L5 Matrizen I: Allgemeine Theorie

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1 L5 Matrizen I: Allgemeine Theorie Matrix: (Plural: Matrizen) Vielfältige Anwendungen in der Physik: - Lösung von linearen Gleichungsystemen - Beschreibung von Drehungen - Beschreibung von Lorenz-Transformationen (spezielle Relativitätstheorie) - Lösung von linearen Differenzialgleichungen (nach Fouriertransformation) - Bestimmung der Normalmoden von gekoppelten harmonischen Oszillatoren - Bestimmung der Eigenzuständen und Eigenenergien eines Quantensystems - Dirac-Gleichung (nicht-relativistische Version der Schrödingergleichung) Gründlich Einführung: siehe lineare Algebra Vorlesung L5.1 Lineare Abbildungen und Matrizen (allgemeinere Körper auch möglich) Def: und seien zwei- Vektorräume, mit Dimension bzw. ist eine 'lineare Abbildung', falls Körper Eine lineare Abbildung 'respektiert' die Vektorraumstruktur v. V und V': erst addieren/strecken, dann abbilden = erst abbilden, dann addieren/strecken Wähle Basisvektoren: Die Wirkung einer linearen Abbildung auf Basis sei: wir betrachten v-basisvektor i; seine Komponente in Richtung von v'-basisvektor i' ist: Bild eines v-basisvektors entwickelt in v'-basis

2 Beispiel: Laut Skizze: Können wir hieraus die Wirkung v. F auf einen anderen Vektor, bestimmen? Ja! Wir werden zeigen, dass allgemein gilt: mit Allgemein: F ist linear: Wirkung v. F auf v-basisvektoren ist bekannt: Umstellung der Doppelsumme: Kurzversion mittels ES: (u. Klammern weglassen) Koeffizient bezüglich v'- Basis Fazit: Lineare Abbildung ist vollständig durch die Koeffizienten (es gibt von ihnen) festgelegt, die die Wirkung v. F auf Basisvektoren beschreiben!

3 Dasselbe ausgedrückt durch die Koordinatenvektoren: (siehe L2.4a.3) implizit: (2) bedeutet mehr explizit: Definition v. neue Art v. 'Multiplikation: Matrix mal Vektor' Def: Matrix (Plural: Matrizen) 'm x n Matrix' ist rechteckiges Zahlenschema mit m Zeilen und n Spalten, und 'Matrixelementen' m x n Matrix: n Spalten m Zeilen 'Quadratische Matrix' falls Matrixelemente Notationskonventionen für Matrizen: Menge der reellen m x n Matrizen:

4 Multiplikation: Matrix mal Spaltenvektor Spaltenvektor mit n Komponenten ist nx1 Matrix. per Definition Beispiele: [vergleiche (c.4)] Einschub: Matrizen bilden einen Vektorraum (i) Matrixaddition: ist Vektorraum, mit folgenden Def. für Addition, Skalarmult.: Explizit: (m = n = 2) (elementenweise Addition) Beispiel: Neutrales Element der Matrixaddition: "Nullmatrix" : (bestehend aus lauter Nulleinträgen)

5 Negatives Element ( = inverses Element der Addition): Lösung Matrix bestehend aus den negativen Matrixelementen Matrixaddition ist assoziativ: und kommutativ: (ii) Skalarmultiplikation: (elementenweise Multiplikation) Explizit: (m = n = 2) Beispiel: mit Matrixaddition und skalarer Multiplikation gestattet, ist ein -dimensionaler (reeller) Vektorraum [äquivalent zu ] Lineare Abbildungen zwischen Standardvektorräumen Sei und mit Standardbasis mit Standardbasis dann liefert (b.4): Bild eines Standard-Basisvektors entwickelt in Standard-Basis Position i: Spalte i der Matrix Fazit: lineare Abbildung wird dargestellt durch Spalte i der Matrix, ist Bild des Basisvektors unter Abbildung F.

6 Matrixmultiplikation (entspricht d. Verknüpfung v. zwei linearen Abbildungen) Betrachte: implizit: implizit: Kompaktfassung: Verknüpfung v. B mit A liefert: Fazit: Koeffizienten der Matrix C sind gegeben durch: Kurznotation für (3): (3) ist die definierende Gleichung für 'Matrix-Multiplikation'!

7 Matrixmultiplikation: (zusätzliche Struktur zu der des Vektorraums) Skalarprodukt von "i-tem Zeilenvektor v. B" und "k-tem Spaltenvektor v. A" Nur definiert falls # Spalten v. A = # Zeilen v. B. Explizit: p Spalten (mit je n Einträgen) m Zeilen (mit je n Einträgen) i-ter Zeilenvektor v. B k-ter Spaltenvektor v. A Beispiel: m = 3, n = 2, p = 2 Eigenschaften der Matrixmultiplikation: 1) nicht kommutativ: (sogar gar nicht definiert, falls Dimensionen nicht passen!) Beispiel: (für m = n = p = 2) verschieden! verschieden!

8 2) assoziativ (falls definiert) Beweis: denn skalare Addition ist assoziativ Beispiel: (m = n = p = 2) Assoziativität gnadenlos explizit, für m = n = p = 2: genau die gleichen Terme kommen vor (nur in unterschiedlicher Reihenfolge)

9 3. distributiv Beweis: ebenso: 4. Beweis: 5. Falls Quadratische Matrizen sind "abgeschlossen" unter Matrixmultiplikation. "Einheitsmatrix (engl: identity)": (für m = n) (Einser auf der Diagonalen, Nullen sonst) 6. Neutrales Element der Matrixmultiplikation: denn: Explizit: (n=3) Quadratische Matrizen bilden eine "Algebra", das ist ein Vektorraum mit zusätzlicher Multiplikation mit Verträglichkeitsbedingungen (assoziativ, distributiv), und Einselement.