Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik

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1 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Sebastian Schwarz SS Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt Aufgabe 6 (Übung) Betrachten Sie A =. a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von A und geben Sie eine orthogonale Matrix S an, so dass S AS Diagonalgestalt hat. b) Bestimmen Sie eine Matrix W R derart, dass W = A gilt. a) Wir berechnen das charakteristische Polynom (vgl. Satz 8. der Vorlesung). Für alle λ C gilt: λ p A (λ) = det(a λi ) = λ λ ( ) λ λ = λ = ( λ) λ λ λ = ( λ) λ Entw. nach = ( λ) λ λ -ter Zeile λ = ( λ)(( λ) ) = ( λ)( λ )( λ ) = ( λ)( λ)( λ) Nach Satz 8. der Vorlesung sind die Eigenwerte von A gerade die Nullstellen von p A, also, und. Nach Satz 8. der Vorlesung ist für jeden Eigenwert λ von A der Eigenraum E A (λ) gegeben durch E A (λ) = Kern(A λi ). Wir berechnen diese mit Hilfe des Gaußalgorithmus und des ( )-Tricks:

2 E A (): ( ) Also ist E A () = lin{v } mit v = bzw. b = v v =. E A (): Also ist E A () = lin{v } mit v = bzw. b = v v =. E A (): ( ) ( ) ( ) ( ) Also ist E A () = lin{v } mit v = bzw. b = v v = Nach Satz 8.8 der Vorlesung sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten von symmetrischen Matrizen immer orthogonal zueinander. Die normierten Vektoren b,b,b bilden deshalb die orthogonale Matrix S = (b,b,b ) =..

3 Es gilt A = SDS T mit D =. b) Definiere sowie W = SD S T. Dann ist in der Tat D = W = (SD S T ) = SD S T S D }{{} S T = SD D S T = S(D ) S T = SDS T = A. =I Ausrechnen liefert: W = Aufgabe (Tutorium) Betrachten Sie B = a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von B und geben Sie eine orthogonale Matrix T an, so dass T BT Diagonalgestalt hat. b) Berechnen Sie B k für alle k N. (a) Wir berechnen das charakteristische Polynom (vgl. Abschnitt 8. der Vorlesung). Für alle λ C gilt: p B (λ) = λ det(b λi 4 ) = λ ( ) λ λ = λ λ λ (D) 4 λ 4 λ = (4 λ) λ λ 4 4 λ ( ) λ = (4 λ) λ λ Entw. nach = (4 λ) λ 4-ten Zeile.

4 λ = (4 λ) λ Entw. nach = (4 λ) λ -ten Zeile λ = (4 λ) λ (D) 4 λ 4 λ = (4 λ) λ = (4 λ) ( λ ) = λ(4 λ) Nach Satz 8. der Vorlesung sind die Eigenwerte von B gerade die Nullstellen von p B, also und 4. Nach Satz 8. der Vorlesung ist für jeden Eigenwert λ von B der Eigenraum E B (λ) gegeben durch E B (λ) = Kern(B λi 4 ). Wir berechnen diese mit Hilfe des Eliminationsverfahrens nach Gauß und des ( )-Ergänzungstricks: E B (): ( ) ( ) ( 4) ( ) Also ist E B () = lin{v } mit v = bzw. b = v v =. E B (4): ( ) ( ) 4

5 Also ist E B (4) = lin { q, q, q 4 } mit q =, q =, q 4 =. Setze Dann ist auch E B (4) = lin{v,v,v 4 }. v = q, v = q 4 q =, v 4 = q 4. Nach Satz 8.8 der Vorlesung sind Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten von symmetrischen Matrizen immer orthogonal zueinander. Wir brauchen also nur den berechneten Erzeuger v,v,v 4 von E B (4) dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren zu unterziehen: Die ersten beiden Vektoren sind bereits orthogonal und müssen nur noch normiert werden: b = v v =, b = v v = Ferner berechnet man b 4 = v 4 (v 4 b ) b (v 4 b ) b = } {{ }} {{ } = = und b 4 =. Mit der orthogonalen Matrix T = (b,b,b,b 4 ) = und der Diagonalmatrix gilt dann nach Satz 8.8 der Vorlesung. 4 D = 4 4 B = T DT T 5

