Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben. Mathe ist wie Liebe: Eine einfache Idee, aber sie kann kompliziert werden.

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1 TO Rechenmethoden Wise Jan von Delft Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben. Galileo Galilei Das Wunder der Anwendbarkeit der Sprache der Mathematik für die Formulierung physikalischer Gesetze ist ein Geschenk, das wir weder verstehen noch verdienen." Eugene Wigner Mathe ist wie Liebe: Eine einfache Idee, aber sie kann kompliziert werden. R. Drabek Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr. A. Einstein Euklid Decartes Newton Leibniz Taylor Gauss Fourier Cauchy Wozu "Rechenmethoden"? Mathematik-Vorlesungen: Systematische Entwicklung der Grundlagen, saubere Beweise,... (gründlich aber langsam) Rechenmethoden-Vorlesung: zügiges, anwendungsbezogenes Erlernen des "Handwerks": Sicherheit, Geläufigkeit und Schnelligkeit im Umgang mit Standardrechenmethoden (intuitive Argumente statt saubere Beweise) - Regelmäßige Nachbearbeitung der Vorlesung - Besuch und aktive Mitarbeit in den Tutorien - Hausaufgaben: sehr wichtig! Abschreiben = Selbstbetrug! - Hinweise zur Bearbeitung der Hausaufgaben (nach Prof. Wagner) beachten! - Diskutieren mit Kommilitonen, Lerngruppe, Hausaufgabenzirkel - Geduld, Ausdauer, Frustrationstoleranz Vorlesung: Di+Do, Zentralübung: Do Links: Vorlesungseite: Übungsbetrieb: Hinweise zur Bearbeitung der Übungsblätter, nach Prof. Wagner

2 Vektorrechnung Physikalische Größen lassen sich einteilen in: 1) Skalare: vollständig bestimmt durch Angabe einer Beispiele: 2) Vektoren: vollständig bestimmt durch Angabe einer und einer Beispiele: Übliche Notationen: (fett gedruckt) Beispiele: i) Mondbahn: ii) Wasserstrudel: Geschwindigkeitsfeld: (Geschw. ist Funktion vom Ort) Allgemein:

3 I. Vektoren im drei-dimensionalen Euklidischen Raum - Zusammenfassung v. Schulwissen - Geometrische Anschauung - Mathematische Abstraktion Aus der Schule bekannt: Daumen Mittelfinger Zeigefinger Decartes Euklid 360 v. Chr. bis ca. 280 v. Chr "rechtshändiges Koordinatensystem" Koordinatensystem: "Komponenten" oder Vektoralgebra: Grundlegende Operationen 1. Vektoraddition "komponentweises Addieren" Verknüpfung: Beispiel: "+" hat hier zwei unterschiedliche Bedeutungen (Überladung der Notation): je nach Kontext: Addition reeller Zahlen: Addition von Vektoren: Eigenschaften und Folgerungen: 1.i) Kommutativgesetz: (vererbt aus Kommutativität der Addition reeller Zahlen)

4 1.ii) Assoziativgesetz: Vereinfachung der Notation: Weglassen der Klammern: 1.iv) Negatives Element: (oder "inverses Element" der Addition) (vererbt aus Assoziativität der Addition reeller Zahlen) 1.iii) "Nullvektor": es existiert ein neutrales Element (oder "Einheitselement") der Addition Für jeden Vektor existiert ein Vektor mit Kurznotation: Eindeutige Lösung: (Überladung von "-", suggestive Notation) 2. Skalare Multiplikation: "Strecken der Komponenten" Verknüpfung: Beispiel: Eigenschaften und Folgerungen: 2.i) Spezialfälle 1 ist neutrales Element der Skalarmultiplikation liefert inverses Element liefert Nullvektor

5 Verträglichkeitsgesetze Seien Skalare 2.ii) Distributivität bzgl. Skalar-Addition: 2.iii) Distributivität bzgl. Vektor-Addition: (erlaubt Vereinfachung v. Notation) Vektoren Beispiele: 2.iv) Assoziativität bzgl. Skalarmultiplikation: 3. Geometrische Anschauung: bezüglich derselbe Vektor Koordinaten sind abhängig von der Wahl des Koordinatensystems bezüglich Ein Vektor ist eine geometrische Größe, unabhängig vom Koordinatensystem: Deswegen ist eine geometrische (Koordinaten-unabhängige) Interpretation der Vektoraddition und Skalarmultiplikation wünschenswert (und grundlegender).

6 Vektorbegriff 3.i) Vektor hat Betrag (Länge) (aus geometrischer Anschauung) und Richtung: Definition: zwei gleich lange und gleich gerichtete Vektoren sind gleich. (müssen nicht unbedingt denselben Ausgangspunkt haben) Einheitsvektor: (Länge = 1) Antiparalleler Vektor: ist antiparallel zu 3.ii) Vektoraddition: (z.b. von Kräften) ein Vektor Verknüpfung "+" ist "geometrisch" festgelegt: ("+" hat andere Bedeutung als für Zahlen) Rechenregeln: Kommutativität: Assoziativität:

7 Vektorsubtraktion: Nullvektor: oder: (einziger Vektor ohne definierte Richtung) Für alle Vektoren gilt: 3.iii) Multiplikation mit einer Zahl: ein Vektor (parallel zu ) Also: Betrag: Richtung: Spezialfälle:

