Blatt 06.3: Matrizen

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1 Fakultät für Physik R: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 204/5 Dozent: Jan von Delft Übungen: Benedikt Bruognolo, Katharina Stadler Blatt 06.3: Matrizen Ausgabe: Freitag, Abgabe: Freitag, , 3:00 Beispielaufgabe : Gauß-Algorithmus (**) (a) Lösen Sie folgendes lineares Gleichungsystem mit dem Gauß-Algorithmus: 3x + 2x 2 x 3 =, 2x 2x 2 + 4x 3 = 2, x + 2 x2 x 3 = 0. (b) Wie lautet die Lösung des Gleichungssystems wenn man die unterste Gleichung herausnimmt? (c) Und wenn man die unterste Gleichung durch x x2 x 3 = 0 ersetzt? (d) Dieses Gleichungssystem kann man auch in die Form Ax = b bringen. Berechnen Sie das Inverse A der 3 3 Matrix A mit Hilfe des Gauß-Algorithmus, und verifizieren Sie mittels x = A b Ihr Ergebnis aus (a). Beispielaufgabe 2: Basistransformation (**) Betrachen Sie die folgenden drei Basistransformationen in R 3, mit Standardbasis {e, e 2, e 3 }: A : Rotation um die 3-Achse um den Winkel θ 3 = π, in die rechtshändig positive Richtung. 4 B : Streckung der -Achse um den Faktor s = 3; C : Rotation um die 2-Achse um den Winkel θ 2 = π, in die rechtshändig positive Richtung. 2 Hinweis: Rechtshändig positiv bedeutet: wenn die rechte Hand die Drehachse umklammert und der Daumen entlang ihrer positiven Richtung zeigt, dann zeigen die anderen Finger in die Richtung positiver Drehwinkel. (a) Finden Sie die Matrixdarstellungen (bezüglich der Standardbasis) von A, B, C. (b) Was ist das Bild y = Bx des Vektors x = (,, ) T unter der Streckung B? (c) Was ist das Bild z = Dx von x unter der Verknüpfung aller drei Abbildungen, D = C B A? (d) Betrachten Sie nun eine neue Basis {v j}, definiert durch eine Rotation der Standardbasis mittels A, d.h. e A j v j. Skizzieren Sie die alten und neuen Basisvektoren in derselben Skizze. Finden Sie die Transformationsmatrix T, deren Matrixelemente den Bezug zwischen der alten und der rotierten Basis angeben, mit e j = v it i j.

2 (e) In der {v i}-basis lassen sich die Vektoren x und y darstellen als x = v ix i und y = v iy i. Finden Sie die entsprechenden Komponenten x = (x, x 2, x 3 ) T und y = (y, y 2, y 3 ) T. (f) B sei die Darstellung der Streckung B in der rotierten Basis. Finden Sie B durch entsprechende Transformation der Matrix B, und nutzen Sie das Ergebnis, um das Bild y von x unter B zu berechnen. (Stimmt das Ergebnis mit dem aus (e) überein?) Beispielaufgabe 3: Determinanten (**) Berechnen Sie die Determinanten von folgenden Matrizen, A = ( ) 2, B = 5 3 ( 3 ) 2 4 3, C = 2 a a a 0 a 0 0 b, 0 0 b b a b b 0 durch Entwickeln nach einer beliebigen Zeile oder Spalte. (Es ist günstig jeweils eine Spalte oder Zeile mit vielen Nullen zu wählen.) Beispielaufgabe 4: Jacobi-Determinante für Zylinderkoordinaten (*) Berechnen Sie die Jacobi-Determinante (x,x 2,x 3 ) (ρ,φ,z) für die Transformation von kartesischen zu Zylinderkoordinaten. Beispielaufgabe 5: Dreifach-Gauß-Integral per Variablentransformation (**) Berechnen Sie folgendes dreifach-gauß-integral (mit a, b, c > 0, a, b, c R): ˆ I = dx dy dz e [a2(x+y)2+b2(z y)2+c2(x z)2 ] R 3 Hinweis: Nutzen Sie dazu die Variablentransformation u = a(x+y), v = b(z y), w = c(x z) und berechnen Sie die Jacobi-Determinante mittels J = (u,v,w). [Kontrollergebnis: für a = b = c = π gilt I = /2.] (x,y,z) Hausaufgabe : Matrixinvertierung mittels Gauß-Algorithmus (**) (a) Bestimmen Sie das Inverse der Matrix A = mittels Gauß-Algorithmus. (b) Überprüfen Sie anschließend durch Matrixmultiplikation, dass tatsächlich AA = A A = gilt. 2

