Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und Determinanten

Transkript

1 Kapitel 2 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und Determinanten Einen klassischen Einstieg in die lineare Algebra bietet die Behandlung linearer Gleichungssysteme Wir beschäftigen uns dabei zunächst mit einer Lösungsmethode, dem Gauß schen Verfahren, und der Lösbarkeitstheorie Mit der Einführung des Matrixbegriffs gelingt uns eine Formalisierung der behandelten Sachverhalte 21 Lösung linearer Gleichungssysteme Zur Einführung in die Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme betrachten wir einige Beispiele, die für typische Situationen hinsichtlich der Ausprägung der Lösungsmengen stehen Beispiel 1: Wir untersuchen zunächst ein lineares Gleichungssystem bestehend aus zwei Unbekannten x 1, und zwei Gleichungen: 2x 1 + = 4 4x = 2 Gesucht sind x 1, R, mit denen beide Gleichungen gelten In einer alternativen Notation werden nun diese beiden Gleichungen übereinander geschrieben Dabei deutet ein Paar aus geschweiften Klammern an, dass beide Gleichungen erfüllt werden müssen: 2x1 + = 4 4x = 2 Es gibt nun mehrere Möglichkeiten, dieses Gleichungssystem zu lösen So könnten wir beispielsweise die zweite Gleichung nach auflösen und diese, von x 1 abhängende Lösung für die Variable in die erste Gleichung einsetzen Alternativ bietet sich das Additionsverfahren an, indem wir versuchen, Variablen in den einzelnen Gleichungen durch geschicktes Addieren der jeweils anderen Gleichung zu eliminieren So führt die Addition des 2-Fachen der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung, also das zweifache Subtrahieren der ersten Gleichung von der zweiten Gleichung, mit anschließender Subtraktion der zweiten Gleichung von der ersten zu folgenden äquivalenten Umformungen: Springer-Verlag GmbH Deutschland 2017 L Göllmann, Lineare Algebra, Springer-Lehrbuch, DOI / _2 57

2 58 2 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und Determinanten 2x1 + = 4 ( 2) 4x = 2 2x1 + = 4 2x1 = 10 = 6 ( 1) = 6 Wenn wir nun die erste Gleichung noch durch 2 dividieren, erhalten wir direkt die Lösung: x1 = 5 = 6 Beispiel 2: Wir betrachten nun ein weiteres lineares Gleichungssystem bestehend aus zwei Unbekannten x 1, und zwei Gleichungen: 2x1 + = 4 4x = 8 In ähnlicher Weise wie im Beispiel zuvor machen wir uns das Additionsverfahren zunutze, um das Gleichungssystem zu vereinfachen Auch hier führt die Addition des 2-Fachen der ersten Zeile zur zweiten Zeile dazu, dass die Variable x 1 aus der zweiten Gleichung eliminiert wird Allerdings wird im Gegensatz zum ersten Beispiel hiermit auch die Variable aus der zweiten Zeile entfernt: { 2x1 + = 4 4x = 8 } ( 2) 2x1 + = 4 0 = 0 Damit liegt im Endeffekt nur noch eine Bestimmungsgleichung mit zwei Variablen vor: 2x 1 + = 4 x 1 = Die Variable kann hier also frei vorgegeben werden, da es keine zweite Bestimmungsgleichung gibt Es ergibt sich dann über die letzte Gleichung der entsprechende Wert für die Variable x 1, wenn zuvor R frei gewählt wurde Wir erhalten damit unendlich viele Lösungskombinationen für die Variablen x 1 und, also eine Lösungsmenge mit unendlich vielen Elementen Wie sehen diese Elemente aus? Da es sich bei x 1 und um zwei gesuchte Variablen handelt, können wir die Kombination aus ihnen als Element aus dem Vektorraum R 2 = R R auffassen Dieser Vektorraum stellt die Menge aller Paare (x 1, ) reeller Zahlen dar Die Lösungsmenge ist damit eine Teilmenge dieses Vektorraums Es handelt sich dabei um die Menge { x = ( x1 ) : x 1 = 2 1 } 2, R = {( 2 1 ) 2 } : R R 2 Wird beispielsweise = 0 vorgegeben, dann ergibt sich für die erste Variable x 1 = 2 1/2 0 = 2 bzw der Lösungsvektor ( 2 0) Wählen wir dagegen x2 = 6, so ergibt sich mit ( 1 ) 6 ein anderer Lösungsvektor Mit x2 R können wir auf diese Weise unendlich viele Lösungsvektoren generieren Beispiel 3: Wir betrachten schließlich ein weiteres lineares Gleichungssystem bestehend aus zwei Unbekannten x 1, und zwei Gleichungen, bei dem im Vergleich zum vorausgegangenen Beispiel die rechte Seite der zweiten Gleichung modifiziert ist:

