Lineare Algebra (Teil 1) (LinAlg_1.mw)

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1 Lineare Algebra (Teil 1) (LinAlg_1.mw) Neue MAPLE-Befehle: Vector, DotProduct, CrossProduct, Norm, Matrix, Row, Column, Transpose, Rank, Basis, Determinant, MatrixInverse, Eigenvalues, Eigenvectors. Wir benoetigen fuer dieses Kapitel das package LinearAlgebra. Mit with(linearalgebra); koennen Sie sich ueber die darin enthaltenen MAPLE-Befehle informieren! Vektorrechnung Erzeugung eines Spalten-Vektors v_s bzw. eines Zeilen-Vektors v_z: restart: with(linearalgebra): v_s:=vector( [a1, a2, a3] ); # Spalten-Vektor (1.1.1) v_z:=vector[row]( [b1,b2, b3] ); # Zeilen-Vektor whattype(v_s), whattype(v_z); (1.1.2) (1.1.3) Umwandlung eines Zeilenvektors v_z in einen Spaltenvektor v_s - und umgekehrt mit Transpose(v). Transpose(v_s); Transpose(v_z); (1.1.4)

2 (1.1.4) Zugriff auf Vektorkomponenten (analog wie bei Listen): v:=vector( [-2, 0, 8] ); (1.1.5) v[1], v[2], v[3]; (1.1.6) Umwandlung einer Liste L in einen Spaltenvektor v und umgekehrt mit convert(l, Vector) bzw. convert(v, list). Man beachte hierbei die Gross- und Kleinschreibung in Vector und list! L:=[-1, 2, 4]; # Liste v:=convert( L, Vector); (1.1.7) (1.1.8) Beispiel: interface( imaginaryunit = j ): convert(v, list); Die Addition von Vektoren und die Multiplikation eines Vektors mit einer komplexen Zahl Letztere erfolgt mit dem *-Operator. Hinweis: Spaltenvektoren (bzw. Zeilenvektoren) koennen nur addiert werden, wenn sie die gleiche Anzahl an Komponenten enthalten. v1:=vector( [j, -2, 1] ); v2:=vector( [3*j, -4, 2] ) ; (1.1.9)

3 (1.2.1) v3:=3*v1-2*v2; (1.2.2) Skalarprodukt zweier Vektoren: DotProduct(Vektor_1, Vektor_2) Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist ein Skalar (d.h. eine Zahl) und nur definiert, wenn beide Vektoren gleich viele Komponenten haben. Zur Berechnung des Skalarprodukts (v1 v2) wird die Summe der Produkte der Vektorkomponenten gebildet - jedoch werden bei Spaltenvektoren vorher die Komponenten des ersten Vektors komplexkonjugiert, bei Zeilenvektoren vorher die Komponenten des zweiten Vektors komplexkonjugiert. Mit der Option 'conjugate=false' kann man diese Konjugiert-komplex-Bildung verhindern. Die Konjugiert-Komplex-Bildung bleibt ohne Wirkung, wenn nur reelle Vektorkomponenten auftreten. Beispiel mit obigen Vektoren v1, v2: v1, v2; (1.3.1) a:= DotProduct(v1, v2); # a = b:= DotProduct(v1, v2, conjugate=false); # b = (1.3.2)

4 Betrag eines Vektors, Winkel zwischen zwei Vektoren Der MAPLE-Befehl Norm berechnet die Normen eines Vektors v. Speziell mit Norm(v, 2) erhaelt man den 'Betrag des Vektors v' (= Quadratwurzel aus dem Skalarprodukt v*v). Dabei gilt fuer die Kongugiertkomplex-Bildung wieder das oben Gesagte. Beispiel: v:=vector( [ 2*j, -1, 4 ] ); (1.3.3) (1.4.1) DotProduct(v, v); 21 Norm(v, 2); # Wurzel aus DotProduct(v, v) 21 Rechnung mit 'conjugate = false': DotProduct(v, v, conjugate=false); 13 Norm(v, 2, conjugate=false ); 13 (1.4.2) (1.4.3) (1.4.4) (1.4.5) Der Winkel zwischen zwei Vektoren v1 und v2 - mit gleicher Anzahl von reellen Komponenten - wird mit dem MAPLE-Befehl VectorAngle( v1, v2) berechnet. v1:=vector( [1, -2, 0] ): v2:=vector( [-1, 1, 1] ): alpha:=vectorangle( v1, v2); (1.4.6) Umwandlung in Grad: alpha:=evalf(convert( alpha, degrees), 4); (1.4.7) Das Vektorprodukt zweier Vektoren v1 und v2 (mit je 3 reellen Komponenten) ist ein Vektor und wird mit CrossProduct(v1, v2) berechnet.