8 Rechenregeln: Distributivität bzgl. Skalaraddition: Distributivität bzgl. Vektoraddition: Assoziativität: Einheitsvektor: gegeben sei mit Betrag 4. Mathematische Formalisierung Lineare Algebra abstrahiert/formalisiert den Begriff des Vektors: obige Vektoreigenschaften werden als Axiome (= "definierende Eigenschaften") aufgefasst. Definition: Ein Vektorraum über ein "Feld" F ist eine Menge V von Elementen, ausgestattet mit zwei binären Verknüpfungsregeln, die die 8 Axiome der Vektoraddition und Skalarmultiplikation erfüllen. Elemente von V heissen "Vektoren". Elemente von F heissen "Skalare". Vektoraddition: i) Kommutativiät: ii) Assoziativität: iii) Neutrales Element: (Nullvektor) iv) Inverses Element:

9 Skalare Multiplikation: v) Distributivität bzgl. Skalar-Addition: vi) Distributivität bzgl. Vektor-Addition: vii) Assoziativität bzgl. Skalarmultiplikation: viii) Identitätselement der Skalarmultiplikation: Beispiele: n-komponenten Nullvektor reelle Zahlen ganze Zahlen komponenten weise Addition rationale Zahlen komplexe Ebene Weitere Beispiele von Vektorräumen (Zukunftsmusik): - (Ort,Impuls) im klassischen Phasenraum (T1: Klassischen Mechanik) - Zustandsvektoren in der Quantenmechanik (T2: Quantenmechanik) - Matrizen (P1: Experimentalphysik, T2: Quantenmechanik) - Elektrische und Magnetische Felder (T3: Elektrodynamik) - Quantenfelder (T6: Quantenfeldtheorie)

10 Eine weitere mathematische Abstraktion (noch elementarer als Vektorraum): Definition: Eine "Gruppe" ist eine Menge G ausgestattet mit einer binären Verknüpfung, und folgenden Eigenschaften: i) assoziativ: ii) neutrales Element: iii) inverses Element: Beispiele: - Ganze Zahlen, mitaddition, bilden eine "kommutative" Gruppe - Ortsvektoren, mit Vektoraddition, bilden eine "kommutative" Gruppe - Ortsvektoren, mit Rotationen, bilden eine "nicht-kommutative" Gruppe II. Euklidische Geometrie: Längen, Winkel, senkrechte Vektoren... (benötigt neue Struktur über Vektorraumaxiome hinaus) - Zusammenfassung v. Schulwissen - Geometrische Anschauung - Mathematische Abstraktion 1. Skalarprodukt (inneres Produkt) (aus der Schule bekannt) Verknüpfung: Alternative Notation: "bra-ket" = "Klam-mer" Darstellung über Summe:

11 Eigenschaften des Skalarprodukts: (i) Kommutativität: (ii) Distributivität bzgl. Vektoraddition: (iii) Bilinearität: Vektoren Skalare (vereinfacht Notation) (verträglich mit Vektoraddition, linear, distributiv) (iv) Positivität: Definitionen und Folgerungen: (v) Notation: Definition: heißt Betrag oder Norm oder Länge von Einheitsvektor: Normiert: und parallel zu

12 (vi) Senkrechte oder "orthogonale" Vektoren: Definition: "a orthogonal zu b" Folgerungen: (vii) Cauchy-Schwarz-Ungleichung (CSU): Beweis: wähle Skalare (viii) Definition: Relativwinkel: ( wegen CSU, 21.4) wohldefiniert wegen CSU falls (ix) Geometrische Interpretation: Zerlegung von in Komponenten Interpretation Skalarprodukt: (analog) Produkt aus (Länge d. ersten Vektors) mit (Projektion d. zweiten auf Richtung d. ersten). Zerlegung (4) explizit:

13 (x) Geometrische Interpretation der Distributivität (ii) des Skalarprodukts Projektion von (b+c) auf a (xi) Dreiecksungleichung: Projektion von b auf a Projektion von c auf a (Alle andere Eigenschaften des Skalarprodukts haben ebenfalls eine Geom. Int.) Beweis: (Vorzeichen von b ist egal: Zusammenfassung: Skalarprodukte erlauben es Winkel und Längen zu messen Euklidische Geometrie Abstraktion: der Begriff "Skalarprodukt" ist definiert durch die Eigenschaften (i) Kommutativität, (ii) Distributivität, (iii) Bilinearität, (iv) Positivität (Seite 19) Ein reeller Vektorraum, ausgestattet mit einem Skalarprodukt, wird als "euklidischer Raum" bezeichnet. heißt euklidischer Raum

14 Elementare Vektorrechnung Verallgemeinerung auf - Addition komponentenweise: - Skalare Multiplikation komponentenweise: Vektorraumaxiome sind erfüllt Standardbasis (kanonische Basis) von Einheitsvektoren: Verallgemeinerung von Darstellung eines beliebigen Vektors "Erzeugendensystem" Definition: lineare Unabhängigkeit (dient der Verallgemeinerung des Begriffs einer Basis) geometrische Anschauung Die Menge der Vektoren heißt "linear unabhängig", falls alle, und aus folgt dass

15 - linear unabhängige Vektoren kann man nicht durcheinander ausdrücken - Vereinigung von linear unabh. Vektoren sind im Allgemeinen nicht linear unabh. Beispiel: aber sind linear unabhängig, sind linear abhängig, da sind linear unabhängig, sind linear unabhängig, Defintion: "Basis" eines (endlich dimensionalen) Vektorraums ist ein Satz von linear unabhängigen Vektoren so dass jeder Vektor dargestellt werden kann als Linearkombination von Basisvektoren: (minimales Erzeugendensystem) Man kann zeigen: - alle Basen bestehen aus gleich vielen Vektoren - alle Basen lassen sich durch einander ausdrücken ("Basistransformation") Definition: "Dimension" eines Vektorraums ist die "Kardinalität" (Anzahl Basisvektoren) seiner Basis Beispiel: Standardbasis - alle endlich dimensionalen reellen Vektorräume sind nach Wahl einer Basis äquivalent zu