Mathematik Matrizenrechnung

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1 Mathematik Matrizenrechnung Einstufige Prozesse Rechenregeln für Matrizen Mehrstufige Prozesse Inverse Matrix Stochastische Prozesse 6 Zyklisches Verhalten

2 Einstufige Prozesse Einstufige Prozesse Zur Beschreibung einstufiger Prozesse durch Matrizen ist lediglich nur eine Matrix nötig Dabei beschreibt diese Matrix A den Prozess eines Ausgangsprodukts zu dessen Endprodukt: Prozess( A) Ausgangsprodukt Endprodukt Mittels eines Gozintographen kann eine Tabelle und aus dieser die notwendige Matrix A erstellt werden Dabei besteht eine solche Matrix immer aus m Zeilen und n Spalten (m x n-matrix): a a a n A a a an am am amn Diese Matrix A wird häufig auch als Prozess- oder Bedarfsmatrix bezeichnet Beispiel: Drei Endprodukte (E, E und E ) sollen aus drei Ausgangsprodukten/Rohstoffen (R, R und R ) gewonnen werden Für E sind eine Einheit R, drei Einheiten R und zwei Einheiten R nötig; für E sind null Einheiten R, eins Einheiten R und eins Einheiten R zu verwenden; und für E sind zwei Einheiten R, eins Einheiten R und null Einheiten R zu gebrauchen Nun soll aus diesen Informationen eine Matrix erstellt werden und die Bedeutung des Eintrags a erklärt werden Um eine Matrix A nun zu erstellen, kann aus einem Gozintographen eine Tabelle angefertigt werden E E E R 0 R R 0 Aus dieser Tabelle folgt unmittelbar die (Prozess-)Matrix A: 0 A 0 Hierbei handelt es sich sogar um eine quadratische Matrix, da sie gleich viele Zeilen wie Spalten enthält Der Eintrag a (dritten Zeile und zweite Spalte) ist in dieser Matrix der Wert Er bedeutet, dass für das Endprodukt (E ) eine Einheit des Rohstoffs (R ) benötigt wird

3 Einstufige Prozesse Soll eine bestimmte Menge an Endprodukten hergestellt werden, gibt man diese in einem Spaltvektor x an Es gilt folgender Zusammenhang: A x y, wobei y die Menge an Ausgangsprodukten angibt Beispiel: Gesucht ist die benötigte Menge an Ausgangsprodukten, wenn im bereits beschriebenen Verfahren 0 Einheiten E, 0 Einheiten E und Einheiten E gebraucht werden Um diesen Bedarf zu bestimmen, muss zunächst der Spaltvektor x bestimmt werden Dieser ergibt sich zu: 0 x 0 Gemäß des Ansatzes A x y folgt für die Menge an Ausgangsprodukten: y 0 0 y, und somit: 0 y 0 Folglich werden für die benötigten Bedarf von 0 Einheiten E, 0 Einheiten E und Einheiten E also 0 Einheiten R, Einheiten R und 0 Einheiten R gebraucht

4 Rechenregeln für Matrizen Rechenregeln für Matrizen () Matrizenaddition Sind zwei Matrizen A und 6 B gegeben, können diese miteinander addiert werden Es folgt: B A Wichtig dabei ist, dass nur Matrizen miteinander addiert werden können, die die gleichen Zeilen- und Spaltenanzahlen haben () Subtraktion von Matrizen Analog zur Matrizenaddition können auch eine Matrix von einer anderen subtrahiert werden Seien die Matrizen 0 A und B gegeben und soll B von A subtrahiert werden, ergibt sich: B A Auch hier sei darauf zu achten, dass nur solche Matrizen voneinander subtrahiert werden können, die sie die gleichen Zeilen- und Spaltenanzahlen haben () s-multiplikation Soll die Matrix A beispielsweise verdoppelt werden, gilt: A A s () Matrizenmultiplikation Sollen die beiden Matrizen 0 A und B miteinander multipliziert werden, gilt: B A Wichtig ist hierbei, dass zwei Matrizen nur dann multipliziert werden können, wenn die eine Matrix so viele Spalten wie die andere Zeilen besitzt

