Lineare Gleichungssysteme

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1 Lineare Gleichungssysteme 1 Wiederholung Eine Menge von Vektoren a 1, a 2,, a k heisst linear unabhängig, wenn eine Linearkombination c 1 a 1 + c 2 a c k a k = k c i a i (1) i=1 nur dann Null sein kann, wenn alle Koeffizienten c i verschwinden, dh wenn aus k i=1 c ia i = folgt, dass c 1 = c 2 = = c k = ist Andernfalls sind die Vektoren linear abhängig Wir haben gesehen, dass die Vektoren genau dann linear unabhängig sind, wenn es nicht möglich ist, einen von ihnen als Linearkombination der anderen zu schreiben Beispiele siehe Vorlesung Untervektorraum: Sei V eine Teilmenge des R n V heißt Untervektorraum von R n, falls V und für alle x, y V und λ R gilt (i) x + y V (ii) λx V Beispiele siehe Vorlesung Lineare Hülle: Seien a 1,, a k R n Die Menge aller Linearkombinationen von a 1,, a k, { k } L(a 1,, a k ) = c i a i : c i R, i = 1,, k, (2) i=1 heißt lineare Hülle der Menge a 1,, a k Der Untervektorraum L(a 1,, a k ) wird durch die Vektoren a 1,, a k aufgespannt oder erzeugt L(a 1,, a k ) ist ein Untervektorraum von R n, denn für x = i c ia i und y = i d ia i ist x+y = i (c i +d i )a i L(a 1,, a k ) und λx = λ i c ia i = (λc i )a i L(a 1,, a k ) 1

2 Basis: Sei V ein Untervektorraum des R n Eine Menge von Vektoren a 1,, a k heißt Basis von V, wenn a 1,, a k linear unabhängig sind und L(a 1,, a k ) = V Ist a 1,, a k eine Basis von V, so hat jedes Eelement x V eine eindeutige Darstellung als Linearkombination der Basis, x = k i=1 c ia i Dass eine solche Darstellung existiert, folgt aus L(a 1,, a k ) = V ; die Eindeutigkeit folgt aus x = i c ia i = i d ia i i c ia i i d ia i = i (c i d i )a i = Wegen der linearen Unabhängigkeit der Menge a 1,, a k gilt dann c i d i =, also c i = d i, i = 1,, k Es gilt: Jede Basis eines Untervektorraums V besteht aus derselben Zahl von Vektoren Diese Zahl heisst die Dimension von V, dim V Daraus folgt zb, dass die Dimension von R n gleich n ist, denn eine Basis mit n Vektoren ist die sog kanonische Basis, die durch die Spalten der n dimensionalen Einheitmatrix gegeben ist, dh 1 1 e 1 =, e 2 =,, e n = (3) 1 Jeder Vektor x = [x 1,, x n ] R n kann als Linearkombination von e 1,, e n geschrieben werden, n x = x i e i (4) i=1 Jede Menge n linear unabhängiger Vektoren in R n bildet eine Basis des R n Gilt k > n, so ist jede Menge von k Vektoren in R n linear abhängig Dh es kann im R n nicht mehr als n linear unabhängige Vektoren geben 2

3 Rang einer Matrix: Eine m n Matrix A besteht aus m Zeilenvektoren und n Spaltenvektoren Die Maximalzahl linear unabhängiger Spalten von A ist der Spaltenrang von A, dh der Spaltenrang von A ist die Dimension des Vektorraums L(a 1,, a n ), wobei a i, i = 1,, n, die Spalten von A sind Analog definiert man den Zeilenrang als die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen von A Wie ist es nun um den Zusammenhang zwischen Spaltenrang und Zeilenrang bestellt? Betrachte zur Illustration eine 3 3 Matrix a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 (5) a 31 a 32 a 33 Sei die dritte Spalte eine Linearkombination der beiden ersten, dh für Koeffizienten m 1, m 2 R ist m 1 a 1 + m 2 a 2 = a 3, dh a 11 a 12 m 1 a 11 + m 2 a 12 A = a 21 a 22 m 1 a 21 + m 2 a 22 (6) a 31 a 32 m 1 a 31 + m 2 a 32 Könnte es sein, dass die Zeilen von A in (6) dennoch linear unabhängig sind, dh der Zeilenrang 3 beträgt? Betrachten wir also die Zeilen von A Ignorieren wir die letzte Spalte, so ist zunächst klar, dass die drei Zeilenvektoren ã 1 = [a 11, a 12 ], ã 2 = [a 21, a 22 ] und ã 3 = [a 31, a 32 ] in R 2 linear abhängig sind, da es in R 2 nicht drei linear unabhängige Vektoren geben kann Es gibt also Koeffizienten c 1, c 2 und c 3, so dass dh Für diese Koeffizienten gilt aber dann auch c 1 ã 1 + c 2 ã 2 + c 3 ã 3 =, (7) c 1 a 11 + c 2 a 21 + c 3 a 31 = (8) c 1 a 12 + c 2 a 22 + c 3 a 32 = (9) c 1 (m 1 a 11 + m 2 a 12 ) + c 2 (m 1 a 21 + m 2 a 22 ) + c 3 (m 1 a 31 + m 2 a 32 ) (1) = m 1 [c 1 a 11 + c 2 a 21 + c 3 a } {{ 31 ] + m } 2 [c 1 a 12 + c 2 a 22 + c 3 a } {{ 32 ] =, (11) } (8) = 3 (9) =

