6 Lineare Gleichungssysteme

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1 6 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 3 6 Lineare Gleichungssysteme Unter einem linearen Gleichungssystem verstehen wir ein System von Gleichungen α ξ + + α n ξ n = β α m ξ + + α mn ξ n = β m mit Koeffizienten α ij, β i K und Unbekannten ξ i Dieses Gleichungssystem hat m Gleichungen mit n Unbekannten Wir setzen A = (α ij ) i m j n ξ ξ n K (m n) β x = K n, b = Dann ist obiges Gleichungssystem gerade β m K m ( ) Ax = b Schreibt man A als Matrix von Spaltenvektoren so lautet das Gleichungssystem auch A = (a,, a n ); a i = a i a mi ξ a + + ξ n a n = b K m Definition Die Matrix A heißt die Koeffizientenmatrix des Gleichungssystems, b nennt man auch die rechte Seite Das Gleichungsystem heißt homogen, falls b =, ansonsten inhomogen Fragestellungen bei linearen Gleichungssystemen () Lösbarkeit: D h unter welchen Bedingungen an A, b ist ( ) lösbar? (2) Universelle Lösbarkeit: D h unter welchen Bedingungen an A ist ( ) für alle b lösbar? (3) Lösungsraum: Beschreibung der Lösungsmenge (4) Eindeutigkeit: Unter welchen Bedingungen an A, b ist ( ) eindeutig lösbar?

2 4 (5) Berechenbarkeit: Man gebe einen Algorithmus zur Lösung von ( ) an Satz 6 Es sind äquivalent: (i) Ax = b ist lösbar (ii) b Im A (iii) Rang A = Rang(A, b) Definition (A, b) heißt die erweiterte Koeffizientenmatrix Beweis (i) (ii) (ii) (iii) (iii) (i) Ax = b lösbar Es gibt x K n mit Ax = b b Im A b Im A Es gibt x,, x n K mit x a + + x n a n = b b Span(a,, a n ) Span(a,, a n, b) = Span(a,, a n ) Rang(A, b) = Rang A Rang(A, b) = Rang A Abhlemma b Span(a,, a n ) Es gibt x,, x n K mit b = x a + + x n a n ( ) ist lösbar Satz 62 Es sind äquivalent: (i) ( ) ist universell lösbar (ii) Rang A = m Beweis Es gilt für die Abbildung A : K n K m, x Ax das folgende: Rang A = m A ist surjektiv Zu jedem b K m gibt es x mit Ax = b ( ) ist universell lösbar

3 6 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 5 Satz 63 (i) Die Lösungsmenge L von Ax = ist ein linearer Unterraum Genauer gilt L = Ker A, dim L = n Rang A (ii) Die Lösungsmenge L b von Ax = b ist ein affiner Unterraum von K n D h ist u eine spezielle Lösung von Ax = b, so gilt Beweis (i) Es gilt Aus der Dimensionsformel folgt dann L b = u + L Ax = x Ker A dim Ker A + Rang A = n (ii) u + L L b : Es sei x L Dann gilt A(u + x) = Au + }{{} Ax = Au = b u + x L b = L b u + L : Es sei y L b Wir setzen x := (y u ) Dann ist y = x + u Ferner gilt Ax = A(y u ) = Ay Au = b b =, also x L D h y u + L Abb 32: Lösungsmenge L b als affiner Unterrraum Satz 64 Ax = b sei lösbar Dann sind äquivalent: (i) Ax = b ist eindeutig lösbar (ii) Ker A = {}

4 6 (iii) Rang A = n Beweis Da L b = u + L ist, gilt: Ax = b ist eindeutig lösbar Ax = ist eindeutig lösbar Ker A = {} Rang A = n Hierbei folgt die letzte Äquivalenz wieder aus der Dimensionsformel Quadratische Gleichungssysteme (m = n) Wir betrachten das Gleichungssystem ( ) Ax = b, A Mat(n; K); b K n Satz 65 Für quadratische Gleichungssysteme (m = n) sind äquivalent: (i) Ax = b ist für jedes b K n lösbar (ii) Ax = b ist für ein b K n eindeutig lösbar (iii) Ax = besitzt nur die Lösung x = (iv) (v) Ax = b ist für jedes b K n eindeutig lösbar A GL(n, K) Beweis Es gilt: (i) Ax = b ist universell lösbar (62) Rang A = m = n (v) (iii) Ker A = {} Rang A = n (v) (ii) (64) Rang A = n (62) (iv) (ii) ist trivial { Ax = b ist stets lösbar Ker A = {} (ii) (64) Ker A = A GL(n, K) (v) } (64) (iv) Bemerkung Es sei A GL(n, K) Dann erhält man die Lösung von Ax = b durch x = A b