6 (b) Es gilt für alle k N: B k = (T DT T ) k = T D T T DT T DT }{{} = T D k T T =I 4 Wegen D k = 4 k D folgt: B k = T 4 k DT T = 4 k T DT T = 4 k B Aufgabe 8 (Übung) a) Sei α R. Untersuchen Sie die Matrix A α = 8 α α auf Definitheit. b) Seien A = und B = β α ähnliche Matrizen. Finden Sie die möglichen Werte von α,β R. a) Wir versuchen die Eigenwerte der Matrix A α abzuschätzen. Für alle λ C gilt: λ p Aα (λ) = det(a α I λ) = 8 λ α α λ Sarrus = ( λ)(8 λ)( λ) 4( λ) α ( λ) = ( λ)((8 λ)( λ) (4 α )) = ( λ)(λ 9λ 4 α ) Daraus lesen wir ab, dass λ = ein Eigenwert von A α ist für alle α R. Also ist A α, nach der Charakterisierung im Abschnitt 8. der Vorlesung, nie negativ (semi-) definit. Die zwei anderen Eigenwerte von A α sind die Nullstellen des Polynoms λ 9λ 4 α und somit gegeben durch λ = 9 8 4(4 α ) λ = 9 8 4(4 α ) Wegen λ > bestimmt nur das Vorzeichen von λ die Definitheit von A α. Ablesen liefert: ist α <, so ist λ > und damit A α positiv definit. Ist α =, so ist λ = und damit A α positiv semidefinit. Ist schließlich α >, so ist λ < und damit A α indefinit. b) Die Spur und die Determinante einer Matrix sind invariant unter einer Ähnlichkeitstransformation. Sind A und B also ähnlich, so haben sie dieselbe Spur und Determinante. Es gilt Spur(A) = 4 =, Spur(B) = 8 α = 5 α. 6

7 Somit können A und B nur ähnlich sein, wenn α = gilt. Zudem gilt ( ) ( 5) det(a) = 4 5 = ( ) = = sowie det(b) = β = 8β 8 = 8( β), = ( ) β Entw.. Z. ( ) ( ) womit β = gelten muss. Da dies die einzige Möglichkeit ist, sind die Matrizen nach Aufgabenstellung für α =, β = ähnlich. Aufgabe 9 (Tutorium) Bestimmen Sie die Eigenwerte und zugehörigen Eigenräume von 4 A = und B =. Welche algebraischen und geometrischen Vielfachheiten haben die Eigenwerte? Welche Matrix ist diagonalisierbar? Ermitteln Sie, falls möglich, reguläre Matrizem S A bzw. S B so, sodass SA AS A bzw. SB BS B Diagonalgestalt hat. Für die Matrix A gilt λ 4 p A (λ) = 4 6 λ 4 6 λ ( ) 8 λ 8 λ = 4 6 λ 4 6 λ 8 λ = λ 6 λ 4 6 λ = (8 λ) λ 4 6 λ Entw.. Z. = (8 λ)(( λ)(6 λ) 4) = (8 λ)(λ 6λ 4) = (8 λ). Somit ist λ = 8 der einzige Eigenwert von A. Er hat die algebraische Vielfachheit. Nach Vorlesung ist der Eigenraum E A (8) gerade Kern(A 8I ). Um diesen zu berechnen, betrachten wir 4 4 ( ) A 8I = 4 4 ( ) 4

8 Mit dem ( )-Trick ergibt sich E A (8) = lin{, } = lin{, }. Der Eigenwert 8 hat somit die geometrische Vielfachheit. Da diese nicht mit der algebraischen Vielfachheit übereinstimmt, ist A nach Satz 8.6 nicht diagonalisierbar, das heißt die geforderte Matrix S A existiert nicht. Für die Matrix B gilt ( λ) λ p B (λ) = λ λ( λ) λ = λ ( λ) λ Entw.. Z. = ( ) ( ) λ( λ) λ ( λ) = ( λ) λ ( λ) = (λ )( λ). Somit sind die Eigenwerte von B gegeben durch, und, jeweils mit algebraischer Vielfachheit. Für die Eigenräume berechnen wir Kern(B λi ), wobei λ die drei Eigenwerte seien. Es folgt B I = Mit dem ( )-Trick folgt, dass Weiter gilt ( ) ( ) E B () = lin{ }. B I = ( ) ( ). Mit dem ( )-Trick folgt und analog E B ( ) = lin{ } E B ( ) = lin{ }. 8

9 Die geometrischen Vielfachheiten der drei Eigenwerte sind dementsprechend auch. Somit stimmen diese mit den algebraischen Vielfachheiten überein und B ist diagonalisierbar. Laut Vorlesung (nach Satz 8.6) erhalten wir eine Matrix S B, indem wir die Eigenvektoren als Spalten benutzen. S B ist also beispielsweise gegeben durch S B = Es gilt dann Aufgabe (Übung) B BS B = S Seien n N und A,B K n n. Man nennt A und B simultan diagonalisierbar, falls es eine reguläre Matrix S C n n gibt, so dass sowohl S AS, als auch S BS Diagonalgestalt haben. Zeigen Sie: a) Sind A und B simultan diagonalisierbar, so gilt AB = BA. b) Gilt AB = BA und haben überdies alle Eigenwerte von A die algebraische Vielfachheit eins, so sind A und B simultan diagonalisierbar. Hinweis: Man kann ebenfalls zeigen, dass A und B simultan diagonalisierbar sind, falls AB = BA gilt sowie A und B diagonalisierbar sind. a) Gelte nach Voraussetzung etwa A = SD S bzw. B = SD S Diagonalmatrizen D,D C n n. Es folgt: AB = SD S S }{{} D S = SD D S = SD D S = SD S S }{{} D S = BA I n I n b) Nach Abschnitt 8. der Vorlesung gilt für jeden Eigenwert λ von A m g (λ) m a (λ) n, wobei m g (λ) bzw. m a (λ) die geometrische bzw. algebraische Vielfachheit des Eigenwertes bezeichnen. Nach Voraussetzung ist also m g (λ) = m a (λ) = für jeden Eigenwert λ von A. Nach Satz 8.8 der Vorlesung ist also A diagonalisierbar. Seien etwa b,...,b n linear unabhängige Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ,...,λ n von A. Wegen m g (λ j ) = für alle j {,...,n}, ist E A (λ j ) = lin { b j } für alle j {,...,n}. Mit der Voraussetzung der Vertauschbarkeit folgt ABb j = BAb j = λ j Bb j, also Bb j E A (λ j ) für alle j {,...,n}. Wegen dim(e A (λ j )) = m g (λ j ) =, existiert ein µ j C mit Bb j = µ j b j für alle j {,...,n}. Damit sind die Eigenwerte von B gegeben durch µ,...,µ n mit den Eigenvektoren b,...,b n. Mit S = (b,...,b n ) haben sowohl S AS, als auch S BS Diagonalgestalt. 9

