Nachholtutorium A: Matrizen, Reihenentwicklungen Aufgaben

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1 Fakultät für Physik Jan von Delft, Olga Goulko, Florian Bauer T: Rechenmethoden für Physiker, WiSe /3 Nachholtutorium A: Matrizen, Reihenentwicklungen Aufgaben Aufgabe. Basistransformation Gegeben sei eine alte Basis {v i } des R und eine neue {v i}. Die alte Basis lässt sich folgendermaßen durch die neue Ausdrücken: v = 3 4 v + 3 v, v = 8 v + v (a) Bestimmen Sie die Transformationsmatrix T, die die alte Basis auf die neue abbildet. Transformieren Sie anschliesend den Koordinatenvektor x = (, ) T in die neue Basis. (b) Wählen Sie nun für die alte Basis v = (3, ) T und v = ( /, 3/) T und berechnen Sie v und v explizit. Machen Sie nun eine Skizze, die die alten und neuen Basisvektoren enthält, sowie den Vektor x. Sind die in (a) diskutierten Koordinaten dieses Vektors bezueglich beider Basen mit ihrer Skizze konsistent? (c) Überlegen Sie sich, wie der Vektor y = ( 3, 4 3 )T (dargestellt in der neuen Basis) in der alten Basis aussieht. Betrachten sie dazu die zwei Gleichungen, die die beiden Basen verknüpfen. Überprüfen sie ihre Vermutung, indem sie die Transformationsmatrix von der neuen in die alte Basis bestimmen und wenden sie diese auf y an. Aufgabe. Aufstellen und Wirkung von Matrizen Betrachten Sie die folgenden zwei Basistransformationen in R, mit Standardbasis e, e. A : Rotation um den Winkel 45 gegen den Uhrzeigersinn. B : Streckung der -Achse um den Faktor s = und Streckung der -Achse um den Faktor s =. (a) Stellen Sie die Veränderungen der unten abgebildeten Figur durch Anwendung von A, BA, B und AB auf die Basisvektoren grafisch dar. Zeichnen Sie auch die Basisvektoren ein.

2 (b) Finden Sie die Matrixdarstellung (bezüglich der Standardbasis) von A und B. (c) Überlegen sie sich anhand der Grafiken aus (a), ob AB = BA gelten kann und überprüfen sie ihre Vermutung explizit, indem sie AB und BA berechnen. Aufgabe 3. Eigenwerte von Matrizen(I) Berechnen Sie zu den folgenden Matrizen jeweils die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren. (a) A = (b) M = (c) T = Hinweis: In einigen Fällen erhält man bei der Berechnung des charakteristischen Polynoms dieses in bereits faktorisierter Form, die nicht mehr ausmultipliziert werden muss. Die Rechnung vereinfacht sich damit erheblich. Aufgabe 4. Lösung von linearen Gleichungssystemen durch Matrixinversion und Gauss- Verfahren Formulieren Sie das folgende Gleichungssystem in Matrixschreibweise und lösen Sie es einmal durch Matrixinversion und anschließend mit dem Gauss-Verfahren! x z = () 3x + y + z = 4 () y + z = (3)

