Matrizen. Stefan Keppeler. 28. November Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen

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1 Mathematik I für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen Matrizen 28. November 2007

2 Summe & Produkt Beispiel: Einwohnerzahlen Beispiel Addition Multiplikation Inverse Addition & Multiplikation Anwendung der Assoziativität Potenzen

3 Definition: Eine n m-matrix A = (a ij ) ist ein Rechteck-Schema aus Zahlen a ij in n Zeilen und m Spalten, 1 i n, 1 j m. Die Menge aller n m-matrizen bezeichnen wir mit M(n, m). Die Summe A + B zweier n m-matrizen A = (a ij ) und B = (b ij ) ist die n m-matrix mit den Einträgen a ij + b ij. Das Produkt AB einer n m-matrix A = (a ij ) mit einer m l-matrix B = (b rs ) ist die n l-matrix C = (c is ) mit den Einträgen (Komponenten) c is = m a ij b js. j=1

4 Definition: Die A T einer n m-matrix A = (a ij ) ist die m n-matrix mit den Einträgen a ji. A heißt symmetrisch, wenn A T = A. Bemerkung: Vektoren lassen sich als Matrizen auffassen; man muss sich nur festlegen, ob sie Spaltenvektoren (und damit n 1-Matrizen) oder Zeilenvektoren (und damit 1 n-matrizen) sind. Sei A M(n, m) und x R m, aufgefasst als Spaltenvektor x M(m, 1). Dann ist Ax M(n, 1) ein Spaltenvektor, für den wir einfach schreiben Ax R n, genannt A angewandt auf den Vektor x.

5 Beispiel: Einwohnerzahlen Anwendung: in diskreter Zeit Individuum einer Gesamtheit im Zustand j Zeitschritt Wahrscheinlichkeit w ij, für Übergang in den Zustand i n mögliche Zustände: Zahlen w ij [0, 1] bilden n n-matrix, die Übergangsmatrix W des es. Zeitpunkt t = 0: N (0) j Individuen im Zustand j Populationsvektor: N (0) = (N (0) 1,..., N n (0) ) R n Zeitpunkt t = 1: näherungsweise für große N (0) j kurz N (1) j = w j1 N (0) 1 + w j2 N (0) w jn N n (0) N (t+1) = W N (t).

6 Beispiel: Einwohnerzahlen Beispiel: Tübingen hat Einwohner, Reutlingen Wenn jedes Jahr 5% der Einwohner Tübingens nach Reutlingen umzögen und 10% der Einwohner Reutlingens nach Tübingen (keine sonstigen Umzüge, keine Geburten oder Todesfälle), gilt N (1) = ( 0,95 0,1 0,05 0,9 ) ( ) = ( Folgejahr (gleiche Übergangswahrscheinlichkeiten): ( ) ( ) ( N (2) 0,95 0, = = 0,05 0, Gleichgewichtslage oder stationäre Verteilung falls W N = N, d.h. gleich viele Umzüge in jeder Richtung: 0,05 N 1 = 0,1 N 2 N 1 = 2N 2 Wegen N 1 + N 2 = , folgt N 1 = und N 2 = ). ).

7 Beispiel Anwendung: (Verallgemeinerung des es) Jedes Individuum einer Gesamtheit befindet sich zu einem Zeitpunkt in einem von n Zuständen. Ein Individuum im Zustand j erzeugt im Mittel l ij Individuen im nächsten Schritt im Zustand i; diese Werte bilden die Leslie-Matrix L = (l ij ) M(n, n). N (t) = (N (t) 1,..., N n (t) ): Populationsvektor zur Zeit t, dann ist im Mittel (und für große Besetzungszahlen näherungsweise) N (t+1) = LN (t). Beispiel: Fibonacci-Hasen

8 Beispiel Beispiel: Gesamtheit = Population, Zustand i = Alter in Jahren {0,..., n}. Ein Individuum von j Jahren setzt im Mittel ν j Nachkommen (vom Alter 0) in die Welt und geht außerdem selbst in den Zustand i + 1 über, wenn es nicht stirbt. Ein Individuum von j Jahren überlebt noch mindestens ein Jahr mit Wahrscheinlichkeit s j [0, 1], s n = 0. Also N (t+1) 0 = und N (t+1) i n j=0 für 1 i n. ν j N (t) j = s i 1 N (t) i 1 L = ν 0 ν 1 ν 2 ν n s s s n 1 0

9 Anwendung: Die Drehung der Ebene R 2 um den Ursprung um den Winkel ϕ (gegen den Uhrzeigersinn) entspricht in Koordinaten der Anwendung der Matrix ( cos ϕ sin ϕ sin ϕ cos ϕ ).

10 Addition Multiplikation Inverse Addition & Multiplikation Anwendung der Assoziativität Potenzen Addition: Seien A, B, C M(n, m). Dann gilt A + B = B + A (Kommutativität) (A + B) + C = A + (B + C) (Assoziativität) A + 0 = A mit der Nullmatrix 0, die als Einträge lauter Nullen hat (neutrales Element der Addition) A + ( A) = 0 mit A = ( a ij ) (Existenz von additiv-inversen [negativen] Elementen).

11 Addition Multiplikation Inverse Addition & Multiplikation Anwendung der Assoziativität Potenzen Multiplikation: Seien A M(n, m), B M(m, l) und C M(l, k). Kommutativität gilt i.a. nicht! (Beispiel Übungsaufgabe), d.h. i.a. AB BA (AB)C = A(BC) (Assoziativität) A0 = 0 = 0A AI = A = IA mit der Einheitsmatrix I = (I = neutrales Element der Multiplikation). Einträge mit dem Kronecker-Symbol { 1 falls i = j δ ij = 0 falls i j also I = (δ ij ).

12 Addition Multiplikation Inverse Addition & Multiplikation Anwendung der Assoziativität Potenzen Für manche, aber nicht für alle A M(n, n) mit A 0 existiert eine inverse Matrix A 1 mit der Eigenschaft Solche A heißen invertierbar. A 1 A = I = AA 1. Ist A invertierbar, dann ist die Inverse eindeutig, d.h., wenn B, C M(n, n) mit dann folgt B = C. BA = I = AB und CA = I = AC Ein Beispiel für eine nicht-invertierbare Matrix A 0 ist die Matrix aus der Übungsaufgabe mit A 2 = 0.

13 Addition Multiplikation Inverse Addition & Multiplikation Anwendung der Assoziativität Potenzen Addition und Multiplikation: (A + B)C = AC + BC für A, B M(n, m) und C M(m, l), A(B + C) = AB + AC für A M(n, m) und B, C M(m, l). (Distributivgesetze) A( B) = ( A)B = (AB).

14 Addition Multiplikation Inverse Addition & Multiplikation Anwendung der Assoziativität Potenzen Anwendung der Assoziativität: Aus N (t+1) = LN (t) für e und Leslie-Modelle folgt N (t) = L(L(L( (LN (0) ) ))) = ( ((LL)L) )L)N (0) = L t N (0), wobei Potenzen von Matrizen L t = LLL L (mit t Faktoren) nur für L M(n, n) und i.a. nur für Exponenten t N 0 definiert sind bei invertierbaren Matrizen auch für t Z.

15 Addition Multiplikation Inverse Addition & Multiplikation Anwendung der Assoziativität Potenzen Potenzrechenregeln: A n A m = A n+m A 1 = A A 0 = I für A 0 (A n ) m = A nm Vorsicht: i.a. (AB) n A n B n, denn z.b. (AB) 2 = ABAB AABB = A 2 B 2.