C A R L V O N O S S I E T Z K Y. Transformationen. Johannes Diemke. Übung im Modul OpenGL mit Java Wintersemester 2010/2011

Transkript

1 C A R L V O N O S S I E T Z K Y Transformationen Johannes Diemke Übung im Modul OpenGL mit Java Wintersemester 2010/2011

2 Motivation Transformationen Sind Grundlage vieler Verfahren der Computergrafik Model- und View-Transformation Projektionstransformation Einsatz in vielen weiteren Verfahren Bump Mapping Shadow Mapping Billboarding... Mathematische Grundlage sind lineare und affine Abbildungen mittels Matrizen Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

3 Grundlagen Matrix Rechteckige Anordnung von Elementen Schlüsselkonzept der linearen Algebra In der Computergrafik von elementarer Bedeutung: Lineare und affine Abbildungen Beschreiben Transformationen zwischen Koordinatensystemen Notation Aneinanderreihung der Elemente in Zeilen und Spalten Durch fettgedruckte Großbuchstaben bezeichnet Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

4 Grundlagen Transponieren einer Matrix Die transponierte Matrix A T einer r c-matrix A ergibt sich durch Vertauschen der Zeilen mit den Spalten Das Ergebnis ist eine c r-matrix Transponieren als Involution (M T ) T = M Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

5 Grundlagen Multiplikation mit einem Skalar Eine m n-matrix M kann mit einem Skalar k multipliziert werden Ergebnis ist wieder eine m n-matrix km Jedes Element wird mit k multipliziert Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

6 Grundlagen Matrixmultiplikation Eine r n-matrix A kann mit einer n c-matrix B multipliziert werden Das Ergebnis ist eine r c-matrix Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

7 Grundlagen Matrixmultiplikation (Forts.) Die Elemente c ij der r c-matrix C = AB ergeben sich zu Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

8 Grundlagen Rechenregeln für Matrizen Nicht kommutativ AB BA Assoziativ (AB)C = A(BC) Inverse eines Produktes (AB) 1 = B 1 A 1 Transponieren eines Produkts (AB) T = B T A T Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

9 Grundlagen Die Einheitsmatrix Spezielle Diagonalmatrix Hat nur Einsen auf der Diagonalen Neutrales Element bzgl. Multiplikation IA = AI = A Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

10 Grundlagen Vektoren als Matrizen Vektoren der Dimension n können als Matrizen aufgefasst werden 1 n-matrix (Zeilenvektor) n 1-Matrix (Spaltenvektor) Aus geometrischer Sicht sind beide Notationen identisch Unterscheidung bei Matrixmultiplikation aber wichtig Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

11 Grundlagen Vektor-Matrix-Multiplikation Möglich, da Vektoren als Matrizen aufgefasst werden können Es gelten die gleichen Regeln Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

12 Lineare Transformationen Geometrische Interpretation Eine quadratische Matrix kann jede lineare Transformation beschreiben Gerade und parallele Geraden bleiben erhalten Der Urspung bewegt sich nicht Längen, Winkel, Flächen und Volumen können sich aber ändern Lineare Transformationen Rotation Skalierung Reflexion Scherung Orthographische Projektion Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

13 Lineare Transformationen Wie transformiert eine Matrix einen Vektor? Ein Vektor kann als Linearkombination von Basisvektoren aufgefasst werden Bezeichnen wir die Basisvektoren mit e 1, e 2 und e 3 erhalten wir v = xe 1 + ye 2 + ze 3 Der Vektor v kann durch einen Basiswechsel auf v abgebildet werden v = xa 1 + ya 2 + za 3 Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

14 Lineare Transformationen Wie transformiert eine Matrix einen Vektor? (Forts.) v hat im neuen System immer noch dieselben Komponenten wie v Bzgl. des [e 1, e 2, e 3 ]-Systems haben sie sich aber geändert Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

15 Lineare Transformationen Wie transformiert eine Matrix einen Vektor? (Forts.) Die Komponente des Vektors v im [e 1, e 2, e 3 ]-Systems ergeben sich zu v = xa 1 + ya 2 + za 3 Das läßt sich aber prägnanter durch eine Matrixmultiplikation ausdrücken v = a 1x a 2x a 3x a 1y a 2y a 3y a 1z a 2z a 3z x y z = Av Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