5 restart: with(linearalgebra): v1:=vector( [ a[1],a[2],a[3] ] ): v2:=vector( [ b[1],b[2],b[3] ] ): CrossProduct(v1, v2); (1.5.1) CrossProduct liefert einen Zeilenvektor (bzw. Spaltenvektor), wenn beide Vektoren Zeilenvektoren (bzw. Spaltenvektoren) sind. Differenzieren und integrieren von Vektorfunktionen Eine Vektorfunktion ist ein Vektor, dessen Komponenten Funktionen von einer oder mehreren Variablen sind, z.b. F:=Vector( [sin(t), cos(t), t^2]); (1.6.1) Die Vektorfunktion wird differenziert bzw. integriert, indem die einzelnen Komponenten differenziert bzw. integriert werden. Das Ergebnis ist wieder eine Vektorfunktion. Diff('F',t)=map(diff, F, t); (1.6.2) Int('F',t)=map(int, F, t); (1.6.3)

6 Matrizenrechnung Die Erzeugung einer Matrix A erfolgt mit einer Liste von Zeilen-Listen: restart: with(linearalgebra): A:=Matrix( [ [1,-3,-2, 9], [0, 3, 4,-2], [1, -1, 1, -5] ]); (2.1.1) Die Zeilen der Matrix werden von oben nach unten, die Spalten von links nach rechts durchnumeriert. Jedes Matrixelement hat somit zwei Indizes: (Zeilennummer, Spaltennummer). Bei einer quadratischen Matrix wird die von links oben nach rechts unten verlaufende Diagonale als 'Haupt-Diagonale' bezeichnet. Sie enthaelt die Elemente a11, a22, a33,... Zugriff auf Matrixelemente, Zeilen, Spalten, Untermatrizen (wichtig fuer grosse Matrizen!): A[2,3]; # Element in der 2.Zeile, 3. Spalte 4 Row( A, 1); # 1.Zeile in A Column(A, 3); # 3. Spalte in A (2.1.2) (2.1.3) (2.1.4) AU:=SubMatrix(A, 2..3, 3..4); # Untermatrix (2.1.5) Erzeugung spezieller Matrizentypen: a) Null-Matrix mit m Zeilen, n Spalten: Matrix(m, n) N:=Matrix( 3,5 ); # mit 3 Zeilen und 5 Spalten

7 (2.1.6) Man kann anschliessend Nullen durch andere Zahlen ersetzen: N[1,1]:=8.14: N[2,4]:=7.5: N[3,2]:=-2.8: N; (2.1.7) b) Diagonal-Matrix (= quadratische Matrix, hat nur Nullen ausserhalb der Haupt- Diagonalen): DiagonalMatrix( [a11, a22,...] ) Dia_1:=DiagonalMatrix( [4, 2, 1] ); # Diag.elemente 4,2,1 (2.1.8) Mit obigem Befehl koennen auch Matrizen erzeugt werden, die Untermatrizen in der Haupt-Diagonale haben: Dia_2:=DiagonalMatrix( [ 1, A[2,3], AU, 7] ); (2.1.9) Speziell: Einheits-Matrix (Diagonalmatrix mit Einsen in der Hauptdiagonale): IdentityMarix(n) E:=IdentityMatrix(3);

8 (2.1.10) Transponieren und Rang einer Matrix A, Basisvektoren: mit Transpose(A), Rank(A), Basis(...) Transponieren bewirkt: Die 'Transponierte Matrix AT' einer Matrix A entsteht, indem man jeweils die in der k-ten Zeile stehenden Elemente von A in die k-te Spalte der Matrix AT schreibt (fuer k=1, 2,...). Rang(A) = r bedeutet a) die 'Dimension des Vektorraums, den die Spaltenvektoren von A aufspannen' b) Die n Spaltenvektoren (bzw. Zeilenvektoren) der Matrix A sind linear unabhaengig, wenn r = n ist, linear abhaengig, wenn r < n ist. Analoges gilt fuer die Zeilenvektoren (anstelle der Spaltenvektoren). Beispiel: AT:=Transpose(A): A, AT; (2.2.1) r:=rank(a); (2.2.2) Die n=4 Spaltenvektoren der Matrix A sind somit 'linear abhaengig', da r<n ist. Der Maple-Befehl Basis( [ a[1], a[2],..., a[n] ] ); liefert zu den Vektoren [ a[1], a[2],..., a[n] eine maximale Liste linear unabhaengiger Basisvektoren, welche den gleichen Vektorraum aufspannen wie a[1], a[2],..., a[n]. Beispiel: restart: with(linearalgebra): a[1]:=vector( [2,0,-1] ):

9 a[2]:=vector( [1,1,4] ): a[3]:=vector( [0,-2,-9] ): a[4]:=vector( [7,1,1] ): a[1], a[2], a[3], a[4]; (2.2.3) Basis( [a[1],a[2],a[3],a[4]] ); (2.2.4) Ergebnis: Die 4 Vektoren a[1],..., a[4] sind linear abhaengig und spannen einen 2- dimensionalen Vektorraum auf, d.h. jeder der 4 Vektoren a[k] kann als Linearkombination der 2 Basisvektoren dargestellt werden. Als Ergaenzung hierzu bilden wir eine Matrix, bestehend aus den 4 Spaltenvektoren a1,..., a4, und berechnen dann den Rang dieser Matrix (der dann auch r=2 sein muss). 1. Schritt: Umwandlung der Spaltenvektoren a[k] in Spaltenmatrizen m[k] m[1]:=convert(a[1], Matrix); m[2]:=convert(a[2], Matrix); m[3]:=convert(a[3], Matrix); m[4]:=convert(a[4], Matrix);

