Lernmaterialblatt Mathematik. Vektorrechnung eine Einführung. Anwendung Mathematik I. Einleitung:

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1 Vektorrechnung eine Einführung Einleitung: Um beispielsweise das Dreieck ABC in der Abbildung an die Position A'B'C' zu verschieben, muss jeder Punkt um sieben Einheiten nach rechts und drei nach oben verschoben werden. Er bewegt sich dabei längs eines Pfeils. Da diese Pfeile in Länge, Richtung und Orientierung übereinstimmen, fasst man sie zu einer Klasse (Vektorklasse) zusammen, die man ebenfalls kurz mit bezeichnet. Jeder Pfeil ist ein Repräsentant dieser Klasse. Man beschreibt die Klasse durch die Verschiebung, die ihre Pfeile bewirken, im Beispiel:. Variablen, die für Vektoren stehen, werden vor allem in der Schulmathematik und in der Physik häufig mit einem Pfeil gekennzeichnet ( ) oder, vor allem im englischsprachigen Raum, fett geschrieben (a). Wie alle Variablen werden auch Vektoren allgemein kursiv gesetzt, unabhängig davon, ob sie fett (englisch) oder mit Pfeil (deutsch) gekennzeichnet sind. Ist die Länge des Vektors gemeint, wird der Vektor mit zwei senkrechten Betragsstrichen eingeklammert:. Bei vektoriellen Größen in der Physik spricht man meist vom Betrag statt von der Länge, Vektoren werden häufig als Pfeile dargestellt. IQ Technikum von 6

2 Sind zwei Punkte P und Q gegeben, so legen sie einen fest, indem P als Schaft und Q als Spitze interpretiert Der Vektor, der zu diesem Pfeil gehört heißt Vektor von Q und wird mit dem Symbol Pfeil wird. P nach PQ bezeichnet. P ist in diesem Fall Ausgangs- oder Startpunkt und Q als Spitze oder Endpunkt des Vektors. Die Lage der Pfeilspitze gibt die Orientierung des Vektors, seine Länge und der Pfeilschaft seine Richtung an. Dabei ist zu beachten, dass der Vektor nicht an die Punkte P und Q gebunden ist, sondern dass diese ihn nur definieren. So ist der Vektor von P nach Q durch PQ = ( q1 p1, q2 p2 ) gegeben. Man subtrahiert die Koordinaten des Schaftes von jenen der Spitze. Diese Regel gilt für beliebige Punkte P und Q. Die Addition von Vektoren (kurz Vektoraddition genannt) kann man nicht nur in der Mathematik sondern auch in vielen anderen Bereichen gut gebrauchen. Anwendungsbeispiele sind die Addition von Geschwindigkeiten oder Kräften, die ja vektorielle Größen darstellen. Seien a und b Vektoren (hier in englischer Notation), gedeutet als Pfeile. Wir legen sie so aneinander, dass die Spitze von a mit dem Schaft von b übereinstimmt. Die Summe a + b ist dann der Vektor vom Schaft von a zur Spitze von b. Die Summe der beiden Vektoren entspricht dann der Aufforderung, Gehe vom Schaft von a zur Spitze von b". In der Skizze ist das für die beiden Vektoren a = (1, 4) und b = (3, - 2), deren Summe a + b = (4, 2) ist, illustriert. Studieren Sie sie genauer, um nachzuvollziehen, wie die Komponenten (4, 2) der Summe zustandekommen! IQ Technikum von 6

3 Eine interessante geometrische Deutung besitzt die Rechenregel a + b = b + a (das Kommutativgesetz der Vektoraddition): Die Summe von mehr als zwei Vektoren kommt auf analoge Weise zustande. Die rechte Skizze illustriert, dass die Summe von Vektoren, die einen zu seinem Ausgangspunkt zurückkehrenden geschlossenen Polygonzug definieren, gleich 0 ist. Aus der geometrischen Bedeutung der Summe ergibt sich jene der Differenz zweier Vektoren: Das Diagramm, anders betrachtet, stellt die Addition zweier Vektoren dar: b + (a - b) = a.. Die Differenz zweier Vektoren stellt sich also als Antwort auf die Frage "b + wieviel ist a?" dar. Was hier über Summen und Differenzen von Vektoren gesagt wurde, gilt gleichermaßen auch für räumliche Vektoren. IQ Technikum von 6

4 Die eigentliche Addition (bzw. Subtraktion) führt man durch, indem die Vektoren elementweise addiert (subtrahiert) werden (vergl. Beispiele). Wie bei reellen Zahlen die Addition durch die Subtraktion ersetzt werden kann [a-b = a+(-b)] kann man auch bei den Vektoren die Subtraktion auf die Addition zurückführen. Nur, dass bei der Verwendung von räumlichen Vektoren das Bilden des entgegengesetzten Vektors geringfügig komplizierter ist. Da man hier drei Koordinaten hat, muss man von allen drei Werten die entgegengesetzten Zahlen bilden. Ist a ein ebener Vektor, so ist dessen Länge gleich a = a 1 + a. Entsprechend gilt für alle repräsentativen Pfeile eines räumlichen Vektors a2 a3 a = a +. Der Ortsvektor eines Punktes A ist ein Verbindungsvektor des Ursprungs mit dem Punkt A. Man kann aber die Koordinaten eines Vektors (zur Abwechslung jetzt mal in deutscher Notation). auch wie folgt darstellen: Hier im dreidimensionale Vektorraum mit einem kartesischen Koordinatensystem sind, und die Einheitsvektoren in Richtung der x-, y- bzw. z-achse. Dann kann jeder Vektor als geschrieben werden. Bei gegebenen Einheitsvektoren, und sind die reellen Zahlen IQ Technikum von 6

5 a 1, a 2 und a 3 eindeutig durch festgelegt. man kann das Basissystem ändern, z. B. durch Drehung; dann ändern sich zwar die a i, nicht aber der resultierende Vektor Man schreibt Vektoren oft kurz als 3 1- (oder 1 3-) Matrix ohne Angabe der Basisvektoren. Man spricht dann von Spalten- bzw. Zeilenvektoren. Da Vektoren mit Richtungen zu tun haben, werden sie auch gerichtete Größen genannt. Hingegen sind Skalare (d.h. Zahlen) ungerichtete Größen. Die Summe der beiden Vektoren und berechnet sich als: IQ Technikum von 6

6 Die Differenz: Das Produkt eines Vektors mit einer reellen Zahl: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist: wobei θ der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist. Stehen die zwei Vektoren rechtwinkelig zueinander, so ist das Skalarprodukt Null:. Im kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt als IQ Technikum von 6