Lineare Algebra. Inhalt. Hauptbestandteil der Vorlesung Mathematik 2 Literatur: Teschl/Teschl, Band 1, Kap. 9-14

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1 Lineare Algebra Hauptbestandteil der Vorlesung Mathematik Literatur: Teschl/Teschl, Band, Kap. 9-4 Inhalt Rechnen mit Vektoren und Matrizen Lineare Gleichungssysteme, GauÿAlgorithmus Vektorräume, Lineare Abbildungen Eigenwerte und Eigenvektoren Lineare Optimierung, SimplexAlgorithmus vektoren.pdf, Seite

2 Vektor Ein ndimensionaler Vektor mit n N ist ein ntupel x = x = x = (x, x,..., x n. mit reellen Zahlen x, x,..., x n, den Koordinaten oder Komponenten des Vektors. Alternative Notation als Spaltenvektor: x = x x. xn Der R n (R hoch n ist die Menge aller ndimensionalen Vektoren: R n = {(x, x,..., x n : x,..., x n R} = R R... R vektoren.pdf, Seite

3 Anwendungen Physikalische Gröÿen wie Ort, Geschwindigkeit, Kraft etc. werden durch Verktoren x R 3 dargestellt. Geometrische Objekte können mit Hilfe von Vektoren beschrieben werden ( Computergrak rgbfarbwerte können durch einen Vektor x = (r, g, b R 3 dargestellt werden. Umsätze x, x,..., x n einer Handelskette mit n Filialen lassen sich zu einem Vektor x R n zusammenfassen. Allgemein: gleichartige Zahlengröÿen werden zu Vektoren zusammengefasst (vgl. Arrays in Programmiersprachen vektoren.pdf, Seite 3

4 Koordinatensysteme dienen der Darstellung von Objekten im zwei- oder dreidimensionalen Raum durch Vektoren, die als Pfeile veranschaulicht werden. Beispiel: Punkt P in der Ebene mit den Koordinaten ( ( x = y 3 In diesem Fall spricht man von einem Ortsvektor, der den Koordinatenursprung mit dem Punkt P verbindet. vektoren.pdf, Seite 4

5 Richtungsvektoren verbinden Punkte miteinander. Beispiel: Die Eckpunkte eines Dreiecks werden die die Ortsvektoren ( ( 3 A = B = 3 ( und C = beschrieben. Die Seiten werden dann durch die Richtungsvektoren AB =, AC = und BC = dargestellt. ( 4 ( 5 3 ( 5 Bemerkung: Mathematisch gibt es keinen Unterschied zwischen Orts- und Richtungsvektoren, die Unterscheidung bezieht sich auf die jeweilige Anwendung. vektoren.pdf, Seite 5

6 Rechnen mit Vektoren x + y = x x. xn + analog x y =..., a x = a x x. xn = y y. yn a x a x. a xn = x + y x + y. xn + yn, für reelle Zahlen (Skalare a. Beispiel ( + ( 0, 6, 5 3, = (, 6 0, 5,,, 5 ( 6 4 = ( vektoren.pdf, Seite 6

7 Geometrisch entspricht die Addition von Vektoren im R oder R 3 dem aneinander hängen der Vektorpfeile. Multiplikation mit einem Skalar entspricht einer Streckung bzw. Stauchung sowie bei einem negativen Skalar der Umkehrung der Pfeilrichtung. vektoren.pdf, Seite 7

8 Rechenregeln für x, y, z R n x + y = y + x (Kommutativgesetz, (x + y + z = x + (y + z (Assoziativgesetz, x + 0 = x mit dem Nullvektor 0 = (0; 0;...; 0, x x = 0. Fazit: (R n, + ist abelsche Gruppe. Rechenregeln für x, y R n und a, b R a (b x = (a b x (Assoziativgesetz, (a + b x = a x + b x und a (x + y = a x + a y (Distributivgesetze, 0 x = a 0 = 0 und x = x, x y = x + ( y. vektoren.pdf, Seite 8

