L5.6 Symmetrische, hermitesche, orthogonale und unitäre Matrizen (Abbildungen, die reelles bzw. komplexes Skalarprodukt invariant lassen)
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- Ewald Maurer
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1 L5.6 Symmetrische, heresche, orthogonale und unitäre Matrizen (Abbildungen, die reelles bzw. komplexes Skalarprodukt invariant lassen) In diesem Kapitel kommen Matrizen in Zusammenhang Skalarprodukt vor. In solchen Situationen ist es nützlich, alle Indizes unten zu schreiben. Reelles inneres Produkt in -Vektorraum [siehe L3.1b]: 'reeller Vektorraum' (i) Symmetrie: (iii) Linearität bzgl. Skalarmultiplikation: (ii) Linearität bzgl. Vektoraddition: (iv) Positiv definit: Reelles Skalarprodukt in Standardraum: [Skalarprodukt: alle Indizes unten!] 'wenn, und nur wenn' Skalarprodukt (reell) von transformierten Vektoren Def: 'transponierte Matrix' Def: "Transponierte v. A": (tausche von A die Zeilen und Spalten) [sprich: A-transponiert] Def: ist 'symmetrisch', falls Für symmetrische Matrizen gilt:
2 Komplexes Skalarprodukt, in Standardraum: Wie erreicht man Positivität? gilt nicht! Z.B: Definition: komplexe Konjugation, garantiert Positivität, siehe (5) Positivität: wird üblicherweise weggelassen Beispiel in : Verallgemeinerung für komplexe Vektorräume: komplexes inneres Produkt Komplexes inneres Produkt in -Vektorraum: 'komplexer Vektorraum' [Anwendung: QM!] (i) Symmetrie (bis auf kompl. Konj.): komplexe Konjugation, (iii) Linearität bzgl. Skalarmultiplikation: keine Konjugation (ii) Linearität bzgl. Vektoraddition: (iv) Positiv definit: 'wenn, und nur wenn' Anmerkung:
3 Skalarprodukt (komplex) von transformierten Vektoren [analog zu te 6b] Def: 'heresch konjugierte Matrix' Def: "Heresch konjugierte v. A": (transponierte und komplex konjugierte version von A) [sprich: A-Kreuz, Englisch: A-dagger] Def: ist 'heresch', falls Für heresche Matrizen gilt: und ist reell, denn Verallgemeinerung für nicht-quadratische Matrizen: Allgemeine komplexe Matrix: "Transponierte v. A": (tausche Zeilen Spalten) "heresch konjugierte v. A": (transponiere und komplex konjugiere) Falls A Eigenschaft: [vergleiche (L5.6d)] Beweis: Spezialisierung auf reelle Matrizen:
4 Unitäre und orthogonale Matrizen Welche Abbildungen lassen das Skalarprodukt invariant? (für diese sind auch Längen und Relativwinkel invariant) oder [(2) ist Spezialfall von (1); wir betrachten so zunächst (1), spezialisieren bei Bedarf später auf (2)] explizit: Forderung: Skalarprodukt sei invariant: Transposition: Skalarprodukt ist invariant falls (7) ist erfüllt falls: Kompaktversion des Arguments von te L5.6i: Spaltenvektor: Reihenvektor: Matrixmultiplikation 1xn Matrix nx1 Matrix Analog: Forderung (i.5): Für reelle Matrizen liefert (6): [wie (g.6)]
5 Verallgemeinerung: nicht-triviale Metrik [zur Kenntnisnahme] [also: unterscheide Indizes oben, unten!] explizit: Forderung: Skalarprodukt sei invariant: Transposition: vertausche Reihen/Spalten linker/rechter Index Skalarprodukt ist invariant falls: Für triviale Metrik,, reduziert dies zu (g.8) "Verstecke" Metrik durch runter/hochsetzen der Indizes [zur Kenntnisnahme] Inverse der Metrik: "g zieht Index von oben nach unten" "g zieht Index von unten nach oben" Skalarprodukt ist invariant falls: wobei wir die Metrik tels runter/hochsetzen der Indizes von a " versteckt" haben: "g zieht Index von oben nach unten" "g zieht Index von unten nach oben" Für triviale Metrik:
6 Definition: Unitäre bzw. orthogonale Matrizen: ist 'unitär' falls (äquivalent) ist 'orthogonal' falls (äquivalent) In Komponenten ausgeschrieben, für unitäre Matrix, Gl. (1): Matrixmultiplikation Spalte i v. D, Spalte j v. D Orthogonale Matrix (analog): Fazit: die Spaltenvektoren einer unitären oder orthogonalen Matrix bilden eine orthonormierte Basis. (Analog für Zeilenvektoren.) Beispiele: ist unitär: ist orthogonal:
7 Unitäre bzw. orthogonale Matrizen bilden Gruppen unter Matrixmultiplikation 'Unitäre Gruppe': 'Orthogonale Gruppe': Gruppeneigenschaften (L1c) sind erfüllt: z.b. für unitäre Matrizen: (orthog. analog) (i) Abgeschlossenheit: en und unitär. Dann gilt dasselbe für, denn: (i) Assoziativität: gilt für Matrixmultiplikation [siehe (L5o.1)] (ii) Neutrales Element: ist unitär, d (iii) Inverse: und unitär. Dann gilt dasselbe für denn: so erfüllt (i.1). Determinanten von unitären und orthogonalen Matrizen Allgemein: (L6i.2) Für unitäre Matrizen: Beweis: Für orthogonale Matrizen: Beweis: analog zu (3), aber
