1 = (1, 0, 0,...,0), e 2 = (0, 1, 0,...,0),... können wir schreiben n x = (x 1, x 2,...,x n ) = x i e i. {e i } i=1,...,n ist daher eine Basis des à n und heißt kanonische Basis. i=1

8 Unterräume Sei X ein Vektorraum über Ã. Eine Teilmenge M X heißt Unterraum von X, wenn sie bezüglich der algebraischen Operationen Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist, wenn also x, y M αx +βy M α,β Ã.

9 Unterräume Sei X ein Vektorraum über Ã. Eine Teilmenge M X heißt Unterraum von X, wenn sie bezüglich der algebraischen Operationen Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist, wenn also x, y M αx +βy M α,β Ã. Ein Unterraum ist damit selber ein Vektorraum, weil er die Rechenregeln vom zu Grunde liegenden Vektorraum erbt.

10 Beispiele für Unterräume Sind x 1,...,x k X, so heißt U = span{x 1,...,x k } = { z = α 1 x α k x k : α 1,...,α k } Ã der von x 1,...,x k aufgespannte Unterraum.

11 Beispiele für Unterräume Sind x 1,...,x k X, so heißt U = span{x 1,...,x k } = { z = α 1 x α k x k : α 1,...,α k } Ã der von x 1,...,x k aufgespannte Unterraum. Aufgabe: Man zeige, dass U tatsächlich ein Unterraum ist.

12 Beispiele für Unterräume Sind x 1,...,x k X, so heißt U = span{x 1,...,x k } = { z = α 1 x α k x k : α 1,...,α k à } der von x 1,...,x k aufgespannte Unterraum. Aufgabe: Man zeige, dass U tatsächlich ein Unterraum ist. Für k = 1 und x 1 0 ist U die Gerade durch den Nullpunkt mit Richtung x 1.

13 Linare Abbildungen Seien X, Y Vektorräume über dem Körper Ã. Eine Abbildung f : X Y heißt linear, wenn f(αx +βy) = αf(x)+βf(y) α,β Ã x, y X.

14 Linare Abbildungen Seien X, Y Vektorräume über dem Körper Ã. Eine Abbildung f : X Y heißt linear, wenn f(αx +βy) = αf(x)+βf(y) α,β Ã x, y X. Sind x 1,...,x k Vektoren in X, so ist f durch die Werte f(x 1 ),...,f(x k ) eindeutig auf dem von x 1,...,x k aufgespannten Unterraum festgelegt.

15 Beweis Mit einem Induktionsschluss folgt nämlich aus der Bedingung der Linearität, dass f(α 1 x α k x k ) = α 1 f(x 1 )+...+α k f(x k ).

16 Beweis Mit einem Induktionsschluss folgt nämlich aus der Bedingung der Linearität, dass f(α 1 x α k x k ) = α 1 f(x 1 )+...+α k f(x k ). Insbesondere: Ist x 1,...,x n eine Basis des Vektorraums, so ist die lineare Abbildung f auf ganz X durch die Werte f(x 1 ),...,f(x n ) festgelegt.

17 Isomorphe Vektorräume Zwei Vektorräume X und Y heißen isomorph, wenn es eine bijektive lineare Abbildung f : X Y gibt.

18 Isomorphe Vektorräume Zwei Vektorräume X und Y heißen isomorph, wenn es eine bijektive lineare Abbildung f : X Y gibt. Die Umkehrabbildung einer bijektiven linearen Abbildung ist ebenfalls linear: Sei f(x 1 ) = y 1 und f(x 2 ) = y 2. Dann f(x 1 +x 2 ) = y 1 +y 2 f 1 (y 1 +y 2 ) = x 1 +x 2 = f 1 (y 1 )+f 1 (y 2 ).

19 Isomorphe Vektorräume Zwei Vektorräume X und Y heißen isomorph, wenn es eine bijektive lineare Abbildung f : X Y gibt. Die Umkehrabbildung einer bijektiven linearen Abbildung ist ebenfalls linear: Sei f(x 1 ) = y 1 und f(x 2 ) = y 2. Dann f(x 1 +x 2 ) = y 1 +y 2 f 1 (y 1 +y 2 ) = x 1 +x 2 = f 1 (y 1 )+f 1 (y 2 ). Für die Skalarmultiplikation geht das genauso.

20 Isomorphe Vektorräume lassen sich daher, soweit es die lineare Struktur betrifft, nicht voneinander unterscheiden: x = αx 1 +βx 2 f(x) = αf(x 1 )+βf(x 2 ).

