6 Symmetrische und hermitesche Matrizen

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1 $Id: quadrat.tex,v.0 0/06/9 :47:4 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 0/06/9 3:46:46 hk Exp $ 6 Symmetrische und hermitesche Matrizen 6.3 Quadratische Funktionen und die Hauptachsentransformation Wir sind gerade mit der Hauptachsentransformation quadratischer Funktionen f(x = (Ax x+b x+c beschäftigt. Im Fall einer quadratischen Form f(x = (Ax x konnten wir dabei eine orthognale Matrix S finden für die S t AS = D eine Diagonalmatrix ist, und bezüglich der durch die Spalten von S gebildeten Orthonormalbasis des R n hatte f die Form f(sx = n i= λ ix i wobei λ,..., λ n die Eigenwerte von A sind. Ist auch ein linearer Term vorhanden, so war die Situation etwas komplizierter. Es traten zwei verschiedene Fälle auf, entweder ist b im Bild von A, und durch Wahl eines Nullpunkts u mit Au = b/ konnten wir den linearen Term zum verschwinden bringen. Andernfalls hatten wir b = b + b als Summe mit b Bild(A, b Bild(A geschrieben, und durch Wahl eines Nullpunkts u mit Au = b / konnte der Vektor b durch b ersetzt werden. Konkret hatten wir mit den Rechnungen zum Beispiel f(x, y, z = x + y + z xy + yz + x + y begonnen. Die Matrix A hat die drei Eigenwerte λ =, λ = und λ 3 = 0. Als normierte Eigenvektoren zu den ersten beiden Eigenwerten hatten sich u = 0, u = ergeben. Dann ist u, u eine Orthonormalbasis des Bildes von A und wir konnten die Orthogonalprojektion b von b auf das Bild sowie den Vektor b als (3 4 b = (b u u + (b u u = ( 4 ( + und b = b b = 4 ( + 4 ( + 4 ( + 4 berechnen. Beachte das b b insbesondere b / Bild(A bedeutet, wir sind also im obigen Fall. Im nächsten Schritt berechnen wir einen passenden Nullpunkt u und hierfür suchen wir einen Vektor u mit Au = b /. Zur Bestimmung von u müssen wir erfreulicherweise kein lineares Gleichungssystem mehr lösen, wir haben schon alle 0-

2 nötigen Daten beisammen. Die Vektoren u, u sind ja Eigenvektoren von A mit Au = λ u und Au = λ u, d.h. wir haben auch b = (b u u + (b u u = b u λ (λ u + b u λ (λ u = b u λ Au + b u = A Au λ ( b u u + b u u λ λ. Folglich können wir als Lösung von Au = b / beispielsweise u := ( b u u + b u u = λ λ ( u + 4 ( u = (5 6 ( 6 (3 + 6 verwenden. Mit u als Koordinatenursprung ist dann wegen f(u = 3 ( 39 auch f(x = (Ax x + b x + 3 ( 39. Jetzt kommen wir erst einmal nicht weiter, und müssen uns überlegen wie man in der Situation des Fall weitermacht. Da die Matrix A symmetrisch ist, haben wir für alle x R n und alle y Kern A stets (Ax y = x (Ay = 0, d.h. Bild und Kern von A stehen senkrecht aufeinander. Dies können wir auch leicht in Satz 7 ablesen, ist u,..., u n eine aus Eigenvektoren bestehende Orthonormalbasis, so ist das Bild gleich dem Erzeugnis der Eigenvektoren u i zu von Null verschiedenen Eigenwerten und der Kern ist der Eigenraum zu λ = 0 also das Erzeugnis der restlichen u i. Haben wir also f(x = (Ax x + b x + c mit b 0 senkrecht auf dem Bild von A, so ist auch Ab = 0. In anderen Worten ist b ein Eigenvektor zum Eigenwert 0 von A. Es gibt nun wieder eine orthogonale Matrix S mit D := S t AS = λ... wobei λ,..., λ n die Eigenwerte von A sind. Dabei numerieren wir die Eigenwerte von A so durch, dass die ersten r := rang A Eigenwerte von Null verschieden sind λ,..., λ r 0 während die hinteren n r Eigenwerte alle gleich Null sind λ r+ = = λ n = 0. Bei der Berechnung des zum Eigenwert 0 gehörenden Teils der aus Eigenvektoren von A bestehenden Orthonormalbasis des R n, hatten wir zuerst eine Basis v r+,..., v n dieses Eigenraums bestimmt, und auf diese dann das Gram Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren angewandt. Wegen Ab = 0, b 0 können 0- λ n,

