Nützliches Hilfsmittel (um Schreiberei zu reduzieren): 'Erweiterte Matrix': Gauß- Verfahren

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1 L5.4 Inverse einer Matrix Ausgangsfrage: Wie löst man ein lineares Gleichungsystem (LSG)? Betrachte n lineare Gleichungen für n Unbekannte: Ziel: durch geeignete Umformungen bringe man das LSG in folgende Form - Vertauschen von Zeilen - Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl - Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen (1 auf der 'Diagonalen', 0 überall sonst): Dann folgt sofort: Nützliches Hilfsmittel (um Schreiberei zu reduzieren): 'Erweiterte Matrix': Start: Ziel: Gauß- Verfahren Beispiel: finde Lösung des Systems: Zeile: Erweiterte Matrix: Ratschlag: Falls Brüche auftauchen, Zeile mit Hauptnenner durchmultiplizieren!

2 Lösung: Check durch einsetzen: konsistent mit z1 Falls das Gauss-Verfahren eine Zeile der Form liefert, hat das LSG keine Lösung. Falls das Gauss-Verfahren eine "Nullzeile" der Form liefert, kann eine der Variablen einem Parameter, z.b.. frei gewählt werden. Setze diese Variable gleich Lösung ist dann eine "Parameterschar". (bei m Nulzeilen, sind m der Variablen frei wählbar, m unabhängige Parameter.) Betrachte nun analoges Gleichungsystem, aber mit anderem Vektor rechts, Um es zu lösen, müssten wir Gauß-Verfahren wiederholen. Umständlich! Es geht aber auch kompakter, mittels Matrix-Notation: Kompakte Notation für (a.1): Schreibe Matrix- Notation (1): (quadratisch) Angenommen, es gibt eine 'inverse Matrix' zu A, mit: dann: Gesuchte Lösung: (funktioniert für alle!)

3 Eine quadratische Matrix heisst 'invertierbar', falls eine 'inverse Matrix' existiert, mit und wobei = Einheitsmatrix. (1) impliziert (2): Assoziativität [Analog: (2) impliziert (1).] Wie findet man Inverse? Seite L5.4h. Kriterien für Invertierbarkeit: später... Beispiel: 2x2-Rotationsmatrix Rotation: Rotationsmatrix: [laut (i.5) sind Spalten v. R die Abbilder v. ] Inverse v. R = Rotation um : Check: Übrigens:

4 Beispiel: Allgemeine 2x2-Matrix Sei dann Inverse existiert nur falls Check: Eigenschaften der Inversen 1) Check: 2) Check: Warnung: wie auch in Bestimmung der Inversen: Rückführung auf Lösung v. n linearen Gleichungsystemen 1) Sei und n Spaltenvektoren, mit Komponenten: k-te Stelle Für jeden Wert von k = 1,..., n liefert (6) ein anderes LGS (wegen anderem ), zu lösen für den Spaltenvektor [(h.6) hat dieselbe Form wie (d.3)] [spielt die Rolle von b in (d.3)] Die aus diesen Spaltenvektoren gebildete Matrix (2) ist dann die gesuchte Inverse,

5 Die n Gl.systeme der Form (h.7) lassen sich gleichzeitig lösen, mit Gauß-Verfahren: Gauß- Verfahren Beispiel (vergleiche Seite 10): Zeile: Erweiterte Matrix: Check:

6 L5.5 Allgemeine lineare Abbildungen und Matrizen sei ein sei ein -Vektorraum mit Basis -Vektorraum mit Basis dim( ) dim( ) [Hut bedeutet hier: allgemein/abstrakt, im Gegensatz zu bisherigen Spaltenvektoren in Betrachte lineare Abbildung: Wirkung auf Basis sei: (durch diese Information ist A eindeutig festgelegt) Wirkung von A auf beliebigen Vektor in : (dargestellt in jeweiliger Basis): Bild von v-basisvektor j ist Linearkombination von w-basisvektoren A ist linear, (L5b.2) Entspricht einer Abbildung zwischen Standardvektorräumen: Beispiel: Laut Skizze: Können wir hieraus die Wirkung v. F auf einen anderen Vektor, bestimmen? Ja! Kompaktversion in Matrixnotation:

7 Schematisch: Für Basisvektoren: diese Gl. definiert die Abbildung Position j Position i Spalte j der Matrix, ist Bild des Basisvektors unter Abbildung A. Für allgemeine Vektoren: Verknüpfung von zwei linearen Abbildungen: Matrixmultiplikation Betrachte drei Vektorräume, je mit einer Basis: Dimension = Dimension = Dimension = Betrachte Verknüpfung v. zwei Abbildungen: Fazit: Verknüpfung v. linearen Abbildungen kann immer durch Matrixmultiplikation in Standardvektorräumen dargestellt werden.

8 L5.6 Basistransformation [vergleiche Seite L2.6g,h] [wie L5.5, nun mit W=V] seien zwei Basen für mit In -Basis, In -Basis, Fazit: Matrixnotation: Neue Koordinaten lassen sich durch Matrixmultiplikation von T mit den Alten berechnen! Rücktransformation mittels Inverser Matrix: Beispiel: Der Vektor hat zwei Darstellungen: Einerseits, in -Basis: Andrerseits, in -Basis: (5) & (6) sind konsistent mit Skizze und (5.5e.7):

9 Transformation einer Matrix-Darstellung von einer Basis in eine andere sei eine lineare Abbildung, mit. In -Basis, In -Basis, habe A die Darstellung: habe A die Darstellung: [siehe (a.8,c.6)] [siehe (a.8,c.6)] Die zwei Basen seien Verknüpft durch die Transformation Dann sind Koordinaten verknüpft durch: Und A mit A' durch: Beispiel: sei Streckung in horizontale Richtung um Faktor 2 Finde Darstellung v. A in der -Basis: (5a.4): Berechne nun Darstellung v. A in der -Basis: Wie wirkt A auf den Basis-Vektor

10 Zusammenfassung: L5.5-6 Basistransformationen Zwei Vektorräume: Allgemeine lineare Abbildung: Matrixdarstellung v. A: In Standardbasis: A bildet Basisvektor Zwei Basen für denselben Raum: Basistransformation: Matrixdarstellung v. T: ab auf: Spalte j von A Darstellung v. altem Basisvektor in neuer Basis: Spalte j von T Inverse Transformation: Darstellung v. neuem Basisvektor in alter Basis: Spalte i von T Bezug zwischen und