21 Endlichdimensionale Räume Satz Jeder endlich dimensionale Vektorraum X über à ist zu einem à n isomorph.

22 Endlichdimensionale Räume Satz Jeder endlich dimensionale Vektorraum X über à ist zu einem à n isomorph. Beweis Sei x 1,...,x n eine Basis von X. Für x X gibt es eindeutige α 1,...,α n à mit x = α 1 x α n x n = n α i x i. i=1

23 Endlichdimensionale Räume Satz Jeder endlich dimensionale Vektorraum X über à ist zu einem à n isomorph. Beweis Sei x 1,...,x n eine Basis von X. Für x X gibt es eindeutige α 1,...,α n à mit x = α 1 x α n x n = n α i x i. i=1 Die Abbildung f : X à n, x (α 1,...,α n ) ist offenbar bijektiv (klar) und linear:

24 Beweis f : X Ã n, x (α 1,...,α n )

25 Beweis f : X Ã n, x (α 1,...,α n ) Ist so x = n α i x i, y = i=1 n β i x i, i=1 f(x + y) = (α 1 +β 1,...,α n +β n ) = (α 1,...,α n )+(β 1,...,β n ) = f(x)+f(y)

26 Beweis f : X Ã n, x (α 1,...,α n ) Ist so x = n α i x i, y = i=1 n β i x i, i=1 f(x + y) = (α 1 +β 1,...,α n +β n ) = (α 1,...,α n )+(β 1,...,β n ) = f(x)+f(y) Skalarmultiplikation geht genauso.

27 Beispiel 1 Sei c 00 der Raum der endlichen Folgen über Ã, die durch Anfügen von Nullen zu einer unendlichen Folge fortgesetzt werden.

28 Beispiel 1 Sei c 00 der Raum der endlichen Folgen über Ã, die durch Anfügen von Nullen zu einer unendlichen Folge fortgesetzt werden. Jedes Element von c 00 ist also von der Form n(x) x = (x 1,...,x n(x), 0, 0,...) = x i e i. i=1

29 Beispiel 1 Sei c 00 der Raum der endlichen Folgen über Ã, die durch Anfügen von Nullen zu einer unendlichen Folge fortgesetzt werden. Jedes Element von c 00 ist also von der Form n(x) x = (x 1,...,x n(x), 0, 0,...) = x i e i. Damit ist c 00 abzählbar unendlich dimensional mit Basis {e i } i Æ. i=1

30 Beispiel 2 Es gilt der Satz, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Der Beweis ist aber nicht konstruktiv. Im Allgemeinen kann man bei einem unendlich dimensionalen Raum die Basis nicht angeben. Beispiel 1 zeigt daher eher die Ausnahme.

31 Beispiel 2 Es gilt der Satz, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Der Beweis ist aber nicht konstruktiv. Im Allgemeinen kann man bei einem unendlich dimensionalen Raum die Basis nicht angeben. Beispiel 1 zeigt daher eher die Ausnahme. X bestehe aus den Abbildungen f : Ê Ê. Diese kann man addieren, (f + g)(x) = f(x)+g(x), und mit reellen Zahlen multiplizieren, (αf)(x) = αf(x).

32 Beispiel 2 Es gilt der Satz, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt. Der Beweis ist aber nicht konstruktiv. Im Allgemeinen kann man bei einem unendlich dimensionalen Raum die Basis nicht angeben. Beispiel 1 zeigt daher eher die Ausnahme. X bestehe aus den Abbildungen f : Ê Ê. Diese kann man addieren, (f + g)(x) = f(x)+g(x), und mit reellen Zahlen multiplizieren, (αf)(x) = αf(x). X ist daher Vektorraum über Ê. Eine Basis existiert, lässt sich aber nicht explizit angeben.

33 Lineare Algebra Theoretisch besteht die Lineare Algebra aus dem Studium der Vektorräume und der linearen Abbildungen.

34 Lineare Algebra Theoretisch besteht die Lineare Algebra aus dem Studium der Vektorräume und der linearen Abbildungen. Die Hauptuntersuchungsmethode ist dabei die Basisdarstellung der Vektoren. Wie oben gezeigt, klappt das sicher nur bei endlich dimensionalen Räumen.

35 Lineare Algebra Theoretisch besteht die Lineare Algebra aus dem Studium der Vektorräume und der linearen Abbildungen. Die Hauptuntersuchungsmethode ist dabei die Basisdarstellung der Vektoren. Wie oben gezeigt, klappt das sicher nur bei endlich dimensionalen Räumen. Praktisch werden daher nur endlich dimensionale Räume behandelt.

36 Matrixdarstellung einer linearen Abbildung Sei f : à n à m linear. Wir nehmen die kanonische Basis e 1,...,e n von à n und entwickeln die Werte f(e i ) nach der kanonischen Basis e 1,...,e m von à m f(e j ) = m a ij e i. i=1

37 Matrixdarstellung einer linearen Abbildung Sei f : à n à m linear. Wir nehmen die kanonische Basis e 1,...,e n von à n und entwickeln die Werte f(e i ) nach der kanonischen Basis e 1,...,e m von à m f(e j ) = m a ij e i. i=1 Die a ij stellen wir als Matrix zusammen a a 1n A =.. = (a ij ) i=1,...,m, j=1,...,n à m n. a m1... a mn

38 Matrixdarstellung einer linearen Abbildung Für folgt x = (x 1,...,x n ) = ( n ) f(x) = f x j e j = = n j=1 m j=1 i=1 n x j e j j=1 n x j f(e j ) j=1 a ij x j }{{} Zeile Spalte e i = Ax.