3 wir die Basis dann mit v r+ = b wählen, und es wird u r+ = v r+ / v r+ = b/ b. Damit ist b = µu r+ mit µ := b. Es folgt f(x := f(sx = (ASx (Sx + b (Sx + c = (S t ASx x + (S t b x + c für alle x R. Dabei gilt Se r+ = u r+, also auch Insgesamt ist somit S t b = µs t u r+ = µs u r+ = µe r+. f(x,..., x n = λ x + + λ r x r + µx r+ + c. = (Dx x + (S t b x + c Damit haben wir auch endlich den zweiten Fall in Satz 0 begründet. Wenden wir dies einmal auf unser Beispiel an. Wir brauchen noch einen Eigenvektor zum Eigenwert 0, und hierfür können wir unseren schon berechneten Vektor b verwenden. Es ist b = 6 ( + 8 = 4 (3 + = 4 ( + = µ := b = ( + also wird u 3 = b b = und die endgültige orthogonale Matrix ist S = 0. Für die transformierte Funktion f(x = f(sx + u ist damit f(x, y, z = x + y + ( + z + 3 ( 39. Das Verfahren zur Berechnung der Hauptachsentransformation läuft wie folgt ab: Gegeben: Eine quadratische Funktion f(x = (Ax x+b x+c mit einer symmetrischen n n Matrix A, einem Vektor b R n und einer Zahl c R. Gesucht: Ein Koordinatenursprung u R n und eine Orthonormalbasis u,..., u n des R n so, dass die Formeln des Satz 0 gelten wenn S die orthogonale Matrix ist deren Spalten die Vektoren u,..., u n sind. Verfahren: Die Rechnung läuft in den folgenden Schritten ab. 0-3

4 . Berechne die Eigenwerte λ,..., λ n von A aufgezählt entsprechend ihrer jeweiligen Vielfachheit. Die Numerierung erfolge so, dass λ,..., λ r 0 und λ r+ =... = λ n = 0 ist, wobei r := rang(a der Rang von A ist. Dabei muss r nicht extra ausgerechnet werden, sondern ergibt sich durch Zählen der Eigenwerte ungleich Null.. Berechne für jeden der von Null verschiedenen Eigenwerte λ von A eine Orthonormalbasis des Eigenraums E λ (A. Dies geschieht wieder indem zuerst durch Lösen des homogenen linearen Gleichungssystems (A λx = 0 irgendeine Basis von E λ (A berechnet wird, und dann auf diese die Gram Schmidt Orthonormalisierung angewandt wird. 3. Fasse die in Schritt ( berechneten Orthonormalbasen zu einer Orthonormalbasis u,..., u r des Bildes von A zusammen. 4. Berechne b := (b u u + + (b u r u r und verwende u := als den Koordinatenursprung. ( b u λ u + + b u r u r λ r 5. Ist r < n, so löse das homogene lineare Gleichungssystem Ax = 0 um eine Basis v,..., v n r des Kerns von A zu erhalten. Im Fall b b wähle die Basis mit v = b b und setze µ := b b. Weiter wende die Gram Schmidt Orthonormalisierung auf v,..., v n r an, und bezeichne die erhaltene Orthonormalbasis des Kerns von A mit u r+,..., u n. 6. Der Koordinatenursprung ist der in Schritt (4 berechnete Punkt u und die aus den Hauptachsen bestehende Orthonormalbasis entsteht durch Zusammensetzen der in den Schritten (3 und (5 berechneten Teilbasen, also u,..., u n. Im Fall b = b sind wir dann im ersten Fall von Satz 0 und für b b sind wir im zweiten Fall mit dem in (5 berechneten µ. Den besonders wichtigen Spezialfall quadratischer Formen wollen wir noch gesondert festhalten. Korollar 6. (Hauptachsentransformation quadratischer Formen Sei A eine reelle, symmetrische n n-matrix und bezeichne λ,..., λ n die mit Vielfachheit aufgezählten Eigenwerte von A. Sei f(x := (Ax x die zu A gehörige quadratische Form. Dann existiert eine orthogonale n n-matrix S mit für alle x R n. f(sx = λ x + + λ n x n 0-4