5 Mehrstufige Prozesse Mehrstufige Prozesse Zur Beschreibung mehrstufiger Prozesse sind mindestens zwei Matrizen A und B (zweistufige Prozesse) nötig Dabei beschreibt die Matrix A, wie aus bestimmten Ausgangsprodukten zunächst Zwischenprodukte entstehen: Prozess( A) Ausgangsprodukte Zwischenprodukte Die Matrix B beschreibt, wie aus diesen Zwischenprodukten die Endprodukte entstehen: Prozess( B) Zwischenprodukte Endprodukte Um zu wissen, wie viele Ausgangsprodukte nötig sind, um die Endprodukte herzustellen, muss man eine Rohprodukt-Endprodukt-Matrix C erstellen Diese ergibt sich aus der Multiplikation der Matrizen A und B: C A B Beispiel: Gegeben sei zum einen die Gewinnung dreier Zwischenprodukte (Z, Z und Z ) aus drei Ausgangsprodukten/Rohstoffen (R, R und R ) und zum anderen die Gewinnung dreier Endprodukten (E, E und E ) aus den Zwischenprodukten Den folgenden Tabellen können die Informationen zur Gewinnung der Zwischen- und der Endprodukte entnommen werden Z Z Z R 6 R 0 R Tab: Gewinnung der Zwischenprodukten E E E Z 0 Z 6 0 Z Tab: Gewinnung der Endprodukte Gesucht ist nun, wie viele Rohstoffe man für die einzelnen Endprodukte benötigt Um herauszufinden, wie viele Rohstoffe die einzelnen Endprodukte bilden, müssen zunächste zwei Matrizen angefertigt werden Aus der ersten Tabelle lässt sich eine Matrix A erstellen, die die Gewinnung der Zwischenprodukte aus den Rohstoffen beschreibt: 6 A 0 Des Weiteren lässt sich aus der zweiten Tabelle eine Matrix B erstellen, die die Gewinnung der Endprodukte aus den Zwischenprodukten beschreibt: 0 B 6 0 Nun soll eine dritte Matrix C beschreiben, aus wie vielen Rohstoffen die einzelnen Endprodukte hergestellt werden Diese Rohstoff-Endprodukt- Matrix C ergibt sich aus der Multiplikation der Matrizen A und B Es folgt der allgemeine Ansatz: C A B, und somit:

6 Mehrstufige Prozesse 6 0 C Für die Matrix C ergibt sich also: C 0 0 Diese gibt Aufschluss darüber, aus wie vielen Rohstoffen die jeweiligen Endprodukte nun hergestellt werden E zum Beispiel wird aus Einheiten R, 0 Einheiten R und Einheiten R hergestellt Geht man nun von einem Auftrag aus, der eine bestimmte Anzahl jeweiliger Endprodukte benötigt, muss die Rohprodukt-Endprodukt- Matrix C mit einem Spaltenvektor x multipliziert werden: C x y, wobei y dann die notwendige Menge an Ausgangsprodukten/Rohstoffen darstellt, um den benötigten Bedarf an Endprodukten herstellen zu können Beispiel: Gegeben sei bereits beschriebene Gewinnung an Zwischen- und Endprodukten Im folgenden sei die Menge an Rohstoffen gesucht, um den Bedarf von 0 Einheiten E, 0 Einheiten E und Einheiten E herstellen zu können Zunächst muss dazu die Rohprodukt-Endprodukt-Matrix C bestimmt werden Diese ergibt sich aus vorangegangenem Beispiel zu: C 0 0 Anhand des benötigten Bedarfs von 0 Einheiten E, 0 Einheiten E und Einheiten E, lässt sich ein Spaltenvektor x bestimmen: 0 x 0 Um nun herauszufinden, wie viele Rohstoffe denn für diesen Bedarf gebraucht werden, muss die Rohprodukt-Endprodukt-Matrix C mit dem Spaltenvektor x multipliziert werden Es ergibt sich nach dem Ansatz C x y : 6

7 Mehrstufige Prozesse 0 00 C x Für den beschriebenen Bedarf von 0 Einheiten E, 0 Einheiten E und Einheiten E werden also 00 Einheiten R, 00 Einheiten R und 0 Einheiten R benötigt