3 21 Lösung linearer Gleichungssysteme 59 2x1 + = 4 4x = 2 Die Addition des 2-Fachen der ersten Zeile zur zweiten Zeile führt hier, wie im Beispiel zuvor, zur völligen Elimination der beiden Variablen aus der zweiten Gleichung Die rechte Seite verschwindet hier allerdings nicht: { 2x1 + = 4 4x = 2 ( 2) 2x1 + = 4 0 = 6 } Für keine Wertekombination von x 1 und kann die zweite Gleichung 0 = 6 erfüllt werden Die resultierende Gleichung stellt also eine Kontradiktion dar, also eine Aussageform, die stets falsch ist Die Lösungsmenge ist in diesem Fall leer es gibt keinen Vektor x R 2, der dieses lineare Gleichungssystem löst Eine ähnliche Situation kann auftreten, wenn mehr Gleichungen als Unbekannte vorhanden sind Beispiel 4: Wir betrachten ein lineares Gleichungssystem mit zwei Unbekannten x 1, und drei Gleichungen 2x 1 + = 4 4x = 2 6x = 7 ( 2) ( 3) 2x 1 + = 4 = 6 = 19 Es ergibt sich ein Widerspruch: = 6 und = 19 Auch hier existiert kein Lösungsvektor Wir können also festhalten, dass es für ein lineares Gleichungssystem offenbar (i) keine Lösung, (ii) genau eine Lösung, d h einen Lösungsvektor x, (iii) mehrere Lösungen, d h mehrere unterschiedliche Lösungsvektoren geben kann Wir werden später feststellen, dass es im Fall unendlicher Körper, wie Q, R oder C, in der Situation mehrdeutiger Lösungen stets bereits unendlich viele Lösungen gibt und es niemals eine Lösungsmenge geben kann, die sich auf eine endliche Anzahl von Vektoren beschränkt mit mehr als einem Lösungsvektor Bei linearen Gleichungssystemen über endlichen Körpern führt dagegen eine mehrdeutige Lösungssituation zu einer endlichen Anzahl von Lösungsvektoren Beispiel 5: Um das in den vorangegangenen Beispielen skizzierte Verfahren etwas detaillierter zu studieren, betrachten wir abschließend ein lineares Gleichungssystem bestehend aus drei Unbekannten x 1,, x 3 und drei Gleichungen: 2x x 3 = 13 2x = 14 x x 3 = 9 Wir vertauschen nun die Zeilen, indem wir die letzte Gleichung nach ganz oben setzen, was keinen Einfluss auf die Lösung des Gleichungssystems hat Mit dieser Gleichung können wir dann die Variablen x 1 und in den anderen Gleichungen eliminieren Der eigentliche Sinn dieser Vertauschung liegt darin, zu versuchen, das Eliminationsverfahren