5 Beweis: In der Notation von Satz 0 sind b = 0 und c = 0. Dann sind wir in Fall und können u = 0 als Koordinatenursprung verwenden. Insbesondere ist f(u = 0 und alles folgt aus Satz Definite Matrizen Zu jeder symmetrischen Matrix A R n n gehört eine quadratische Form f(x = (Ax x, mit der wir uns im letzten Abschnitt ausgiebig beschäftigt haben. Man kann noch etwas weiter gehen und eine Art Skalarprodukt einführen, indem wir für x, y R n einfach x y A := (Ax y definieren. Die meisten Eigenschaften eines Skalarprodukts sind dann erfüllt, für alle x, y, z R n und alle λ R haben wir x + y z A = (A(x + y z = (Ax + Ay z = (Ax z + (Ay z = x z A + y z A x y + z A = (Ax (y + z = (Ax y + (Ax z = x y A + x z A, λx y A = (A(λx y = (λax y = λ((ax y = λ x y A, x λy A = (Ax (λy = λ((ax y = λ x y A und y x A = (Ay x = y (Ax = (Ax y = x y A. Wir nennen die Matrix A positiv definit wenn A tatsächlich ein Skalarprodukt ist, wenn also auch (Ax x > 0 für alle 0 x R n gilt. In anderen Worten soll die quadratische Form f die Bedingung f(x > 0 für alle 0 x R n erfüllen. Ähnliche Überlegungen kann man auch im komplexen Fall anstellen. Ist A C n n eine hermitesche Matrix, so können wir genau wie im reellen Fall ein Skalarprodukt x y A := (Ax y definieren, und dieses erfüllt für alle x, y, z C n und alle λ C die Gleichungen x + y z A = (A(x + y z = (Ax + Ay z = (Ax z + (Ay z = x z A + y z A x y + z A = (Ax (y + z = (Ax y + (Ax z = x y A + x z A, λx y A = (A(λx y = (λax y = λ((ax y = λ x y A, x λy A = (Ax (λy = λ((ax y = λ x y A und y x A = (Ay x = y (Ax = (Ax y = x y A. Auch in diesem Fall nennen wir die Matrix A positiv definit wenn A ein Skalarprodukt ist. Dies führt uns auf die folgende Definition. Definition 6.9: Sei A eine symmetrische n n Matrix über K = R oder eine hermitesche n n Matrix über K = C. Dann heißt A. positiv definit wenn (Ax x > 0 für alle 0 x K n ist, 0-5

6 . negativ definit wenn (Ax x < 0 für alle 0 x K n ist, 3. positiv semidefinit wenn (Ax x 0 für alle x K n ist, 4. negativ semidefinit wenn (Ax x 0 für alle x K n ist und 5. indefinit wenn A weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist. Dass die Matrix A indefinit ist, bedeutet also das es Vektoren x, y K n mit (Ax x > 0 und (Ay y < 0 gibt. Man kann die Definitheit einer Matrix an ihren Eigenwerten ablesen. Satz 6. (Charakterisierung definiter Matrizen über Eigenwerte Sei A eine symmetrische n n Matrix über K = R oder eine hermitesche n n Matrix über K = C. Bezeichne λ,..., λ n R die mit Vielfachheit aufgezählten Eigenwerte von A. Dann ist A genau dann. positiv definit wenn λ,..., λ n > 0 ist,. negativ definit wenn λ,..., λ n < 0 ist, 3. positiv semidefinit wenn λ,..., λ n 0 ist, 4. negativ semidefinit wenn λ,..., λ n 0 ist und 5. indefinit wenn es i, j n mit λ i > 0 und λ j < 0 gibt- Beweis: Nach Korollar 9 existiert im reellen Fall eine orthogonale Matrix S R n n und im komplexen Fall eine unitäre Matrix S C n n mit λ D := S AS =.... Wir behaupten das A dasselbe Defininiheitsverhalten wie D hat, also genau dann positiv definit, negativ definit, positiv semidefinit, negativ semidefinit oder indefinit ist wenn D dies ist. Da S insbesondere invertierbar ist, ist nämlich jeder Vektor y K n von der Form y = Sx mit x K n, und für jedes x K n gilt weiter λ n (ASx (Sx = (S ASx x = (Dx x, und die Zwischenbehauptung ist eingesehen. Für alle x K n gilt nun (Dx x = n λ i x i, i= 0-6