3 Hausaufgabe 2: Basistransformation (**) Hinweis: Eine präziser formulierte Version dieser Hausaufgabe wurde als Hausaufgabe 0 hinzugefügt. Gegeben sei eine alte Basis {v j } des R 2 und eine neue {v i}. Die alte Basis lässt sich folgendermaßen durch die neue ausdrücken: v = 5 v v 2, v 2 = 6 5 v v 2. (a) Finden Sie die Transformationsmatrix T, deren Matrixelemente den Bezug zwischen der alten und der neuen Basus angeben, v j = v it i j. Transformieren Sie anschließend den in der alten Basis gegebenen Koordinatenvektor x = (2, 2 )T in die neue Basis. (b) Wählen Sie nun für die alte Basis v = (, ) T und v 2 = (2, ) T und berechnen Sie v und v 2 explizit. Machen Sie eine Skizze, die die alten und neuen Basisvektoren enthält, sowie den Vektor x. Sind die in (a) diskutierten Koordinaten dieses Vektors bezüglich beider Basen mit Ihrer Skizze konsistent? (c) Überlegen Sie sich, wie der Vektor y = ( 3, ) T (dargestellt in der neuen Basis) in der alten Basis aussieht. Betrachten Sie dazu die zwei Gleichungen, die die beiden Basen verknüpfen. Überprüfen Sie ihre Vermutung, indem Sie die Transformationsmatrix von der neuen in die alte Basis bestimmen und wenden Sie diese auf y an. Hausaufgabe 3: Basistransformation und lineare Abbildungen (**) Betrachen Sie die folgenden drei linearen Abbildungen in R 3, mit Standardbasis {e, e 2, e 3 }. A : Rotation um die -Achse um den Winkel θ = π 3 d.h. eine Linksdrehung. bezüglich der rechtshändigen Richtung, B : Streckung der Achsen und 2, mit den Faktoren s = 2 bzw. s 2 = 4. C : Spiegelung in der 23-Ebene. (a) Finden Sie die Matrixdarstellungen (bezüglich der Standardbasis) von A, B, C. Welche dieser Abbildungen kommutieren miteinander (d.h., für welche gilt T T 2 = T 2 T )? (b) Was ist das Bild y = CAx des Vektors x = (,, ) T unter der Abbildung CA? (c) Finden Sie den Vektor z, der unter der Verknüpfung aller drei Abbildungen, D = C B A, auf y abgebildet wird. [Hinweis: D = A B C.] (d) Betrachten Sie nun eine neue Basis {v i}, die durch Rotation und Spiegelung mittels CA auf die Standardbasis abgebildet wird, v i CA e i. [Achtung: in der Beispielaufgabe war es umgekehrt!] Skizzieren Sie die alten und neuen Basisvektoren in derselben Skizze. [Achtung: Die neuen Basisvektoren bilden ein Linkssystem! Warum?] Finden Sie die Transformationsmatrix T, deren Matrixelemente den Bezug zwischen der alten und der neuen Basis angeben, mit e j = v it i j. (e) In der {v i}-basis lassen sich die Vektoren z und y darstellen als z = v iz i und y = v iy i. Finden Sie die entsprechenden Komponenten z = (z, z 2, z 3 ) T und y = (y, y 2, y 3 ) T. 3