10 Aufgabe (Tutorium) a) Seien β R, n N. Untersuchen Sie die Matrix B β = 4 β 4 β 4 β 4 β auf Definitheit. b) Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Begründen Sie ihre Antwort. (i) Ist A R n n und λ C ein Eigenwert von A, so ist auch λ ein Eigenwert von A. (ii) Ist A R n n und λ R ein Eigenwert von A, so existiert ein reeller Eigenvektor x R n \ {} von A zum Eigenwert λ. (iii) Sind A,B C n n und ist λ C ein Eigenwert von A sowie µ C ein Eigenwert von B, so ist λµ ein Eigenwert von AB. (iv) Ist A C n n und λ C ein Eigenwert von A, so ist λ ein Eigenwert von A. (v) Ist A R n n und n gerade/ungerade, so besitzt A einen reellen Eigenwert. (vi) Ist A C n n unitär und λ C ein Eigenwert von A, so gilt λ =. a) Wir bestimmen die Eigenwerte der Matrix B β. Für alle λ C gilt: χ Bβ (λ) = det(b β I λ) = λ 4 β λ 4 β ( ) 4 β 4 β λ = λ 4 β λ 4 β (D) = (β λ) λ 4 β λ β λ β λ 4 β = (β λ) λ 8 λ 4 β Entw. nach = (β λ) λ -ten Zeile 8 λ = (β λ) λ = (β λ)( λ) λ λ λ = (β λ)( λ) λ Entw. nach = (β λ)( λ)( λ) -ten Zeile Also ist sind die Eigenwerte von B gegeben durch β, und. Nach der Charakterisierung der Definitheit im Abschnitt 8.9 der Vorlesung, ist B β indefinit für β <, positiv semidefinit für β = und positiv definit für β >. b) (i) Die Aussage ist wahr. Sei x = (x,...,x n ) C n \ {} ein Eigenvektor zum Eigenwert λ. Mit x = (x,...,x n ) C n \ {} gilt nun Ax = Ax = λx = λx, ( )

11 womit x ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ ist. Die erste Gleichheit lässt sich dabei einfach mit der Definition des Matrix-Vektorprodukts und der Tatsache, dass A reelle Einträge hat, nachrechnen. (ii) Die Aussage ist wahr. Sei v C n \ {} ein Eigenvektor zum Eigenwert λ. Ist Rev =, also v = iw für ein w R n \ {}, so ist iv ein reeller Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Ist Rev, So ist Rev = vv ein reeller Eigenvektor zum Eigenwert λ, denn nach a) ist neben v auch v ein Eigenvektor zum Eigenwert λ = λ, somit auch Rev als Linearkombination dieser beiden. ( ) ( ) (iii) Die Aussage ist falsch. Seien etwa A = und B =. Dann haben beide Matrizen das charakteristische Polynom λ(λ ) und somit die Eigenwerte und. Ein mögliches Produkt zweier Eigenwerte ist somit, was jedoch kein Eigenwert von AB = ist. (iv) Sei v C n \ {} ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Dann gilt A v = A(Av) = λav = λ v, womit v ebenfalls ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ ist. ( ) (v) Ist n gerade, so ist die Aussage falsch. Die Matrix A = hat das charakteristische Polynom λ und somit nur die nicht-reellen Eigenwerte ±i. Ist n ungerade, so ist die Aussage wahr, denn das charakteristische Polynom ist reell und hat einen ungeraden Grad. So ein Polynom besitzt mindestens eine reelle Nullstelle. (vi) Die Aussage ist wahr. Für unitäre Matrizen gilt (Ax Ax) = (x x). Sei λ C ein Eigenwert von A und v ein zugehöriger Eigenvektor. Dann folgt (v v) = (Av Av) = (λv λv) = λλ(v v) = λ (v v). Wegen (v v) = v folgt λ = und somit λ =.