7 und damit sind alle Aussagen klar. Wir wollen jetzt zeigen das die Determinante einer positiv definiten Matrix stets positiv ist. Etwas allgemeiner trifft dies sogar auf alle quadratischen Unterdeterminanten zu. Lemma 6.3 (Determinanten positiv definiter Matrizen Seien K {R, C}, n N mit n und A = (a ij i,j n K n n eine positiv definite Matrix. Weiter seien r n und Indizes k < k <... < k r n gegeben. Dann gilt a k,k a k,k r..... > 0. a kr,k a kr,kr Beweis: Wir zeigen zunächst das det A > 0 ist. Nach Satz sind die mit Vielfachheit aufgezählten Eigenwerte λ,..., λ n > 0 von A alle positiv und nach 5.Korollar 8 ist det A = λ... λ n > 0. Nun sei eine Untermatrix B := a k,k a k,k r..... a kr,k a kr,kr von A gegeben. Wir behaupten das dann auch B positiv definit ist. Sei hierzu 0 x K r gegeben, und definiere den Vektor x K n durch Auffüllen der fehlenden Stellen mit Nullen, also x k i := x i für i r und x i := 0 für i {,..., n}\{k,..., k r }. Dann ist auch x 0 und (Bx x = (Ax x > 0. Damit ist B positiv definit, und wie bereits gezeigt folgt hieraus auch det B > 0. Zum Rechnen mit kleineren konkreten Matrizen kann Satz etwas mühsam sein, da wir zu seiner Anwendung ja erst einmal die Eigenwerte von A ausrechnen müssen. Manchmal praktischer ist eine Umkehrung des vorigen Lemmas, die wir nun formulieren wollen. Satz 6.4 (Determinantenkriterium für positive Definitheit Sei A = (a ij i,j n eine symmetrische n n Matrix über R. Dann ist A genau dann positiv definit, wenn gelten. a > 0, a a a a > 0, a a a 3 a a a 3 a 3 a 3 a a a n > 0,... und..... > 0 a n a nn

8 Auf einen Beweis dieses Satzes wollen wir verzichten. Beispielsweise haben wir damit für symmetrische Matrizen Rechnen wir einige Beispiele:. Sei ( a b positiv definit a > 0 und ad b > 0. b d A = ( 3 Dann ist a = > 0 aber det A = < 0, d.h. A ist nicht positiv definit... Sei Diesmal haben wir a = > 0, 5 A := > 0, aber = = 4, d.h. auch diese Matrix ist nicht positiv definit. 3. Schließlich sei Diesmal haben wir a = > 0, 5 A = = > 0 und d.h. die Matrix A ist positiv definit = = > 0, 7 Orthogonale und unitäre Matrizen Bereits in 6. hatten wir den Begriff einer orthogonalen Matrix im reellen Fall und einer unitären Matrix im komplexen Fall eingeführt. Wir hatten auch verschiedene 0-8

