L5 Matrizen I. Matrix: (Plural: Matrizen)
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- Chantal Rothbauer
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1 L5 Matrizen I Matrix: (Plural: Matrizen) Vielfältige Anwendungen in der Physik: - Lösung von linearen Gleichungsystemen - Beschreibung von Drehungen - Beschreibung von Lorenz-Transformationen (spezielle Relativitätstheorie) - Lösung von linearen Differenzialgleichungen (nach Fouriertransformation) - Bestimmung der Normalmoden von gekoppelten harmonischen Oszillatoren - Bestimmung der Eigenzuständen und Eigenenergien eines Quantensystems - Dirac-Gleichung (relativistische Version der Schrödingergleichung) Für gründliche Einführung: siehe lineare Algebra Vorlesung L5.1 Lineare Abbildungen und Matrizen (allgemeinere Körper auch möglich, insbesondere Def: und seien zwei- Vektorräume, mit Dimension bzw. ist eine 'lineare Abbildung', falls Kompaktnotation verzichtet auf ( )-Klammern Körper Lin. Abb. ist ein Homomorphismus: sie 'respektiert' die Vektorraumstruktur v. V und W: erst addieren/strecken, dann abbilden = erst abbilden, dann addieren/strecken Alltagsbeispiele: Foto einer Person ist eine lineare Abbildung von Foto einer Buchseite ist eine lineare Abbildung von Im Folgenden betrachten wir zunächst die Standardvektorräume
2 n = 1, m = 1: Kompaktnotation (nur für lineare Abbildungen): verzichte auf ( )-Klammern Beispiel: dann: wie in (b.2) gefordert Essentielle Eigenschaft v. A: linear in x: d.h. keine Konstante: und keine Potenzen: Konstante zerstört Linearität: dann: dann wäre (b.2) nicht erfüllt wie in (b.2) gefordert n = 2, m = 1: n = 2, m = 2: Beispiel: Rotation in 2 Dimensionen Allgemein: n, m beliebig: mit Einstein-Notation:
3 L5.2 Matrizen 'm x n Matrix' ist rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten, 'Matrixelement': Reihenindex (links oben): Spaltenindex (rechts unten): Spalte j: ist ein 'Spaltenvektor', mit Komponenten Reihe i: ist ein 'Reihenvektor', mit Komponenten 'Quadratische Matrix' falls Notationskonventionen: oft auch mit beiden Indizes unten, oder oben: Multiplikation: Matrix mal Spaltenvektor Spaltenvektor mit n Komponenten ist nx1 Matrix. per Definition Kompaktnotation: Beispiele:
4 Einschub: Matrizen bilden einen Vektorraum Menge aller mxn Matrizen, ist ein Vektorraum: (i) Matrixaddition: (elementenweise Addition) Explizit: (m = n = 2) Beispiel: Neutrales Element der Matrixaddition: "Nullmatrix" : (bestehend aus lauter Nulleinträgen) Negatives Element ( = inverses Element der Addition): Lösung Matrix bestehend aus den negativen Matrixelementen Matrixaddition ist assoziativ: und kommutativ: (ii) Skalarmultiplikation: (elementenweise Multiplikation) Explizit: (m = n = 2) Beispiel: mit Matrixaddition und skalarer Multiplikation gestattet, ist ein -dimensionaler (reeller) Vektorraum [äquivalent zu ]
5 Wirkung einer linearen Abbildung auf Standardbasis Standardbasis in Position von insgesamt Standardbasis in Was ist das Bild eines Standardbasisvektors für Abbildung A? Position von insgesamt Position j: Spalte j der Matrix Fazit: für lineare Abbildung, dargestellt durch liefert Spalte j der Matrix das Bild des Basisvektors L5.3 Matrixmultiplikation: Verknüpfung v. zwei linearen Abbildungen Kompaktnotation: mit
6 Matrixmultiplikation: (zusätzliche Struktur zu der des Vektorraums) mit (5e.3,4) Explizit: Zeilen, Spalten Skalarprodukt von "Zeile k von B" und "Spalte j von A" Nur definiert falls (# Spalten v. B) = (# Zeilen v. A). Zeilen, Spalten Zeilen, Spalten Zeilenvektor von B Spaltenvektor von A Beispiel: l = 3, m = 2, n = 2 Eigenschaften der Matrixmultiplikation: 1) nicht kommutativ: (sogar gar nicht definiert, falls Dimensionen nicht passen!) Beispiel: (für m = n = p = 2) verschieden! verschieden!
7 2) assoziativ (falls definiert) Beweis: denn skalare Addition ist assoziativ Beispiel: (m = n = p = 2) Assoziativität gnadenlos explizit, für m = n = p = 2: genau die gleichen Terme kommen vor (nur in unterschiedlicher Reihenfolge)
8 3. distributiv Beweis: ebenso: 4. Beweis: 5. Falls Quadratische Matrizen sind "abgeschlossen" unter Matrixmultiplikation. 6. Neutrales Element der Matrixmultiplikation: "Einheitsmatrix (engl: identity)": (für m = n) (Einser auf der Diagonalen, ansonsten Nullen) denn: Explizit: (n=3) Quadratische Matrizen bilden eine 'Algebra': das ist ein Vektorraum mit zusätzlicher Multiplikation mit Verträglichkeitsbedingungen (assoziativ, distributiv), und Einselement.
9 Zusammenfassung: L Lineare Abbildungen und Matrizen ist 'lineare Abbildung', falls Für hat eine lineare Abbildung die Form: mit m x n Matrix: Spalte j: Reihe i: Abbildung der Standardbasis: = Spalte j Reelle (mxn)-matrizen bilden dim. Vektorraum, mit Matrixaddition, (elementenweise) und Skalarmultiplikation, (elementenweise) Verknüpfung von zwei linearen Abbildungen Matrixmultiplikation (5e.3,4) (Zeile k von B) (Spalte j von A) Matrixmultiplikation ist assoziativ & distributiv, aber nicht kommutativ!
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