4 also verschwindet für diese c 1, c 2 und c 3 die Linearkombination der Zeilen von A Ist also der Spaltenrang der Matrix kleiner als 3, so muss dies auch für den Zeilenrang gelten Dieses Argument lässt sich verallgemeinern, und es gilt für jede Matrix: Spaltenrang = Zeilenrang =: Rang (12) Es gilt also rga min{m, n} (13) 2 Das lineare Gleichungssystem m Gleichungen in n Unbekannten: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, A = Ax = b (14) a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n = [a 1, a 2,, a n ], (15) a m1 a m2 a mn a j = [a 1j, a 2j,, a mj ] ist die jte Spalte von A, j = 1,, n, und x = x 1 x 2, b = b 1 b 2 (16) x n b m 3 Homogene Gleichungssysteme Für b = heißt das lineare Gleichungssystem homogen Ein solches hat immer die triviale Lösung x = Um zu sehen, unter welchen Bedingungen das System eine nicht- 4

5 triviale Lösung (x ) hat, schreiben wir dies als a 11 a 12 a 1n x 1 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n a 21 a 22 a 2n x 2 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = (17) = x 1 a m1 a m2 a mn a 11 a 21 + x 2 a 21 a 22 x n a m1 x 1 + a m2 x a mn x n a 1n a 2n + + x n (18) a m1 a m2 a mn = x 1 a 1 + x 2 a x n a n = (19) dh das Produkt Ax ist eine Linearkombination der Spalten von A mit Koeffizienten x 1,, x n Es gilt also: Das homogene System hat (mindestens) eine nichttriviale Lösung genau dann, wenn die Spalten a 1, a 2,, a n der m n Matrix linear abhängig sind, dh wenn also gilt rg(a) < n (2) Das ist natürlich immer der Fall, wenn m < n, wenn also die Zahl der Gleichungen kleiner ist als die Zahl der Unbekannten 4 Der allgemeine Fall Ax = b Wenn das System (mindestens) eine Lösung hat, so heißt es konsistent Hat es keine Lösung, so ist es inkonsistent Hat das System mindestens eine Lösung, so hat es entweder genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen Denn seien x 1 und x 2 zwei verschiedene Lösungen und θ R beliebig Dann ist auch z = θx 1 + (1 θ)x 2 eine Lösung, denn Az = A(θx 1 + (1 θ)x 2 ) = θax 1 + (1 θ)ax 2 (21) = θb + (1 θ)b = b (22) Ein homogenes Gleichungssystem hat also entweder nur die triviale Lösung oder unendlich viele Lösungen, und im Falle m < n (weniger Gleichungen als Unbekannte) immer 5

6 unendlich viele Lösungen (da dann sicher rga < n) 41 Wann existiert mindestens eine Lösung? Ax = b Wie oben können wir dies schreiben als n Ax = x i a i = b (23) i=1 Es gibt also (mindestens) eine Lösung, wenn sich b als Linearkombination der Spalten von a schreiben läßt, dh b L(a 1,, a k ) Es ist dann ein plausibles Resultat, dass in genau diesem Fall die erweiterte Koeffizientenmatrix a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 B = [A, b] = (24) a m1 a m2 a mn b m denselben Rang hat wie die Matrix A, dh durch Hinzufügung von b als weitere Spalte zu A ändert sich der Rang der Matrix (die Zahl der linear unabhängigen Spalten) nicht Es gilt: Das System Ax = b ist genau dann konsistent (hat mindestens eine Lösung), wenn gilt rg(a) = rg([a, b]) = rg(b) (25) Andernfalls ist das System inkonsistent In manchen Fällen hängt die Lösbarkeit des Systems nicht von b ab: 411 Wann hat das System mindestens eine Lösung für jedes b R m? Weiterhin hat das System Ax = b genau dann (mindestens) eine Lösung für jedes b R m, wenn die Spalten von A den R m aufspannen, dh wenn rg(a) = m (26) Da Spaltenrang = Zeilenrang = Rang min{m, n}, setzt dies n m voraus, dh wir müssen mindestens so viele Unbekannte wie Gleichungen haben 6