16 Lineare Transformationen Zusammenfassung Die Spalten einer Matrix können als Basisvektoren aufgefasst werden Multiplikation mit einer Matrix M Führt zu Basiswechsel Transformation von einem Koordinatensystem in ein anderes Gibt an wie v nach Basiswechsel im alten Koordinatensystem aussieht Konkatenation von Transformationen durch Matrixmultiplikation v = (A 4 (A 3 (A 2 (A 1 v)))) = (A 4 A 3 A 2 A 1 )v Lineare Transformationen ermöglichen keine Translation v = A0 = 0 Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

17 Lineare Transformationen Visualisieren einer Transformationsmatrix Jede Spalte der Matrix stellt einen Basisvektor nach der Transformation dar a 1 = Ae 1 a 2 = Ae 2 a 3 = Ae 3 a 1, a 2 und a 3 stellen die Achsen nach der Transformation dar Aus dieser Einsicht folgt Konstruktion einer Matrix für gegebene Transformation ist einfach Wie wirkt sich die Transformation auf die Basisvektoren aus? Transformierte Basisvektoren bilden dann die Matrix Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

18 Lineare Transformationen Visualisieren einer Transformationsmatrix (Forts.) Darstellung der Basisvektoren einer Transformation Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

19 Lineare Transformationen Skalierung Die Skalierung ist eine lineare Abbildung Vegrößert oder verkleinert Vektoren k x 0 0 S(k x, k y, k z ) = 0 k y k z Inverse S 1 (k x, k y, k z ) = S(1/k x, 1/k y, 1/k z ) Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

20 Lineare Transformationen Rotation Die Rotation ist eine lineare Abbildung Rotiert Vektoren cos θ sin θ 0 R z (θ) = sin θ cos θ Rotations-Matrizen sind orthogonal Inverse AA T = I A 1 = A T Rz 1 (θ) = R z ( θ) = Rz T (θ) Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

21 Lineare Transformationen Rotation (Forts.) Rotation um die x-achse R x (θ) = 0 cos θ sin θ 0 sin θ cos θ Rotation umd die y-achse cos θ 0 sin θ R y (θ) = sin θ 0 cos θ Inverse Rx 1 (θ) = R x ( θ) = Rx T (θ) (θ) = R y ( θ) = Ry T (θ) R 1 y Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

22 Affine Transformationen Affine Transformationen Sind ein wichtiges Hilfsmittel in der Computergrafik Ermöglichen Orientierung und Bewegung Lineare Abbildung plus Translation x = Ax + p Problem Transformationen nicht mehr über reine Matrixmultiplikation möglich Konkatenation auch nicht Lösung: Homogene Koordinaten Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

23 Affine Transformationen Homogene Koordinaten Eine affine Abbildung x = Ax + p kann in eine Matrixmultiplikation überführt werden x = Mx Dazu ist M folgendermaßen zu wählen a 1,1 a 1,2 a 1,3 p 1 M = a 2,1 a 2,2 a 2,3 p 2 a 3,1 a 3,2 a 3,3 p x ist dann in homogene Koordinaten x zu überführen (x 1, x 2, x 3 ) (x 1, x 2, x 3, 1) Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

24 Affine Transformationen Homogene Koordinaten (Forts.) M kann über eine Matrixdekomposition zerlegt werden Linearer Anteil R Affiner Anteil T M = TR = p p p Vorteile homogener Koordinaten a 1,1 a 1,2 a 1,3 0 a 2,1 a 2,2 a 2,3 0 a 3,1 a 3,2 a 3, Einheitliche Behandlung aller Transformationen Konkatenation von Transformationen durch Matrixmultiplikation Komplexe Transformationen durch Gesamttransformationsmatrix Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

25 Literatur Dave Shreiner OpenGL Programming Guide Richard S. Wright, Benjamin Lipchak und Nicholas Haemel OpenGL SuperBibel Randi J. Rost OpenGL Shading Language Tomas Akenine-Möller, Eric Haines und Naty Hoffman Real-Time Rendering Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26

26 Literatur Edward Angel Interactive Computer Graphics angel/ Gerald Farin und Dianne Hansford Practical Linear Algebra Fletcher Dunn und Ian Parberry 3D Math Primer for Graphics and Game Development Johannes Diemke OpenGL mit Java WiSe 2010 / /26