5 6 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 7 Der Gauß-Algorithmus Wir beschreiben nun einen Algorithmus zur Lösung eines linearen Gleichungssystems ( ) Ax = b Es besteht aus drei Schritten: I Vorwärtselimination II Lösbarkeitsentscheidung (nur für b ) III Rückwärtssubstitution I Vorwärtselimination Eliminationsschritt Wir fragen zunächst, ob α ist Falls nicht, suchen wir in der ersten Spalte ein Element α k und vertauschen die erste mit der k-ten Zeile Falls alle α k = sind, fahren wir mit der nächsten Spalte fort, bis wir ein Element α ij finden (Falls A = ist, so ist die Aufgabe trivial, weil dann entweder jedes x K n ein Lösung ist, falls b = ist, oder die Lösungsmenge leer ist, falls b ) Wir sind dann in der Situation, daß wir annehmen können, daß die ersten k Spalten von A gleich sind, und daß α k ist Wir ziehen dann das α ik α k -fache der ersten Zeile von der i-ten Zeile ab Das Ergebnis sieht für die erweiterte Koeffizientenmatrix dann wie folgt aus: Dabei bezeichnet eine von Null verschiedene Zahl und eine beliebige Zahl 2 Eliminationsschritt Wir wenden dasselbe Verfahren nun auf die eingezeichnete Restmatrix an Das Ergebnis ist eine Matrix in Zeilenstufenform: β β2 β3 βr βr+ βm

6 8 II Lösbarkeitsentscheidung Ist einer der Einträge β r+,, β m, so ist Rang(A, b) > Rang A = r, und das Gleichungssystem ist nicht lösbar III Rückwärtssubstitution Allgemeines Verfahren (i) Die zu Spalten ohne -Stelle gehörenden Unbekannten sind die freien Variablen Sie werden der Reihe nach gleich λ,, λ n r gesetzt (ii) Man löst dann das Gleichungssystem nach den zu den -Stellen gehörenden abhängigen Variablen aus und bestimmt diese nacheinander in Abhängigkeit von λ,, λ n r Alternatives Verfahren (i) Man ermittelt eine spezielle Lösung u von ( ), indem man λ = = λ n r = setzt (ii) Man ermittelt den Lösungsraum von Ax = : Setze β = = β m = und wähle für j =,, n r: { λ (j) für i j i = für i = j Die Auflösung nach den abhängigen Variablen gibt dann linear unabhängige Lösungen v,, v n r Die allgemeine Lösung ergibt sich dann nach Satz (63) durch x = u + c v + + c n r v n r (c,, c n r K) Beispiele () Wir betrachten das lineare Gleichungssystem (K = R) ξ + ξ 2 + ξ 3 = 2ξ ξ 2 + ξ 3 = 4ξ + 2ξ 2 ξ 3 = Dann kann man das Gauß-Verfahren etwa in der folgenden Form aufschreiben: ξ + ξ 2 + ξ 3 2ξ ξ 2 + ξ 3 4ξ + 2ξ 2 ξ 3 ξ + ξ 2 + ξ 3 3ξ 2 ξ 3 6ξ 2 + 3ξ 3 ξ + ξ 2 + ξ 3 3ξ 2 ξ 3 ξ 3 = = = = = 2 = 4 = = 2 = ξ ξ 2 ξ 3 Regie ] 2 ] ] 2

7 6 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 9 Rückwärtssubstitution ergibt x 3 =, x 2 = 2 3, x = 3 Das Gleichungssystem ist eindeutig gelöst durch x = (2) Wir betrachten das lineare Gleichungssystem (K = R): ξ + ξ 2 + ξ 3 + ξ 4 + ξ 5 = Die erweiterte Koeffizizentenmatrix ist daher (A, b) = ξ 3 ξ 4 + ξ 5 = ξ 4 ξ 5 = 2 = 2 Im Sinne des oben erläuterten Schemas hat diese Matrix die Gestalt (A, b) = Wir haben also folgende freie Variable: Rückwärtssubstitution ergibt dann: x 2 = λ, x 5 = λ 2 x 4 = 2 + x 5 = 2 + λ 2 x 3 = + x 4 x 5 = 3 x = x 2 x 3 x 4 x 5 = 4 λ 2λ 2 Alternativ können wie zuerst eine spezielle Lösung bestimmen Für λ = λ 2 = erhält man 4 u = 3 2

8 Lösungen des homogenen Systems erhält man wie folgt: λ =, λ 2 = : Rückwärtssubstitution ergibt v = λ =, λ 2 = : Rückwärtssubstitution ergibt 2 v 2 = Damit erhält man den Lösungsraum des homogenen Systems als L = Span(v, v 2 ) (Man beachte, daß dim L = 2 = 5 Rang A ist) Die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems ( ) ist damit 4 2 L = u + L = { c + c 2 ; c, c 2 R}