7 42 Wann gibt es eine eindeutige Lösung? Sei Ax = b lösbar, und x 1 und x 2 seien zwei unterschiedliche Lösungen (x 1 x 2 ) Dann ist Ax 1 Ax 2 = A(x 1 x 2 ) = b b =, (27) dh Ay = mit y = x 1 x 2, dh das homogene System Ax = hat eine nichttriviale Lösung; dies ist aber genau dann der Fall, wenn rg(a) < n (da andernfalls das homogene System nur die triviale Lösung hat) Gibt es also mehr als eine Lösung, so folgt rg(a) < n Gilt andererseits rg(a) < n, so hat das homogene System Ay = eine Lösung y Mit einer Lösung x (dh Ax = b) ist dann auch z = x+λy, λ R, eine Lösung, also existieren im Falle der Lösbarkeit mit rg(a) < n unendlich viele Lösungen Also gilt: Ein lösbares Gleichungssystem Ax = b ist genau dann eindeutig lösbar, wenn rga = n(= Spaltenzahl von A = Zahl der Unbekannten) Für den wichtigen Fall m = n (Zahl der Gleichungen gleich Zahl der Unbekannten) folgt daraus: Ist A quadratisch n n (n Gleichungen mit n Unbekannten), so ist das Gleichungssystem Ax = b genau dann für jedes b R m eindeutig lösbar, wenn rg(a) = n (Die Lösbarkeitsbedingung rg(a) = rg([a, b]) folgt in diesem Fall bereits aus Spaltenrang = Zeilenrang und somit rg([a, b] n (n+1) ) = n) Für m < n gilt rga < n (da Rang = Zeilenrang = Spaltenrang) und somit hat das System im Falle Zahl der Gleichungen< Zahl der Unbekannten immer entweder keine Lösung oder unendlich viele Lösungen Für eine eindeutige Lösung brauchen wir immer mindestens soviele Gleichungen wie Unbekannte Wenn rga = m, dann hat in diesem Falle das System Ax = b unendlich viele Lösungen für jedes b R m 5 Zusammenfassung Für gegebenes b: 1 Eine notwendige und hinreichende Bedingung für die Konsistenz des Systems 7

8 Ax = b ist rga = rg[a, b] (28) 2 Das System hat eine eindeutige Lösung genau dann, wenn rga = rg[a, b] = n = Zahl der Unbekannten (29) 3 Wenn rga = rg[a, b] = r < n, so gibt es unendlich viele Lösungen n r Variablen können frei gewählt werden, die übrigen r sind dann eindeutig bestimmt 6 Elementare Zeilen und Spaltenumformungen, Ermittlung des Rangs einer Matrix Sei A eine m n Matrix Es gibt drei Typen elementarer Zeilenumformungen: 1 Vertauschen zweier Zeilen 2 Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar λ, λ R 3 Addieren eines beliebigen Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile Analog sind elementare Spaltenumformungen definiert Elementare Spalten und Zeilenumformungen verändern den Rang einer Matrix nicht, da sie die lineare Hülle nicht verändern Man versucht jetzt durch elementare Zeilen und Spaltenumformungen eine Matrix zu erzeugen, der man den Rang einfach ansehen kann Betrachte eine m n Matrix A der folgenden Gestalt: a 11 a 22 A = (3) a rr (m r) n Ein bedeutet dabei, dass es gleichgültig ist, welche Elemente in dem dadurch bezeichneten Bereich stehen 8

9 A in (3) ist also eine Matrix mit m Zeilen, bei der die ersten r Hauptdiagonalelemente a ii, i = 1,, r, von Null verschieden sein sollen (also a ii, i = 1, 2, 3), die letzten m r Zeilen sowie alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonalen jedoch gleich Null sind Dann ist Warum? rga = r (31) 1 Nullzeilen sind offenbar immer linear überflüssig, dh sie tragen zum Rang nichts bei (Der Nullvektor kann immer linearkombiniert werden, indem alle Koeffizienten in der Linearkombination gleich Null sind) 2 Die ersten r Zeilen sind linear unabhängig Um das zu sehen, betrachte die Situation mit r = 3 (die Verallgemeinerung ist offensichtlich); die relevanten Zeilen sind dann a 11 a 22 a 33 = wobei a i, i = 1, 2, 3, die Zeilen von A sind Soll nun a 1 a 2 a 3, (32) c 1 a 1 + c 2 a 2 + c 3 a 3 = (33) gelten, so muss offenbar wegen a 11 zunächst c 1 = gelten, sodann wegen a 22 c 2 = und schließlich c 3 = Also sind die Zeilen linear unabhängig Der Rang einer Matrix kann nun ermittelt werden, indem man die Matrix durch elementare Zeilenumformungen in die Form (3) bringt Siehe Vorlesung 9

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