9 Beschreibungen für die Orthogonalität einer Matrix A gesehen A ist orthogonal A t A = AA t = und entsprechend im komplexen Fall A ist unitär A A = AA = Die Spalten von A sind eine Orthonormalbasis des R n Für alle x, y R n gilt (Ax (Ay = x y Die Spalten von A sind eine Orthonormalbasis des C n Für alle x, y C n gilt (Ax (Ay = x y. In diesem Abschnitt interessiert uns vor allem der letztgenannte Aspekt. Mit x = y folgt für eine orthogonale beziehungsweise unitäre n n Matrix A auch Ax = (Ax (Ax = x x = x für jedes x im R n beziehungsweise C n, d.h. die Matrix A erhält die Länge von Vektoren. Weiter folgt, dass eine orthogonale Matrix A auch den Winkel φ zwischen Vektoren x, y R n erhält, denn dieser bestimmt sich ja durch die Formel x y = x y cos φ, und da A Länge und Skalarprodukt nicht ändert, haben wir auch (Ax (Ay = Ax Ay cos φ. Orthogonale Matrizen sind also die linearen Abbildungen, die Längen und Winkel erhalten. Nehmen wir Verschiebungen hinzu, so ergeben sich die sogenannten Bewegungen, dies sind die Abbildungen der Form f : R n R n ; x Ax + u mit einer orthogonalen n n Matrix A und einem Vektor u R n. Wir halten zwei Grundtatsachen über orthogonale und unitäre Matrizen fest: Satz 7. (Eigenwerte und Determinante orthogonaler und unitärer Matrizen Sei A eine orthogonale n n Matrix über K = R oder eine unitäre n n Matrix über K = C. Dann gelten: (a Ist λ C ein komplexer Eigenwert von A, so ist λ =. (b Ist K = R so gilt det A = oder det A =. 0-9

10 (c Ist K = C so gilt det A =. (d Ist K = R und ist die Dimension n ungerade und det A =, so ist ein Eigenwert von A. (e Ist K = R und ist die Dimension n gerade und det A =, so ist ein Eigenwert von A. Beweis: (a Da eine orthogonale Matrix als komplexe Matrix unitär ist, können wir uns auf den Fall K = C beschränken. Sei 0 u C n ein Eigenvektor zu λ, also Au = λu. Dann erhalten wir also wegen u = 0 auch λ =. (c Es gilt u = Au = λu = λ u, det A = det(a det A = det(a det(a = det(a det(a t = det(a det(a = det(aa =, also ist auch det A =. (b Da A komplexe Matrix unitär ist, gilt nach (c zunächst det A = und wegen det A R ist det A {, }. (d,e Es ist χ A ( = det( A = det(aa t A = det(a det(a t = det(a det(a = ( n det(a det( A = ( n det(aχ A (. In den beiden Fällen n ungerade, det A = und n gerade, det A = ist ( n det A =, also χ A ( = χ A (, und dies bedeutet χ A ( = 0, d.h. ist ein Eigenwert von A. Die Bewegungen f(x = Ax + u bei denen A eine orthogonale Matrix mit det A = ist nennt man auch eigentliche Bewegungen. Dies sind diejenigen Bewegungen, die sich tatsächlich physikalisch realisieren lassen. Die Bewegungen mit det A = haben immer einen Spiegelungsanteil. Wir führen jetzt eine Bezeichnung für die Menge aller orthogonalen beziehungsweise unitären Matrizen ein. Hierzu sei n N mit n gegeben. Dann seien O n R := {A R n n A ist orthogonal} (Orthogonale Gruppe, SO n R := {A O n R det A = } (Spezielle orthogonale Gruppe, U n C := {A C n n A ist unitär} (Unitäre Gruppe, SU n C := {A U n C det A = } (Spezielle unitäre Gruppe. 0-0