4 60 2 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und Determinanten so weit wie möglich zu standardisieren Nach der Vertauschung erhalten wir zunächst x x 3 = 9 2x x 3 = 13 2x = 14 Subtrahiert man das Doppelte der ersten Zeile von der zweiten und dritten Zeile, so führt dies zur Elimination der Variablen x 1 aus beiden Gleichungen Es ergeben sich dann die folgenden Umformungen: x x 3 = 9 ( 2) 2x x 3 = 13 ( 2) x x 3 = 9 2x = 14 x 3 = 5 2x 3 = 4 ( 1 2 ) x x 3 = 9 x 3 = 5 x 3 = 2 x = 7 = 3 2 x 3 = 2 x 1 = 1 = 3 x 3 = 2 x 1 = 1 = 3 x 3 = 2 1 ( 1) Die eindeutige Lösung lautet also x 1 = 1, = 3 sowie x 3 = 2 oder in der von nun an konsequent verwendeten vektoriellen Darstellung: x = 1 3 R 3 2 Wir formalisieren nun unsere bisherigen Überlegungen Dazu ist es zweckmäßig, zunächst nicht nur von Gleichungen mit reellen Zahlen und reellen Lösungen auszugehen, sondern Gleichungen mit Elementen eines Körpers Damit wir dies nicht bei jeder Definition und jedem Satz explizit betonen müssen, legen wir nun fest, dass mit dem Symbol K künftig ein Körper (beispielsweise K = Q,R,C,Z 7 etc) bezeichnet werde Definition 21 (Lineares Gleichungssystem) Es seien m,n N und m,n 0 sowie K ein Körper Ein System aus m Gleichungen und n Unbekannten x 1,,,x n der Gestalt ( 1)

5 21 Lösung linearer Gleichungssysteme 61 a 11 x 1 + a a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 + + a mn x n = b m (21) mit Koeffizienten a i j K für 1 i m (Zeilenindex) und 1 j n (Spaltenindex) sowie b 1,b 2,b m K heißt (inhomogenes) lineares Gleichungssystem (LGS) Falls die rechte Seite nur aus Nullen besteht, also b 1,b 2,,b m = 0 gilt, spricht man von einem homogenen 1 linearen Gleichungssystem Ein Vektor x 1 x = Kn (22) x n mit Lösungen x j K heißt Lösungsvektor oder einfach Lösung von (21) Wir haben bereits exemplarisch gesehen, dass ein lineares Gleichungssystem keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen besitzen kann Noch nicht beantwortet ist aber die Frage, ob es auch eine endliche Anzahl von Lösungen mit mehr als einem Lösungsvektor geben kann Für einen endlichen Körper ist dies in der Tat der Fall, da die Anzahl der Vektoren des Vektorraums K n bei einem endlichen Körper ebenfalls endlich ist, denn es gilt K n = K n Wir betrachten als Beispiel ein lineares Gleichungssystem mit vier Variablen und drei Gleichungen über dem Körper K = Z 2 : x x 3 + x 4 = 1 x 1 + x 3 = 0 + x 4 = 1 Um dieses System zu vereinfachen, eliminieren wir ebenfalls, wie in den Beispielen zuvor, gezielt Variablen in den einzelnen Gleichungen Dabei ist zu beachten, dass wir im Körper Z 2 rechnen Hier gilt also = 0, was die Rechnung sehr leicht macht: x x 3 + x 4 = 1 + x 1 + x 3 = 0 + x 4 = 1 x x 3 + x 4 = 1 + x 4 = x 4 = 1 x x 3 + x 4 = 1 + x 4 = = 0 1 Das Adjektiv inhomogen wird in der Regel weggelassen In diesem Sinne ist ein inhomogenes lineares Gleichungssystem kein nicht-homogenes lineares Gleichungssystem, sondern einfach nur ein beliebiges lineares Gleichungssystem