3 Aufgabe 5. Diagonalisierung einer hermiteschen 3 3 Matrix Gegeben sei die hermitesche Matrix A. Im Folgenden soll diese diagonalisiert werden. 3 i A = i 6 (a) Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von A. Hinweis: Wenden Sie bei der Berechnung der Determinanten nicht die Regel von Sarrus an, sondern nützen Sie die Nullen geschickt aus! (b) Konstruieren Sie mit den Ergebnissen aus (a) eine diagonalisierende Ähnlichkeitstransformation S für A, sowie deren Inverse, S. Hinweis: Falls die Eigenvektoren ein Orthonormalsytem bilden, gilt S = S.) (c) Überprüfen Sie durch explizites Ausmultiplizieren, dass die in (b) konstruierte Ähnlichkeitstransformation S die Matrix A wirklich diagonalisiert. Aufgabe 6. Taylorentwicklung um x = Entwickeln Sie folgende Funktionen um x =! Sie dürfen die bekannten Entwicklungen von cos(x) und x verwenden. (a) f(x) = cos(x) x für x < bis einschließlich dritter Ordnung. (b) g(x) = (x + 7x + ) 3 (x + ) bis einschließlich zweiter Ordnung. Aufgabe 7. Taylorentwicklung um x = Entwickeln Sie folgende Funktion um x = bis einschließlich. Ordnung. l(x) = x 5 +x Aufgabe 8. Taylorentwicklung der Umkehrfunktion Diese Aufgabe behandelt die Taylorentwicklungen von Umkehrfunktionen. Der Entwicklungspunkt der Taylorreihe liegt in dieser Aufgabe immer bei x =. Sie dürfen die bekannten Entwicklungen von e x, ln( + x) und sin(x) verwenden. (a) ln(x) ist die Umkehrfunktion zu e x. Insbesondere bedeutet dies, dass folgende Gleichung gilt: e ln(+x) = + x (4) Verifizieren Sie diese Gleichung bis zur. Ordnung (einschließlich) in x durch Entwicklung der linken Seite in eine Taylorreihe. 3

4 (b) Entwickeln Sie arcsin(x) bis zur 3. Ordnung einschließlich! Hinweis: Machen Sie den Ansatz arcsin(sin(x)) = x. Setzen Sie die Entwicklung von sin(x) ein und machen Sie den Ansatz arcsin(f(x)) = a n (f(x)) n. Bestimmen Sie schließlich a bis a 3! Aufgabe 9. Iteratives Lösen einer Differenzialgleichung mittels Reihenentwicklung Lösen Sie folgende Differentialgleichung iterativ mittels Reihenentwicklung für kleine t bis einschließlich der.ordnung: Aufgabe. Eigenwerte von Matrizen(II) n= x (t) + sin t = e ax(t), a R\{}, x() = Berechnen Sie zu den folgenden Matrizen jeweils die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenvektoren! (a) A = 3 i (b) J 3 = i 3 (c) B = 4 Hinweis: Es kann passieren, dass man bei der Berechnung des charakteristischen Polynoms dieses in bereits faktorisierter Form erhält. Ein weiteres Ausmultiplizieren ist dann nicht mehr nötig. Die Rechnung vereinfacht sich damit erheblich! Aufgabe. Lösung eines linearen Gleichungssystems durch Matrixinversion Sei folgende Gleichung gegeben, welche ein lineares Gleichungssystem darstellt: e M x = a (5) Dabei sind M = 4 5, a = und e M M n. n! n= 8 5 M n M M... M (n-mal) Bestimmen Sie x! 4

5 Hinweis: Diagonalisieren Sie zuerst M mit Hilfe einer Ähnlichkeitstransformation. M ist diagonal in einer Basis aus Eigenvektoren(Verwenden Sie Aufgabe. (b) ). Bestimmen Sie die Basiswechselmatrix und überlegen Sie sich wie e M transformiert. Anschließend können Sie das Gleichungssystem durch Matrixinversion lösen. Aufgabe. Taylorentwicklung Entwickeln Sie folgende Funktionen. Sie dürfen die bekannten Entwicklungen von sin(x), x und ln( + x) verwenden. (a) f(x) = sin(x) bis einschließlich 4. Ordnung um x =. x n+ π, n Z (b) g(x) = (x 3 + x + ) 5 (x + 3) 3 5 bis einschließlich. Ordnung um x =. (c) h(x) = sin(ln(x)) bis einschließlich. Ordnung um x =. Aufgabe 3. Lösung von Gleichungen mittels Reihenentwicklung Lösen Sie die Gleichung 5x 7 = 4ɛx (6) iterativ für kleine ɛ. Machen Sie dazu einen Reihenansatz von x in der Variable ɛ und bestimmen Sie die Koeffizienten bis zur zweiten Ordnung einschließlich. 5