8 Inverse Matrix Inverse Matrix Kehrt man den normalen Prozess von einem Ausgangsprodukt zu einem Endprodukt um, erhält man über nun ausgehend von den Endprodukten über A - die Ausgangsprodukte: Ausgangsprodukte Pr ozess( A ) Endprodukte Man erhält also über diese inverse Matrix den Schritt zuvor Wird eine quadratische Matrix A mit ihrer inversen Matrix A - multipliziert, erhält man die Einheitsmatrix E Folgender Zusammenhang wird dadurch erkennbar: A A E A A Ob eine Matrix invertierbar ist, zeigt sich, wenn für Determinante D 0 gilt a a Für eine x -Matrix A bestimmt man beispielsweise die a a Determinante gemäß D a a a a Beispiel: Gegeben sei eine Matrix A, die den Prozess zweier Endprodukte E und E aus den Vorstufen Z und Z beschreibt Gesucht werden soll die Anzahl der noch zu produzierenden Endprodukte, wenn alle noch vorhandenen Vorstufen je 000 Einheiten aufgebraucht werden sollen Um diese Anzahl zu bestimmen, muss zunächst die Inverse der Matrix A bestimmt werden Diese ergibt sich zu: 0, 0, A 0, 0, Multipliziert man diese nun mit den Einheiten der noch vorhandenen Vorstufen, folgt gemäß x A y : 0, 0, 000 x, 0, 0, 000 und somit: x Folglich können noch Einheiten E und Einheiten E hergestellt werden, bis alle Vorstufen aufgebraucht sind

9 Stochastische Prozesse Stochastische Prozesse Bei einer Matrix P handelt es sich dann um eine stochastische Matrix (auch Übergangsmatrix genannt), wenn - die Matrix quadratisch ist, - für jedes Element a der Matrix 0 a gilt und - die Summe der Elemente in jeder Spalte beträgt Der zu einer stochastischen Matrix zugehörige Prozess wird Austauschprozess genannt, da bei diesen Prozessen die Gesamtzahlen gleich bleiben (Summe der Elemente in jeder Spalte ist ) und lediglich nur unter verschiedenen Kategorien getauscht wird Da man bei Austauschprozessen oft an langfristigen Entwicklungen interessiert ist, wird immer dieselbe stochastische Matrix P verwendet Hierzu gibt es einen Startvektor x, der die Verteilung am Tag 0 zeigt Multipliziert mit der stochastischen Matrix P ergibt sich die Verteilung am Tag Dies wieder mit P multipliziert ergibt die Verteilung am Tag; usw (Markoff sche Kette) Für die Verteilung zu einem bestimmten Tag kann auch mit P t x (t in Tagen) gerechnet werden Streben die Potenzen von P gegen eine Matrix G, so ist G die Grenzmatrix: lim P t G t * Ist dies der Fall, existieren auch stabile Verteilungen x, die auch Grenzverteilung genannt wird Für diese gilt: * * P x x * Die Elemente des Fixvektors x sind Vielfache der Elemente der Spalte der Grenzmatrix Beispiel: Für drei Tankstellen A, B und C sollen die folgenden Annahmen getroffen werden: Die Kunden von A verteilen sich beim nächsten Tanken auf die Tankstellen A, B und C im Verhältnis : : Die Kunden von B wechseln das nächste Mal je % zu A und zu C 0% der Kunden von C wählen diese Tankstelle auch das nächste Mal, der Rest fährt zu A Jeder Kunde tankt pro Woche genau ein Mal Anhand dieser dieser Aufgabe, soll nun () eine Übergangsmatrix P bestimmt werden, () die Verteilung der Autofahrer auf die drei Tankstellen für die nächsten beiden Wochen [für zehn Wochen] berechnet werden, wenn von den 000 Autofahrer insgesamt in einer Woche 00 bei B und jeweils 00 bei A und bei C tanken, () ein zu der Übergangsmatrix P passender Fixvektor P bestimmt werden und die zugehörige Grenzmatrix ermittelt werden und () die Verteilung berechnet werden, die sich auf lange Sicht einstellt