6 62 2 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und Determinanten x 1 + x 3 = 0 +x 3 + x 4 = 1 +x 4 0 = 0 x 1 = x 3 = 1 + x 4 x 3,x 4 Z 2 Die Lösungsmenge lautet daher x 3 L = x = 1 + x 4 x 3 : x 3,x 4 Z 2 Z 4 2 x 4 und besteht aus genau vier Vektoren: L = 1 0, 0 0, 1 1, Wie sieht aber dagegen dieser Sachverhalt bei Körpern mit unendlicher Anzahl von Elementen wie K = Q,R,C aus? Es sei also K ein derartiger Körper Gehen wir einmal davon aus, uns liege ein lineares Gleichungssystem der Art (21) mit a i j K vor Es seien x,y K n zwei verschiedene Lösungen Wir betrachten nun für ein beliebiges λ K den Vektor z := x + λ(x y) = (1 + λ)x λy K n Da x, y verschieden sind, gibt es eine Komponente j {1,,n} mit x j y j, sodass x j y j 0 gilt Wir können nun für jedes der unendlich vielen q K einen Vektor der Form von z erzeugen mit z j = q Dazu wählen wir λ = q x j x j y j Auf diese Weise können wir unendlich viele Vektoren der Form von z generieren Wir setzen nun die Komponenten von z, also z k = (1 + λ)x k λy k, k = 1,,n, in das lineare Gleichungssystem (21) ein und erhalten a 11 z a 1n z n =(1+λ)(a 11 x 1 + +a 1n x n ) λ(a 11 y 1 + +a 1n y n )=(1+λ)b 1 λb 1 = b 1 a 21 z a 2n z n =(1+λ)(a 21 x 1 + +a 2n x n ) λ(a 21 y 1 + +a 2n y n )=(1+λ)b 2 λb 2 = b 2 a m1 z a mn z n =(1+λ)(a m1 x 1 + +a mn x n ) λ(a m1 y 1 + +a mn y n )=(1+λ)b m λb m = b m Somit ist auch der Vektor z Lösung dieses linearen Gleichungssystems Falls es zwei verschiedene Lösungen gibt, so gibt es bereits unendlich viele Lösungen Fassen wir also zusammen: Satz 22 (Charakterisierung der Lösungsmengen linearer Gleichungssysteme über Q, R oder C) Ein lineares Gleichungssystem der Art (21) über Q, R oder C besitzt entweder

7 22 Matrix-Vektor-Notation 63 (i) keine Lösung, (ii) genau eine Lösung oder (iii) unendlich viele Lösungen Das bereits exemplarisch skizzierte Lösungsverfahren der Variablenelimination werden wir in Abschn 22 weiter schematisieren Zunächst stellen wir fest: Satz 23 Ein homogenes lineares Gleichungssystem a 11 x 1 + a a 1n x n = 0 a 21 x 1 + a a 2n x n = 0 (23) a m1 x 1 + a m2 + + a mn x n = 0 besitzt mindestens eine Lösung: x 1 0 x = = 0 = 0 x n 0 Der Nullvektor 0 K n löst also jedes homogene lineare Gleichungssystem mit n Unbekannten Man spricht in diesem Fall von der sogenannten trivialen Lösung Hat also ein lineares Gleichungssystem der Art (21) keine Lösung, so kann es nicht homogen sein In diesem Fall gibt es also ein k {1,2,,m} mit b k 0 22 Matrix-Vektor-Notation Definition 24 (Matrixschreibweise) Ein lineares Gleichungssystem der Gestalt (21) lautet in der Matrix-Vektor-Notation a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n = b 2 (24) a m1 a m2 a mn x n b m Dabei heißt das Objekt a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = =: (a i j) 1 i m, 1 j n mit a i j K (25) a m1 a m2 a mn