8 Orthogonale Matrizen bilden eine Untergruppe von O(n): 'spezielle orthogonale Gruppe': SO(n) ist 'Untergruppe' von O(n), also geschlossen: denn falls gilt auch: SO(3)-Matrizen beschreiben 'Drehungen' im Euklidischen Raum. Alle anderen Matrizen in O(3), d.h. alle, beinhalten auch Spiegelungen. Spiegelung in Unitäre Matrizen bilden eine Untergruppe von U(n): 'spezielle unitäre Gruppe': Anwendung SU(2): QM-Theorie des Drehimpuls L7.3 Diagonalisierung v. symmetrischen und hereschen Matrizen Def: oder ist 'symmetrisch', falls Def: ist 'heresch', falls Eigenschaften von hereschen (also auch von symmetrischen reellen) Matrizen: - immer diagonalisierbar; - alle Eigenwerte sind reell; - Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal - diagonalisierende Ähnlichkeitstransformation ist unitär (bzw. orthogonal)
9 Satz 1: Für heresche Matrizen sind alle EW reell. Beweis: EW-Gleichung: [hier keine ES!] auch reell!! (L5.6e.9) reell (L5.6d.4') reell (L5.6d.7) Satz 2: Für heresche Matrizen sind die EV zu verschiedenen EW orthogonal. Beweis: (L5.6d.4') (L5.6e.8) (L5.6d.4) Sätze 1 & 2 gelten insbesondere auch für symmetrische, reelle Matrizen; für die folgt aus (1) & (3) auch, dass EV rein reell sind, Satz 3: Alle hereschen Matrizen sind diagonalisierbar (gilt insbesondere auch für alle reelle, symmetrischen Matrizen) eine Lösung des EW-Problems für A der Unterraum orthogonal zu dann ist auch in diesem Unterraum, denn: (L5.6e.8) Wähle als Basis für V: sei Basis für V1 In dieser Basis hat A die Form Matrix-Elementen denn wegen (4) werden die Unterräume und von A 'nicht verbunden'.
10 Warum? Allgemein gilt: falls eine Basis ist, und dann hat A in dieser Basis die Darstellung = Bild von Aktuell: also erste Spalte v. A wegen (c.4), also haben alle anderen Spalten die Form (4) & (6) (c.6) Iteriere: sei eine Lösung des EW-Problems für A analoge Argumentation usw. usf. Auf diese Weise findet man eine Basis von n orthogonale EW, in der A diagonal ist: Normiere EW liefert Orthonormalbasis v. EW! Fazit: für heresche Matrizen können die n EV, so gewählt werden, dass sie eine Orthonormalbasis für bilden: nun S die Matrix EV als Spaltenvektoren: Eigenvektor j Dann ist S unitär, denn: Aber, es gilt auch: Folglich wird A durch unitäre Transf. diagonalisiert: Analog: für reelle symmetrische Matrix sind EV rein reell, so: wird also durch orthogonale Transf. (Drehungen) diagonalisiert, :
11 (e.4) explizit: Eigenvektor j Eigenvektor i Fazit: Diagonalisierung einer hereschen Matrix: sei ein Satz von orthonormierten EV der Matrix zugehörigen EW. wird durch folgende "Ähnlichkeitstransformation" "diagonalisiert": herm. konjugierte EV als Zeilenvektoren EV als Spaltenvektoren Analog für symmetrische, reelle Matrizen, Transponierte EV als Zeilenvektoren EV als Spaltenvektoren Anmerkung: reelle symmetrische Matrizen und heresche Matrizen finden in der Physik sehr viele Anwendungen: - kleine Schwingungen um Gleichgewichtslage: EV liefern "Normalmoden", EW deren charakteristische Frequenzen. - Quantenmechanik: Observablen werden durch "heresche Operatoren", salopp gesagt, "heresche Matrizen", beschrieben. Eigenwerte des Hamilton-Operators (Energie-Operators) liefern die "Eigenenergien" eines Quantensystems.
12 Ch. Polynom: Eigenwerte: EV 1: Check: EV 2: Check: Ähnlichkeitstranformation: Check: Zusammenfassung: L5.6 Symmetrische und heresche Matrizen Reelles Skalarprodukt: Komplexes Skalarprodukt: Komplexe Matrix: Transponierte heresch Konjugierte: ist 'symmetrisch', falls Für symmetrische Matrizen gilt: ist 'heresch', falls Für heresche Matrizen gilt: und
13 Zusammenfassung: L5.6 Orthogonale und unitäre Matrizen ist 'orthogonal' falls (äquivalent) Reelles Skalarprodukt invariant: ist 'unitär' falls (äquivalent) Komplexes Skalarprodukt invariant: Spalten (oder Zeilen-)vektoren einer unitären oder orthogonalen Matrix bilden eine orthonormierte Basis. 'Unitäre Gruppe': 'Orthogonale Gruppe': 'spezielle orthogonale Gruppe': 'spezielle unitäre Gruppe': Zusammenfassung: L7.2 Diagonalisierung v. symm. und hereschen Matrizen (oder ) ist 'symmetrisch', falls ist 'heresch', falls Für alle hereschen (insb. auch für alle reelle symmetrischen) Matrizen gilt: - sie sind immer diagonalisierbar - alle Eigenwerte sind reell: - es lässt sich immer eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren finden - Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal: Für heresche Matrizen ist unitär: reell symmetrische orthogonal:
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