10 Stochastische Prozesse () Stellt man sich die nebenstehende Tabelle vor, ergibt sich für die Übergangsmatrix P: 0, 0, 0 P 0, 0, 0 0, 0, 0, nach von A B C A 0, 0, 0, B 0, 0, 0 C 0, 0, 0, 00 () Zunächst einmal wird der Startvektor x 00 angegeben Dieser mit 00 der Übergangsmatrix P multipliziert ergibt die Verteilung der Autofahrer auf die drei Tankstelle nach einer Woche Es ergibt sich demnach: 0, 0, 0, 00 0 P x 0, 0, , 0, 0, 00 Folglich tanken nach einer Woche 0 Autofahrer bei A, Autofahrer bei B und Autofahrer bei C 0 Multipliziert man diesen ermittelten Vektor y nun erneut mit der Übergangsmatrix P, so ergibt sich die Verteilung für die zweite Woche: 0, 0, 0, 0 06, P y 0, 0, 0 0, 0, 0,, Demzufolge tanken in der zweiten Woche bereits etwa 06 Autofahrer bei A, Autofahrer bei B und etwa Autofahrer bei C Um die Verteilung nach zehn Wochen zu bestimmen, kann die Übergangsmatrix zehn Mal mit sich selbst und dann mit dem Startvektor x multipliziert werden Es folgt: 0 0, 0, 0, 00 6, 0 P x 0, 0, 0 00, 0, 0, 0, 00, Also tanken nach zehn Wochen etwa 6 Autofahrer bei A, etwa Autofahrer bei B und etwa Autofahrer bei C () Um einen Fixvektor zu bestimmen, gilt der grundsätzliche Ansatz: * * P x x Es folgt also: 0, 0, 0, * * 0, 0, 0 x x, 0, 0, 0, bzw: 0

11 Stochastische Prozesse 0, 0, 0, x x 0, 0, 0 x x 0, 0, 0, x x Für das LGS und dessen Lösung ergibt sich somit: x x 0 x 0,x 0,x 0,x x 0,x 0,x x x x 0 x 0,x 0,x 0,x x 0 0 x t t t Da eben diese 000 die gesamte Anzahl an Autofahrern meint, müssen die Einträge des Fixvektors in der Summe auch 000 ergeben Somit folgt: x x x 000 Und setzt man die Werte des LGS ein, ergibt sich: t t t 000, und demnach: t Wenn für t folgt, kann so auch x zu 6 und x zu bestimmt werden, wenn man das Ergebnis für t in x und x einsetzt * Folglich ergibt sich der Fixvektor x : 6 * x Um nun noch die Grenzmatrix zu erhalten, kann ausgeklammert werden, sodass sich ergibt: Da die Elemente in den Spalten der Grenzmatrix den Elementen des Fixvektors entsprechen, muss für die jeweilige Spalte des Grenzmatrix gelten Für die Grenzmatrix folgt also: G () Da die Grenzmatrix nun bekannt ist, kann diese mit dem Startvektor x multipliziert werden Es ergibt sich also:

12 Stochastische Prozesse 00 6 G x Auf lange Sicht werden also etwa 6 Autofahrer bei A, etwa Autofahrer bei B und etwa 6 Autofahrer bei C tanken

13 6 Zyklisches Verhalten 6 Zyklisches Verhalten Über ein Übergangsdiagramm erhält man für Populationsentwicklungen eine Übergangsmatrix U Diese ist immer nach einem klassischen Schema aufgebaut: 0 0 v U a 0 0, 0 0 b wobei die Vermehrungsrate v 0 ist und die Überlebensraten 0 a, b sind Des Weiteren gilt, wenn - a b v ist, stirbt die Population aus - a b v ist, entwickelt sich die Population zyklisch - a b v ist, nimmt die Population zu Dabei sei darauf zu achten, dass der Zyklus drei Zeiteinheiten beträgt Beispiel: Ein Käfer, der kurz nach der Eiablage stirbt, legt so viele Eier, dass im nächsten Jahr daraus wieder Larven (L) schlüpfen Nur 0% dieser Larven überleben das erste Jahr und verpuppen sich Nach einem weiteren Jahr werden 0% dieser Puppen (P) wieder zu Käfern (K) Anhand dieser Aufgabe soll nun () eine Übergangsmatrix ermittelt werden und () überprüft werden, wie sich die Population entwickelt () Um eine Übergangsmatrix anzugeben, kann am besten zunächst ein Übergangs-diagramm erstellt werden: L P K L (eigentlich: Pfeil von K zu L über P) Hieraus lässt sich über eine Tabelle L P K (siehe nebenstehend) annähernd eine L 0 0 Übergangs-matrix anfertigen P 0, 0 0 Letztlich ergibt sich diese somit zu: K 0 0, U 0, , 0 () Aus dieser Übergangsmatrix lässt sich für v, für a 0, und für b 0, ablesen Um nun zu überprüfen, wie sich diese Population denn entwickeln wird, wird a b v berechnet: a b v 0, 0, Da a b v gilt, handelt es sich bei der Populationsentwicklung um ein zyklisches Verhalten

14 Beispielaufgaben sind dem Schulbuch (Lambacher Schweizer /, Mathematik für Gymnasien, Gesamtband Oberstufe, Niedersachsen; Klett-Verlag) entnommen