8 64 2 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und Determinanten (Koeffizienten-)Matrix oder m n-matrix (sprich: m kreuz n Matrix ) Zudem bilden die n Unbekannten x 1,,x n und die m Skalare b 1,,b m auf der rechten Seite als Spalte geschriebene Vektoren x 1 x = K n, b = b 1 K m (26) x n b m Die Menge aller m n-matrizen 2 mit Koeffizienten aus K wird in der Literatur unterschiedlich bezeichnet, beispielsweise mit M(m n,k) oder K m n Hat eine Matrix A M(m n,k) genauso viele Zeilen wie Spalten, gilt also m = n, wird A als quadratische Matrix bezeichnet Die Menge aller quadratischen Matrizen bestehend aus n Zeilen und Spalten und Koeffizienten aus K wird speziell mit M(n, K) bezeichnet Das lineare Gleichungssystem (21) lautet mit diesen Bezeichnungen in Kurzform Ax = b (27) Wir werden später sehen, dass der Term Ax als Produkt aus der Matrix A und dem Vektor x interpretiert werden kann Das Ergebnis dieses sogenannten Matrix-Vektor-Produkts ist dann der Vektor b Zur Lösung des linearen Gleichungssystems bieten sich nun elementare Zeilenumformungen an, die die Lösungsmenge nicht ändern, jedoch die Matrix mit dem Ziel modifizieren, Einträge durch Nullen zu ersetzen Hierzu definieren wir: Definition 25 (Elementare Zeilenumformungen) Gegeben sei ein lineares Gleichungssystem der Gestalt (21) bzw in Matrix-Vektor-Notation Ax = b, mit A M(m n,k) und b K m, im Detail a 11 a 12 a 1n x 1 a 21 a 22 a 2n b 1 b 2 a m1 a m2 a mn x n = b m (28) Die Nettodaten des linearen Gleichungssystems können noch kürzer in einem Tableau (Tableau-Matrix) notiert werden: a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b 2 (29) a m1 a m2 a mn b m Oftmals wird bei Matrizen auch die Schreibweise mit eckigen statt mit runden Klammern verwendet Eckige Klammern sind etwas platzsparender und bieten sich insbesondere bei größeren Matrizen an Innerhalb dieses Buches werden für Tableau-Matrizen eckige Klammern verwendet, Matrizen ansonsten aber mit runden Klammern notiert Die Tableau-Schreibweise erleichtert das in den Beispielen zuvor skizzierte Verfahren der 2 Matrizen (engl matrices) ist der Plural von Matrix

9 22 Matrix-Vektor-Notation 65 äquivalenten Gleichungsumformungen Diese Umformungen dienen zur Vereinfachung des zugrunde gelegten linearen Gleichungssystems möglichst so weit, dass die Lösungsmenge aus dem Tableau ablesbar ist Diesen Gleichungsumformungen entsprechen dann Zeilenumformungen im Tableau der folgenden drei Typen: Typ I: Addition des Vielfachen einer Zeile (bzw Gleichung) zu einer anderen Zeile (bzw Gleichung), Typ II: Vertauschung von Zeilen (bzw Gleichungen), Typ III: Multiplikation einer Zeile (bzw Gleichung) mit einem Skalar 0 Mithilfe dieser Umformungen ist es möglich, aus dem linearen Gleichungssystem Variablen zu eliminieren, was dann einem Erzeugen von Nullen im jeweiligen Tableau entspricht Wir bezeichnen diese Umformungstypen als elementare Zeilenumformungen und das entsprechende Verfahren zur Elimination der Variablen als Gauß sches Eliminationsverfahren oder kurz Gauß-Algorithmus Zur Illustration des Gauß-Algorithmus betrachten wir ein weiteres Mal das bereits zuvor diskutierte Beispiel 5 eines linearen Gleichungssystems mit drei Gleichungen und drei Unbekannten: 2x x 3 = 13 2x = 14 x x 3 = 9 Dieses lineare Gleichungssystem lautet in der Matrix-Vektor-Schreibweise x 1 = x 3 9 bzw in der Tableau-Schreibweise Wir lösen nun dieses lineare Gleichungssystem mithilfe des Gauß schen Eliminationsverfahrens Ziel ist ein Tableau, das uns ein einfaches Ablesen der Lösung ermöglicht Dabei eliminieren wir in jeder Zeile genau zwei Zahlen Die übrigbleibende Zahl entspricht dann dem Vorfaktor einer Variablen Es verbleibt dann schließlich in jeder Zeile (bzw Gleichung) genau eine Zahl (bzw Variable) Hierzu verwenden wir exakt die Umformungen, die wir zuvor in Beispiel 5 verwendet hatten Wir beginnen dabei mit Zeilenvertauschungen, indem wir die dritte Zeile nach oben schieben Diese Umformung entspricht dabei zwei Zeilenumformungen des Typs II (Vertauschung der Zeilen 1 und 2 mit anschließender Vertauschung der letzten beiden Zeilen) Wir erhalten