11 Oft verwendete alternativen Schreibweisen für diese Mengen sind O(n = O n R für die orthogonale Gruppe, SO(n = SO n R für die spezielle orthogonale Gruppe, U(n = U n C für die unitäre Gruppe und SU(n = SU n C für die spezielle unitäre Gruppe. Das Wort Gruppe hatten wir schon einmal in I. 0. im Zusammenhang mit der symmetrischen Gruppe bei der Einführung von Determinanten verwendet. Genau wie damals wollen wir hier keine abstrakte Definition einer Gruppe geben, gemeint ist das Produkte und Inverse von Elementen aus einer Mengen O n R, SO n R, U n C, SU n C wieder in der entsprechenden Menge sind. In der Vorlesung wurde dies nur mitgeteilt, aber an dieser Stelle wollen wir es kurz vorrechnen. Angenommen A, B O n R sind zwei orthogonale Matrizen derselben Größe. Dann ist auch das Produkt AB invertierbar mit (AB = B A = B t A t = (AB t, d.h. es ist auch AB O n R. Außerdem ist auch (A = A = A tt = (A t, d.h. A O n R. Für die unitäre Gruppe U n C ist die Rechnung und die Aussagen über die beiden speziellen Gruppen SO n R und SU n C folgt dann aus den Eigenschaften der Determinante. Sind beispielsweise A, B SO n R, so wissen wir bereits AB, A O n R zusätzlich sind also AB, A SO n R. det(ab = det(a det(b = und det(a = det A =, 7. Spiegelungen Wir werden jetzt einen speziellen Typ orthogonaler Abbildungen untersuchen, die Spiegelung an einer Hyperebene. Im zweidimensionalen Fall n = sind dies Geradenspiegelungen und im dreidimensionalen Fall n = 3 handelt es sich um Ebenenspiegelungen. Da die Dimension für diese Überlegungen keine Rolle spielt, wollen wir hier gleich den n-dimensionalen Fall behandeln, und eine Hyperebene des R n war dann definitionsgemäß ein (n -dimensionaler affiner Teilraum des R n. Im letzten Semester hatten wir im Abschnitt I..3 bereits eine auch hier nützliche Beschreibung von Hyperebenen kennengelernt. Jede solche Hyperebene E ließ sich in Hessescher Normalform als E = {x R n u x = c} schreiben, wobei c R ist und u ein senkrecht auf E stehender Vektor der Länge u = ist, ein sogenannter Normalenvektor auf E. Da wir hier an orthogonalen Matrizen, also an linearen Abbildungen, interessiert sind, brauchen wir Hyperebenen durch den Nullpunkt, also c = 0. 0-

12 Eine Hyperebene durch den Nullpunkt läßt sich somit in der Form x u E = {x R n u x = 0} λ u beschreiben, wobei u ein Normalenvektor auf E ist. Wir wollen die Spiegelung S an der Hyperebene E berechnen. Sei also x R n. Dann schreiben wir x x = x + λu E mit einem Vektor x E und einem λ R. Sx Beim Spiegeln an E bleibt der Anteil x von x in E erhalten während der zu E senkrechte Anteil λu zu λu wird, d.h. insgesamt wird der Punkt x auf Sx = x λu abgebildet. Den zu u parallelen Anteil λu hatten wir auch bereits im I..3 des letzten Semesters ausgerechnet, wegen u = ist λ = u x, also λu = (u xu. Für das Bild von x unter der Spiegelung folgt die Spiegelungsformel Sx = x λu = x + λu λu = x λu = x (u xu. Damit haben wir die Spiegelung an E berechnet. Auch als Matrix bezüglich der kanonischen Basis des R n läßt sich S leicht berechnen, es ist ja Sx = x (u xu = x u(u x = x uu t x = ( uu t x, als Matrix ist also S = uu t. Beachte dabei das das Produkt eines Spaltenvektors mit n Einträgen und eines Zeilenvektors mit n Einträgen eine n n-matrix ist. Wir wollen zwei Beispiele rechnen. Sei g die Gerade g := ( 3 4 = {( 3t 4t t R} im R. Senkrecht auf dem Richtungsvektor steht beispielsweise v = ( 4 3 und normiert u = v v = ( 4 5 v = Für die Spiegelungsmatrix ergibt sich S = uu t = 5 vvt = 5 ( 4 3 (4 3 = ( = (