39 Matrix-Multiplikation Um f(x) = Ax zu bekommen, wird die Multiplikation Matrix Vektor so definiert, wie sie definiert ist.

40 Matrix-Multiplikation Um f(x) = Ax zu bekommen, wird die Multiplikation Matrix Vektor so definiert, wie sie definiert ist. Gleiches gilt für die Multiplikation zweier Matrizen: Sie soll die Komposition zweier linearer Abbildungen darstellen.

41 Matrix-Multiplikation Um f(x) = Ax zu bekommen, wird die Multiplikation Matrix Vektor so definiert, wie sie definiert ist. Gleiches gilt für die Multiplikation zweier Matrizen: Sie soll die Komposition zweier linearer Abbildungen darstellen. Seien f : à m à l und g : à n à m mit Matrixdarstellungen A à l m von f und B à m n von g, also f(y) = ij a ij y j e i, g(x) = kl b kl x l e k, mit {e i }=Basis von Ãl, {e i }=Basis von Ãm.

42 Matrix-Multiplikation Damit gilt ( ) f(g(x)) = f b kl x l e k = kl kl b kl x l f(e k ) = kli b kl x l a ik e i = kli a ik b }{{ kl x } l e i = ABx. Zeile Spalte

43 Folgerungen Das Hintereinanderschalten von allgemeinen Abbildungen ist assoziativ. Insbesondere gilt das für lineare Abbildungen. Daher ist auch das Matrizenprodukt assoziativ (AB)C = A(BC).

44 Folgerungen Das Hintereinanderschalten von allgemeinen Abbildungen ist assoziativ. Insbesondere gilt das für lineare Abbildungen. Daher ist auch das Matrizenprodukt assoziativ (AB)C = A(BC). Jede lineare Abbildung f : à n à m ist eindeutig bestimmt durch ihre Matrix A à m n. Daher dim{f : à n à m linear} = dim à m n = mn.

45 Der Dualraum Ist X ein Vektorraum über Ã, so ist der (algebraische) Dualraum X definiert durch X = {f : X Ã : f ist linear}.

46 Der Dualraum Ist X ein Vektorraum über Ã, so ist der (algebraische) Dualraum X definiert durch X = {f : X à : f ist linear}. Ist X endlich dimensional, so können wir auch gleich den à n nehmen. Nach dem letzten Frame ist dann X isomorph zu à n. Wir setzen f(e i ) = y i. Es gilt dann f(x) = n y i x i. i=1

47 Der Dualraum Ist X ein Vektorraum über Ã, so ist der (algebraische) Dualraum X definiert durch X = {f : X à : f ist linear}. Ist X endlich dimensional, so können wir auch gleich den à n nehmen. Nach dem letzten Frame ist dann X isomorph zu à n. Wir setzen f(e i ) = y i. Es gilt dann f(x) = n y i x i. i=1 Als Isomorphismus kann man dann f y à n nehmen.

48 Der Dualraum von c 00 c 00 war der Raum der endlichen Folgen, die durch Anfügen von Nullen zu einer unendlichen Folge aufgeblasen werden.

49 Der Dualraum von c 00 c 00 war der Raum der endlichen Folgen, die durch Anfügen von Nullen zu einer unendlichen Folge aufgeblasen werden. Da die e i eine Basis bilden, können wir wieder f(e i ) = y i setzen und erhalten für f X die Darstellung f(x) = y i x i. i=1

50 Der Dualraum von c 00 c 00 war der Raum der endlichen Folgen, die durch Anfügen von Nullen zu einer unendlichen Folge aufgeblasen werden. Da die e i eine Basis bilden, können wir wieder f(e i ) = y i setzen und erhalten für f X die Darstellung f(x) = y i x i. i=1 Die Summe braucht nur über die endlich vielen Indizes erstreckt zu werden, für die x i 0 gilt.

51 Der Dualraum von c 00 c 00 war der Raum der endlichen Folgen, die durch Anfügen von Nullen zu einer unendlichen Folge aufgeblasen werden. Da die e i eine Basis bilden, können wir wieder f(e i ) = y i setzen und erhalten für f X die Darstellung f(x) = y i x i. i=1 Die Summe braucht nur über die endlich vielen Indizes erstreckt zu werden, für die x i 0 gilt. X ist daher isomorph zum Raum aller Zahlenfolgen.

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