4 (f) D sei die Darstellung von D in der neuen Basis. Finden Sie D durch entsprechende Transformation der Matrix D, und nutzen Sie das Ergebnis, um das Bild y von z unter D zu berechnen. (Stimmt das Ergebnis mit dem aus (e) überein?). Hausaufgabe 4: Determinante (**) Gegeben sind zwei Matrizen, A = ( ) 2 3, B = (a) Berechnen Sie AB und BA. Berechnen Sie die Determinante und das Inverse (b) von AB und (c) von BA. (d) Kann man auch die Determinante von A bzw. B berechnen? Warum? Wie ist es mit dem Inversen? Hausaufgabe 5: Nullstellen einer Determinante (*) ( ) a 0 (a) Berechnen Sie die Determinante der Matrix A = b c (b) Welche Werte müssen a und b haben, damit det A = 0 für alle Werte von c? (c) Welche Werte müssen b und c haben, damit det A = 0 für alle Werte von a? (d) Hätten Sie die Ergebnisse von Teilaufgaben (b,c) auch finden können, ohne det A explizit zu berechnen?. Hausaufgabe 6: Jacobi-Determinante für Kugelkoordinaten (*) Berechnen Sie die Jacobi-Determinante (x,x 2,x 3 ) (r,θ,φ) für die Transformation von kartesischen zu Kugelkoordinaten. Hausaufgabe 7: Lorentz-Integral: dx/(x 2 + ) (**) (a) Berechnen Sie I(z) = ˆ z 0 dx. [Kontrollergebnis: I( ) = π/2. ] x 2 + Hinweis: da tan 2 y + = / cos 2 y, hilft die Substitution x = tan y. (b) Überprüfen Sie Ihr Ergebnis für I(z) durch Berechnung von di(z) dz. Hausaufgabe 8: Dreifach-Lorentz-Integral per Variablentransformation (**) Berechnen Sie folgendes dreifach-lorentz-integral (mit a, b, c, d > 0, a, b, c, d R): ˆ I = dx dy dz R [(xd + y) a 2 ] [(y + z x) 2 + b 2 ] [(y z) 2 + c 2 ] Hinweise: Nutzen Sie die Variablentransformation u = (xd+y)/a, v = (y +z x)/b, w = (y z)/c und berechnen Sie die Jacobi-Determinante mittels J = (u,v,w) (x,y,z). [Kontrollergebnis: für a = b = c = π, d = 2, gilt I = /5.] Hausaufgabe 9: Matrixinversion (Bonus) (*) 4

5 Eine n n-matrix M n sei definiert durch (M n ) i j = δ i jm + δ j mit (i, j =,..., n). (a) Berechnen Sie zuerst M3. (b) Stellen Sie eine Vermutung auf, wie die inverse Matrix Mn für ein allgemeines n aussehen muss. (Falls Sie keine Vermutung formulieren können, hilft es vielleicht, zunächst auch noch M4 zu berechnen.) (c) Überprüfen Sie Ihre Vermutung, indem Sie Mn M n berechnen. Hausaufgabe 0: Basistransformation in E 2 (**) Hinweis: Dies ist eine präziser formulierte Version von Hausaufgabe 3. Der Euklidische Vektorraum E 2 habe zwei Basen, eine alte, {ˆv j }, und eine neue, {ˆv i}, mit ˆv = 5 ˆv ˆv 2, ˆv 2 = 6 5 ˆv ˆv 2. (a) Die Relation ˆv j = ˆv it i j drückt die alte durch die neue Basis aus. Finden Sie die Transformationsmatrix T. (b) Finden Sie die Matrix T, und drücken Sie mittels der Rücktransformation ˆv j = ˆv i (t ) i j die neue durch die alte Basis aus. (c) Der Vektor ˆx habe Komponenten x = (2, 2 )T in der alten Basis. Wie lauten sein Komponenten x in der neuen Basis? (d) Der Vektor ŷ habe Komponenten y = ( 3, ) T Komponenten y in der alten Basis? in der neuen Basis. Wie lauten seine (e) Wählen Sie nun für die alte Basis ˆv = ê + ê 2 und ˆv 2 = 2ê ê 2, wobei ê = ( 0 und ê 2 = ( 0 ) die Standardbasisvektoren von E 2 sind. Wie lauten ˆv, ˆv 2, und ˆx in der Standardbasis von E 2? (f) Machen Sie eine Skizze (mit ê und ê 2 als Einheitsvektoren in die horizontale bzw. vertikale Richtung), die die alten und neuen Basisvektoren zeigt, sowie den Vektor ˆx. Sind die in (c) diskutierten Koordinaten dieses Vektors bezüglich beider Basen mit Ihrer Skizze konsistent? Hinweis zur Notation: In dieser Aufgabe werden Vektoren im Euklidischen Raum E 2 durch Hütchen gekennzeichnet (ˆv j, ˆv j, ˆx, ŷ, ê, ê 2 E 2 ). Kompontenvektoren bezüglich einer gegebenen Basis sind Vektoren in R 2 und tragen keine Hütchen (z.b. x, y, x, y R 2 ). ) 5