13 Als ein zweites Beispiel betrachte die Ebene E := {(x, y, z R 3 x + y z = 0} im R 3. Dann steht der Vektor v = (,, senkrecht auf E, und wegen v = 3 ist u := 3 v = 3 ein Normalenvektor von E. Als die Spiegelungsmatrix an der Ebene E ergibt sich S = uu t = 4 4 = Die Formel für Spiegelungen an Ebenen die nicht durch den Nullpunkt gehen läßt sich auf unsere Spiegelungsformel zurückführen. Angenommen die Hyperebene E R n ist in Hessescher Normalform als E = {x R n u x = c} gegeben, wobei u ein Normalenvektor auf E ist und c R ist. Wähle dann irgendeinen Punkt x 0 E, also u x 0 = c. Die Spiegelung kann man dann realisieren, indem zuerst x 0 nach 0 verschoben wird, dann an der zu E parallelen Hyperebene durch 0 gespiegelt wird, und anschließend 0 wieder nach x 0 zurückgeschoben wird. Die zu E parallele Hyperebene durch 0 hat dabei auch den Normalenvektor u. Wie sieht das als Formel aus? Sei x R n. Beim Verschieben geht x auf x x 0, und beim Spiegeln an der parallelen Hyperebene geht dieser Punkt auf x x 0 (u (x x 0 u = x x 0 (u xu + (u x 0 u = x x 0 (u xu + cu. Dann wird zurückgeschoben und als Spiegelung ergibt sich S c x = x (u xu + cu = Sx + cu, wobei S = uu t ist. Wir wollen nun einen Satz angeben der die besondere Bedeutung von Spiegelungen für die orthogonale Gruppe herausstellt, überhaupt jede orthogonale Matrix läßt sich als ein Produkt von Spiegelungen schreiben. Satz 7.: Jede orthogonale n n Matrix läßt sich als ein Produkt von höchstens n Spiegelungen schreiben. Auf einen Beweis müssen wir hie leider verzichten. Beachten wir das eine Spiegelung offenbar die Determinante hat, so hat ein Produkt einer geraden Anzahl von Spiegelungen die Determinante und ein Produkt einer ungeraden Anzahl von Spiegelungen hat die Determinante. Schauen wir uns einmal an was der Satz für die Ebene n = sagt. Nach dem Satz ist jede orthogonale Matrix entweder eine Spiegelung oder das Produkt von zwei Spiegelungen. Produkte von zwei Spiegelungen im R stellen sich 0-3

14 als Drehungen heraus, d.h. jede orthogonale -Matrix ist eine Spiegelung oder eine Drehung. Für unitäre Matrizen gibt es einen ähnlichen Satz, anstelle von Spiegelungen muss man aber auch die etwas allgemeineren Quasispiegelungen erlauben. Diese Dinge wollen wir hier aber nicht näher ausführen. 7. Drehungen Die wohl wichtigste Sorte othogonaler Matrizen sind die Drehungen. Wir werden diese im zwei und im dreidimensionalen Fall behandeln. In Dimension kennen wir uns dabei bereits bestens aus, die Drehung um einen Winkel φ wird durch die Matrix ( cos φ sin φ D(φ = sin φ cos φ beschrieben, wie wir schon in Abschnitt I.. im letzten Semester eingesehen haben. Im zweidimensionalen Fall kennen wir damit bereits alle orthogonalen Matrizen, es gilt nämlich, wie schon oben angedeutet: Satz 7.3 (Orthogonale Matrizen Ist A eine orthogonale Matrix, so ist A im Fall det A = eine Drehung und im Fall det A = eine Spiegelung. Beweis: Auf den folgenden Beweis hatten wir in der Vorlesung verzichtet. Sei ( a b A = O c d R. Zunächst nehmen wir ad bc = det A = an. Dann ist A invertierbar mit ( ( a c d b = A t = A = b d c a es müssen also a = d und c = b gelten. Damit wird = ad bc = a + b, es gibt also einen Winkel φ mit a = cos( φ = cos φ und b = sin( φ = sin φ. Folglich sind auch d = a = cos φ und c = b = sin φ und wir haben A = D(φ. Damit ist der Fall det A = vollständig behandelt. Nun nehme ad bc = det A = an. In diesem Fall haben wir ( ( a c d b = A t = A = b d c a also d = a und c = b sowie = ad bc = a b, also ist wieder c +d = a +b =. Somit gibt es einen Winkel φ mit c = sin(φ und d = cos(φ, also auch a = cos(φ 0-4

15 und b = sin(φ. Ist nun u = ( cos φ sin φ ( cos, so ist S u = uu t = φ sin φ cos φ sin φ cos φ sin φ ( cos(φ sin(φ = sin(φ cos(φ = A also ist A die Spiegelung an R u. 0-5