10 (2.2.5) 2. Schritt: Erzeugung einer Nullmatrix B passender Gröesse: B:=Matrix(3,4); (2.2.6) 3. Schritt: Auffuellen der Matrix B mit den Spaltenmatrizen m[k] B[1..3, 1..1] := m[1]:# 1. Spalte B[1..3, 2..2] := m[2]:# 2. Spalte B[1..3, 3..3] := m[3]:# 3. Spalte B[1..3, 4..4] := m[4]:# 4. Spalte B; (2.2.7) 4. Schritt: Berechnung des Rangs von B: Rank(B); 2 (2.2.8) Elementare Rechenoperationen mit Matrizen a) Das addieren von typgleichen Matrizen und Multiplikation mit Zahlenfaktoren erfolgt analog wie bei Vektoren. Hinweis: Zwei Matrizen koennen nur dann addiert (oder subtrahiert) werden, wenn ihre Zeilenzahl uebereinstimmt und wenn ihre Spaltenzahl uebereinstimmt.

11 B:=Matrix( [ [1, 4], [-2, 2] ] ); (2.3.1) E:=IdentityMatrix(2); (2.3.2) C:=B + 2 * E; (2.3.3) b) Die Matrizen-Multiplikation: Fuer die Matrizen-Multiplikation muss der Punktoperator. verwendet werden (also nicht *). Hinweis: Das Produkt A.B zweier Matrizen existiert nur, wenn die Spaltenzahl der linken Matrix gleich der Zeilenzahl der rechten Matrix ist. In A.B muss deshalb die Reihenfolge der Faktoren A und B beachtet werden! A.B = B.A gilt somit nicht allgemein!!! Beispiel: Transpose(B).C; (2.3.4) C.Transpose(B); (2.3.5) Die Multiplikation von Matrizen mit Vektoren (erfolgt wie bei der Matrizen- Multiplikation) Beispiel: v:=vector( [-2,4,0] );

12 (2.3.6) G:=Matrix( [ [1, 4,0], [-2, 1, 2] ] ); (2.3.7) G.v; (2.3.8) Die Determinante einer quadratischen Matrix A: Determinant(A) Die Determinante einer Matrix A ist nur definiert, wenn A quadratisch ist. det(a) ist eine Funktion aller Elemente von A (- Math.-Vorlesung). A:=Matrix( [ [3, 1, 1], [1, 3, -1], [0,0, 4]]); (2.4.1) Determinant(A); 32 (2.4.2) Die Inverse einer regulaeren Matrix A: MatrixInverse(A) Nur eine regulaere Matrix A, d.h. 'A ist quadratisch' und 'det(a) ungleich Null' besitzt eine 'inverse Matrix', die sog. 'Inverse von A'. Das Produkt einer regulaeren Matrix mit ihrer Inversen ergibt stets eine Einheitsmatrix. A1:=MatrixInverse(A); (2.5.1)

13 Probe: A.A1, A1.A; # Die Faktoren koennen hier vertauscht werden! (2.5.2) Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix A Definition: Fuer eine quadratische Matrix A und einen Vektor v gelte: A v = k v. Dann heisst v 'Eigenvektor von A zum Eigenwert k'. a) Berechnung der Eigenwerte einer Matrix C: Eigenvalues(C, output=list): restart: with(linearalgebra): C:=Matrix( [ [3, 1, 1], [1, 3, -1], [0,0, 4]]); (2.6.1) Eigenvalues(C, output=list); # Liste der Eigenwerte von C (2.6.2) whattype(%); list (2.6.3) b) Berechnung der Eigenvektoren einer Matrix C zusammen mit ihren Eigenwerten und deren Vielfachheit: Eigenvectors(C, output=list): E:=Eigenvectors(C, output=list); (2.6.4) Der Befehl Eigenvectors(A, output=list) liefert eine Liste von Listen. Jede Teilliste enthaelt [Eigenwert, seine Vielfachheit, Menge der zugehoerigen linear unabhaengigen

14 Eigenvektoren]. Also gilt im obigen Beispiel: Eigenwert 4, zweifach, dazu 2 linear unabhaengige Eigenvektoren. Eigenwert 2, 1-fach, dazu ein Eigenvektor, Wir betrachten die Listenelemente von E einzeln: E[1]; (2.6.5) E[2]; (2.6.6) E[1,3], E[2,3] ; # Mengen! (2.6.7) whattype(%[1]), whattype(%[2]); (2.6.8) Falls Mengen (sets) auftreten, koennen diese mit op(...) in einen Spaltenvektor umgewandelt werden. a:=op(e[1,3]); b:=op(e[2,3]); (2.6.9) whattype(a[1]); whattype(a[2]); whattype(b);

15 Vector Vector Vector (2.6.10) Zusammenstellung der 3 Eigenvektoren: a, b; (2.6.11)