9 Norm eines Vektors = Länge des Pfeils Im R : ( x = x x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x = x + x x n. Beispiele ( =, ( 3 4 = 5, = 3, 3 4 = 30. vektoren.pdf, Seite 9

10 Eigenschaften der Norm Für x, y R n und a R gilt 0 = 0 und x > 0, falls x 0 (Positivität, a x = a x (Homogenität, x + y x + y (Dreiecksungleichung Einheitsvektor = Vektor mit Norm Ist x 0 beliebig, so ist Beispiele für Einheitsvektoren 0, 0 /3 = /3, 3 /3 x = x ein Einheitsvektor. x x ( Spezielle Einheitsvektoren im R 3 sind: und e = (; 0; 0, e = (0; ; 0, e 3 = (0; 0;, analog im R n. vektoren.pdf, Seite 0

11 Das Skalarprodukt im R n ordnet zwei Vektoren x, y R n einen Skalar x, y R zu: x, y = x y = n i= x i y i = x y + x y x n y n R ( ( 3 Beispiel:, = = = 4 vektoren.pdf, Seite

12 Eigenschaften des Skalarprodukts x, x = x x = x 0 bzw. n x = x, x, y, x = x, y (Symmetrie, a x, y = a x, y für Skalare a R und x + z, y = x, y + z, y sowie x, y + z = x, y + x, z für x, y, z R n (Bilinearität, x, y = x y cos (x, y, wobei (x, y für den Winkel zwischen x und y und cos für die Cosinusfunktion steht, insbesondere x y (x senkrecht y x, y = 0 und x, y x y (CauchySchwarzUngleichung vektoren.pdf, Seite

13 Beispiel x = 0, y =, z = Es ist x = 6, y = 5, z = 4 3 und x, y = ( = 3, x, z = sowie y, z = 0. Aus der Bilinearität folgt z. B. x, y + z =, 3 3 = x, y + x, z = 3 =. Da y, z = 0, stehen y und z senkrecht aufeinander. Für den Winkel α zwischen x und y gilt cos α = x, y x y = = 0, 3 0, 5477 α = arccos 0, 5477 = 56, 8 o = 0, 99 rad, wobei arccos (Arcuscosinus die Umkehrfunktion des Cosinus bezeichnet. vektoren.pdf, Seite 3

14 Geometrische Anwendungen Beispiel: Dreieck im R mit den Eckpunkten A = ( ;, B = (; 3 und C = (; 0. Die Seite AB wird durch den Vektor x = B A = (3; beschrieben und hat die Länge x = 3. AC wird durch y = (3; beschrieben und hat die Länge y = 0. Der Winkel α zwischen diesen beiden Seiten kann berechnet werden durch x, y = x y cos α cos α = x, y x y = , 64 α 5, o = 0, 9 rad vektoren.pdf, Seite 4

15 Parameterdarstellung von Geraden im R und R 3 Zu Vektoren x und v ist die Menge aller Punkte x + t v mit t R eine Gerade. Jede Gerade g lässt sich so darstellen, wobei x der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf g ist und der Richtungsvektor v zwei Punkte auf g verbindet. Diese Parameterdarstellung ist nicht eindeutig. vektoren.pdf, Seite 5

16 Beispiel Gerade g durch die Punkte (; und ( ; im R. Als Ortsvektor kann x = ( ; gewählt werden, als Richtungvektor ( ( ( v = =, also ist g = { ( + t ( } : t R = eine Parameterdarstellung der Geraden. ( + R (. vektoren.pdf, Seite 6

17 Gerade g = x + R v vektoren.pdf, Seite 7

18 Anwendung der Parameterdarstellung Berechnung von Schnittpunkten, Schnittwinkeln, Projektionen etc. Im Beispiel muss für den Schnittpunkt von g mit der x Achse gelten: ( ( ( ( x 0 = + t Aus der Gleichung für die x Koordinate folgt = 0 = + t t =. + t + t Eingesetzt in die Gleichung für die x Koordinate ergibt sich nun x = + ( = 3, ( 3 d. h. g schneidet die. Koordinatenachse im Punkt. 0 vektoren.pdf, Seite 8

