Demo für Übergangsmatrizen. Matrizenrechnung. Themenheft: Populationsentwicklungen. und zyklische Matrizen

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1 Matrizenrechnung Übergangsmatrizen Themenheft: Populationsentwicklungen und zyklische Matrizen Datei 6334 Stand:. Noember INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 633 Übergangsmatrizen Vorwort Eine spezielle Form on mehrstufigen Prozessen sind zyklische Prozesse, also Prozesse, die irgendwann wieder den Ausgangszustand herstellen. Die bekannten Beispiele dazu sind Populationsentwicklungen. Die Anfänge dieser Theorie ist für Schüler gut erständlich. Und dazu zeige ich hier einführende Beispiele und einige Übungsaufgaben. Hier wird natürlich orausgesetzt, dass man die Grundlagen der Übergangsmatrizen schon beherrscht (also Text 633). Es gibt dazu weitere Texte 75 (und bald noch 75), die Abituraufgaben zu Übergangsmatrizen enthalten. Die Grafiken wurden mit MatheGrafix (Version ) erstellt und deren Dateien finden Sie auf der Mathe-CD im Ordner Mathegrafiken in mgt-6334 zur weiteren Verarbeitung. Inhalt Beispiel a Entwicklung on Käfern aus Eiern über das Zwischenstadium Laren Hier: Stabiler, reproduzierender Zyklus 3 Beispiel b Hier kein stabiler Zyklus sondern exponentielles Wachstum 6 Beispiel c Hier kein stabiler Zyklus sondern exponentielle Abnahme 8 Beispiel Maikäfer haben einen ierjährigen Zyklus 9 Beispiel 3 Viehzucht Beispiel 4 Reproduzierender Bestand innerhalb on Zyklus 4 Beispiel 5 Viehzucht mit 4 Altersgruppen 8 Beispiel 6 Populationsmodell mit 3 gleich langen Phasen 9 Übungsaufgaben Lösungen - 3

3 633 Übergangsmatrizen 3 Populationsentwicklung und Leslie-Matrizen Für die Analyse on Populationsentwicklungen gibt es mathematische Modelle, mit denen man aus Anfangsbeständen Folgebestände berechnen kann. Die zugehörigen Übergangsmatrizen. Liegt ein Zyklus on 4 Altersgruppen (Zuständen) or, dann kann man die einfachste Form solcher Übergänge (Entwicklungen durch eine Tabelle dieser Form beschreiben: Dazu gehört dieses Übergangsdiagramm: Die Übergangsmatrix heißt auch Leslie-Matrix: z z z3 z4 pab U pbc pcd Die Zahl p AC gibt den Bruchteil der Elemente im Zustand A an, die den Zustand B erreichen usw. Daher sind die drei Zahlen p AB, p BC und p CD Brüche aus dem Interall ;. Die Zahlen z i der. Reihe sind die Vermehrungsraten des Anfangszustandes A (fertility rates). Wir beginnen unsere Beispiele mit den einfachsten Modellen der Form z U pab pbc A B C D A z z z3 z4 B pab C pbc D p bzw. In denen nur der letzte Alterszustand einen Beitrag zu A liefert. z CD z z 3 p AB pbc pcd A B C D z pab U pbc pcd z