10 66 2 Lineare Gleichungssysteme, Matrizen und Determinanten Das Eliminieren der Variablen x 1 in der zweiten und dritten Gleichung entspricht in diesem Tableau dem Eliminieren der beiden Zweien in der ersten Spalte Wir verwenden hierzu zwei Umformungen des Typs I, wie rechts vom Tableau angedeutet, und erhalten ( 2) ( 2) Es folgt eine Umformung des Typs III Wir erzeugen eine Eins in der letzten Zeile, indem wir sie mit 1 2 multiplizieren: ( 1 2 ) Wir können dann in der letzten Zeile bereits die Lösungskomponente x 3 = 2 für die dritte Variable ablesen Als erstes Etappenziel haben wir ein Tableau erzeugt, das unterhalb der diagonalen Zahlenlinie, die von links oben nach rechts unten verläuft, nur noch aus Nullen besteht Wenn wir nun oberhalb dieser Diagonalen ebenfalls Nullen erzeugen und die verbleibenden Zahlen auf der Diagonallinie durch Zeilenmultiplikation (Typ III-Umformung) auf den Wert 1 bringen, so entsteht ein Tableau, das einem linearen Gleichungssystem entspricht, in dessen Gleichungen von oben nach unten die Variablen abzulesen sind Zunächst eliminieren wir in der dritten Spalte die Zahlen 1 und 1 der ersten beiden Zeilen Hierzu wird die letzte Zeile zur zweiten addiert und von der ersten subtrahiert: ( 1) Der letzte Eliminationsschritt besteht nun darin, die Zahl 2 in der ersten Zeile mithilfe der zweiten Zeile zu eliminieren Wegen der bereits erzeugten Null an der zweiten Position der letzten Zeile kann hierzu die dritte Zeile nicht verwendet werden Das Resultat ist ein Tableau, bei dem nur noch die Diagonallinie besetzt ist: Nach Multiplikation der zweiten Zeile mit 1 erhalten wir ein Tableau, bei welchem links von der Trennlinie nur noch Einsen auf der Diagonalen auftreten: ( 1) Rechts von der Trennlinie steht dann die Lösung, denn dem letzten Tableau entspricht das lineare Gleichungssystem

11 22 Matrix-Vektor-Notation 67 x 1 = 1 = 3 x 3 = 2 Die links von der Trennlinie stehende Matrix des letzten Tableaus wird als 3 3-Einheitsmatrix bezeichnet Wir definieren nun allgemein: Definition 26 (n n-einheitsmatrix) Es sei n N, n 0 Die quadratische Matrix E n = (210) heißt n n-einheitsmatrix Für gilt A = (a i j ) 1 i, j n = E n a i j = 0, für i j sowie, a i j = 1, für i = j, (bzw a ii = 1), wobei 1 i, j n Wie lässt sich nun das Gauß sche Eliminationsverfahren in Fällen anwenden, in denen keine eindeutige Lösung existiert Wie wir bereits wissen, bedeutet dies, dass entweder keine Lösung existiert oder dass es mehrere Lösungsvektoren gibt, wie es beispielsweise in Situationen mit mehr Variablen als Gleichungen der Fall sein kann Betrachten wir hierzu ein Beispiel mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten: x1 + x 3 = 3 x = 2 In Matrix-Vektor-Schreibweise lautet dieses lineare Gleichungssystem ( ) x 1 ( ) x = 2 x 3 Wir nutzen die Tableau-Schreibweise, um es zu vereinfachen: [ ] [ ] ( 1) ( 1) [ Wir haben nun die 2 2-Einheitsmatrix im linken Teil dieses Endtableaus erzeugt Wenn wir nun dieses Tableau zurückübersetzen, erhalten wir als entsprechendes lineares Gleichungssystem x1 2x 3 = 4 + x 3 = 1 Aufgelöst nach x 1 und ergibt sich ]

12