19 Beispiel: Schnittwinkel zweier Geraden Seien A = (; ;, B = (; ; 3 und C = (0; ; R 3. Die Gerade g durch A und B hat die Parameterdarstellung g = {(; ; +t (; ; : t R} = (; ; +R (; ;, h = (; ; + R ( ; 3; 0 stellt die Gerade durch A und C dar. Der Schnittwinkel α der beiden Geraden ist der Winkel zwischen den Richtungsvektoren wird bestimmt durch: cos α = (; ;, ( ; 3; 0 (; ; ( ; 3; 0 = 5 60 α = 49, 8 o vektoren.pdf, Seite 9

20 Bemerkung Beim Schnitt zweier Geraden tritt neben dem Winkel α auch immer der Supplementwinkel β = 80 o α auf, wobei gilt cos β = cos α. Der Winkel zwischen zwei Richtungsvektoren ist je nach Wahl der Richtungsvektoren entweder α oder β. Standardmäÿig wird der kleinere der beiden Winkel als Schnittwinkel der Geraden deniert. Diesen erhält man für beliebige Richtunsvektoren v und w durch cos α = v,w v w. vektoren.pdf, Seite 0

21 Orthogonale Projektion Zu Vektoren x, v R n mit v 0 deniert man die orthogonale Projektion von x in Richtung von v durch Beispiel Mit x = ( 4 und v = π v (x = x = v, v = + = und somit π v (x = 3 v = 3 = Spezialfall ( x, v v, v v ( ist x, v = 4 = 3 und (, 5, 5 Ist e ein Einheitsvektor (d. h. e =, so ist π e (x = x, e e vektoren.pdf, Seite

22 Eigenschaften der orthogonalen Projektion Ist x, v > 0, so zeigt der Vektor x = π v (x in Richtung von v, seine Länge ist π v (x = x,v v = x cos α, wobei α der Winkel zwischen x und v ist. Ist x, v < 0, so zeigt π v (x in die entgegengesetzte Richtung von v, die Länge ist ebenfalls x cos α. Ist x, v = 0, d. h. x und v stehen senkrecht aufeinander, so ist π v (x = 0 der Nullvektor. Insbesondere hängt π v (x nur von der Richtung, nicht jedoch von der Länge von v ab. vektoren.pdf, Seite

23 Orthogonale Zerlegung Ist x = π v (x, so steht der Vektor x = x x senkrecht auf v und damit auch auf x, d. h. man hat eine Zerlegung x = x + x, wobei x ein skalares Vielfaches von v ist und x senkrecht auf v steht. Beispiel x = ( 4 und v = ( (, 5 Mit x = folgt x, 5 = x x = (, 5., 5 vektoren.pdf, Seite 3

24 Anwendung: Abstand PunktGerade Die kürzeste Verbindung zwischen einem Punkt A R n und einer Gerade g = x + R v ist ist durch einen Vektor y gegeben, der A mit g verbindet und der senkrecht auf g steht. Man erhält y, indem man zu einem beliebigen Verbindungsvektor y, z. B. y = x A, den auf dem Richtungsvektor v der Geraden senkrechten Anteil y = y π v (y bestimmt. vektoren.pdf, Seite 4

25 Beispiel Abstand des Punktes A = ( ( Punkte und g = ( π (; (y = y = + R ( ( 3 ( ( 3 ( zur Geraden g durch die 3. Man erhält, y =,, ( ( ( 3, =, 6 ( A = ( = 8 5 ( 0,. 0, 4 Der Abstand zwischen Punkt und Gerade ist y = 0, 0, 45. ( 3, ( = ( 3,, 6 vektoren.pdf, Seite 5