4 633 Übergangsmatrizen 4 Beispiel a Entwicklung on Käfern aus Eiern über das Zwischenstadium Laren In einem Modell wird angenommen, dass aus 5% der Eier Laren schlüpfen, und dass innerhalb eines Monats daon die Hälfte das Käferstadium erreicht. Jeder Käfer legt dann durchschnittlich 8 Eier. Diesen Entwicklungsprozess kann man durch eine Übergangstabelle darstellen: 8 Oder als Übergangsmatrix: U 4 Für die zahlenmäßige Erfassung einer solchen Entwicklung legt man eine Anfangserteilung fest. Diesen Anfangszustand schreibt man meist als Zustandsektor (Verteilungsektor). Er hat bei diesem Zyklus drei Komponenten: Die erste gibt die Anzahl der orhandenen Eier an, die zweite die Zahl der geschlüpften Laren und die dritte die Anzahl der schließlich herangewachsenen Käfer. 4 Beispiel für einen Startektor: (also 4 Eier, Laren und Käfer). Rekursie Berechnung der Folgezustände: U Beobachtung: U U U Nach 3 Zyklen (hier sind es laut Aufgabe Monate) wiederholt sich der Bestand: 3, und usw. 4 Der Grund liegt in der typischen Form der Übergangsmatrix bei Populationsentwicklungen: u U u. u3 Eier Laren Käfer,5,5!!!!!! 8 E L K E 8 L 4 K Wir untersuchen, unter welchen Bedingungen sich dieser stabile Zyklus einstellt.

5 633 Übergangsmatrizen 5. Explizite Berechnung der Folgezustände mittels Matrixpotenzen: Die Übergangsmatrix hat, wenn man die Reihenfolge der Entwicklungsstaden einhält, diese z Form: U p. p3 Dabei ist p der Anteil (die Wahrscheinlichkeit) der Übergänge aus dem. Zustand (Eier) in den zweiten (Laren), p 3 der Anteil der Übergänge aus dem. Zustand (Laren) in den dritten (Käfer). z ist die Vermehrungsrate (Anzahl on einem Käfer der gelegten Eier). Berechnung des ersten Folge-Zustandsektors: r U p p3 Berechnung des ersten zweiten-zustandsektors: U U(U ) U wobei durch U ersetzt worden ist. mit r r p r p p p p 3 U UU p p p r p3 r p r p p3 Berechnung des dritten Folge-Zustandsektors: 3 U U(U ) U 3 mit p r r p p r p p p p p r U U U p r p p p3 r Ersetzt man k p p3 r, dann gilt hier: k k k ke k k 3 weil die Einheitsmatrix E das neutrale Element für die Matrizenmultiplikation ist.

6 633 Übergangsmatrizen 6 Auswertung: Ist k p p3 r, dann gilt 3. In diesem Fall liegt ein stabiler Zyklus or. Nach jeweils 3 Perioden liegt der ursprüngliche Zustand wieder or. In unserem Beispiel ist genau das der Fall: k p p3 r 8. 4 Daher war 3, und allgemein ist dann n 3 n Ist k, etwa k =,5, dann gilt: 3,5. D. h. nach jeweils 3 Zyklen hat sich der Bestand mit dem Faktor,5 ermehrt, d.h. er wurde um 5% größer. Dies ist ein exponentielles Wachstum. Nimmt man über 3 Jahre einen Mittelwert, 3 dann kommt man zu einem Jahresfaktor on k*,5,77 Ist k, etwa k =,5, dann gilt: 3,5. Nach jeweils 3 Zyklen hat sich der dann Bestand mit dem Faktor,5 erkleinert, d.h. er wurde um 5 % kleiner. Dies ist eine exponentielle Abnahme. Nimmt man über 3 Jahre einen Mittelwert, 3 dann kommt man zu einem Jahresfaktor on k*,5,794. Von besonderem Interesse sind für schulische Aufgaben die stabilen Zyklen, also die Entwicklungen, bei denen sich also nach n Perioden wieder der Ausgangszustand einstellt. Definition: Eine quadratische Matrix A, bei der eine Potenz n A =E ist, heißt zyklische Matrix. Zyklische Übergangsmatrizen erzeugen stabile zyklische Zustandsentwicklungen: Nach n Übergängen liegt wieder der Ausgangszustand or. Beim Käfermodell im Beispiel handelte es sich um einen 3-monatigen Zyklus Nebenstehendes Diagramm zeigt die Fakten graphisch. Die Anzahlen der Eier, der Laren und der Käfer zeigen eine Periode on Monaten.

7 633 Übergangsmatrizen 7 Beispiel b Entwicklung on Käfern aus Eiern über das Zwischenstadium Laren Fortsetzung auf der Mathe-CD