2.2 Eigenwerte und Eigenvektoren

Transkript

1 2.2. Eigenwerte und Eigenvektoren Eigenwerte und Eigenvektoren Lineare Abbildungen werden je nach Basiswahl durch unterschiedliche Matrizen beschrieben. Besonders einfach ist die Diagonalform. Wir werden in diesem Abschnitt der Frage nachgehen, welche linearen Abbildungen sich durch eine Diagonalmatri darstellen lassen. Schauen wir uns zunächst genauer an, welche Wirkung eine durch eine Diagonalmatri definierte lineare Abbildung hat Beispiel Sei L:R 2 R 2 die durch Multiplikation mit der Matri A = 2 definierte Abbildung. Dann gilt: Le 2 = Ae = 2 = e 2. Der Vektor e behält also unter der Abbildung seine Richtung, wird aber um den Faktor gestaucht. Dasselbe gilt für alle Vektoren, die in der -Achse liegen. Die -Achse als 2 Ganzes bleibt also stabil. WeiteristLe 2 = Ae 2 = = 2e 2 2.DerVektore 2 wirdalsovonderabbildung L um den Faktor 2 gestreckt, ebenso wie alle Vielfachen von e 2. Die -Achse bleibt also ebenfalls stabil unter L Definition Eine Zahl λ R ist ein Eigenwert einer linearen Abbildung L:V V, falls ein Vektor v V eistiert mit Lv = λ v. In diesem Fall bezeichnet man v als einen zum Eigenwert λ gehörigen Eigenvektor. Jedes Vielfache w = αv von v ist ebenfalls ein Eigenvektor zum Eigenwert λ. Denn Lw = αlv = αλv = λlw. Die von v aufgespannte Gerade linv bleibt unter der Abbildung L stabil, es ist eine Eigenrichtung von L Beispiele. Die durch die Matri A = 2 definierte Abbildung hat 2 den Eigenvektor e zum Eigenwert und e 2 2 zum Eigenwert Sei B =. Die Vektoren v 4 = und v 2 = sind Eigenvektoren von L B. Denn Bv = = 5v und Bv 2 = = 2v 2 2. Die zu v und v 2 gehörigen Eigenwerte sind also 5 bzw Definition Eine lineare Abbildung L: V V heisst diagonalisierbar, wenn es eine Basis B von V gibt, so dass M B L eine Diagonalmatri ist. Beispielsweise sind ebene Spiegelungen diagonalisierbar, Drehungen dagegen nicht Satz Die Abbildung L ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren in V besitzt für n = dimv.

2 4 Kapitel 2. Lineare Algebra II Beweis. Für eine Basis B von V gilt genau dann λ M B L =..., λ n wenn Lv j = λ j v j für j =,...,n. Das bedeutet aber gerade, dass die Basis B nur aus Eigenvektoren von L besteht. q.e.d. Man kann Eigenwerte, Eigenvektoren und Diagonalisierbarkeit auch für Matrizen definieren Definition Eine Zahl λ R ist ein Eigenwert einer n n-matri A, falls ein Vektor v R n eistiert mit Av = λ v. In diesem Fall bezeichnet man v als einen zum Eigenwert λ gehörigen Eigenvektor. Die Matri A heisst diagonalisierbar, wenn es eine invertierbare n n-matri S gibt, so dass S AS Diagonalform hat. Nun gilt wieder der entsprechende Satz über Diagonalisierbarkeit: 2.28 Satz Eine n n-matri A ist genau dann diagonalisierbar, wenn sie n linear unabhängige Eigenvektoren in R n besitzt. Beweis. Nehmen wir an, v,...,v n seien linear unabhängige Eigenvektoren zu den Eigenwerten λ,...,λ n. Wir bilden aus den Spalten v,...,v n eine Matri S. Diese Matri ist dann invertierbar und es gilt einerseits: AS = Av... Av n = λ v... λ n v n. Andererseits ist λ λ S... = v...v n... λ n λ n = λ v... λ n v n. Also hat S AS Diagonalform. Das heisst, A ist diagonalisierbar. Diese Argumentation lässt sich auch umkehren. q.e.d. Die Matri B = zum Beispiel hat die Eigenwerte 5 und 2. Bilden wir 4 2, dann aus den Eigenvektoren v und v 2 die Transformationsmatri S = 5 ist S BS =. 2 Nun wollen wir die Frage behandeln, wie man Eigenwerte und Eigenvektoren einer vorgegebenen Matri finden kann. Nehmen wir zunächst an, v R n sei ein Eigenvektor der Matri A zum Eigenwert λ. Dann ist v und es gilt λv Av = λe Av =. Das Gleichungssstem λe A = hat also zusätzlich zu der trivialen Lösung = noch eine Lösung v in R n. Daraus folgt detλe A =.

3 2.2. Eigenwerte und Eigenvektoren 4 Betrachtet man jetzt λ als Unbekannte, so gilt: Die Eigenwerte von A sind gerade die Lösungen der Gleichung detλe A =. Für die Matri B = zum Beispiel ist 4 λ 3 2 detλe B = det = λ 2 7λ+. λ 4 Die Nullstellen dieses Polnoms, λ = 5 und λ 2 = 2, sind die Eigenwerte der Matri B. Allgemein gilt: 2.29 Satz Sei A M n n. Dann ist p A λ := detλe A ein normiertes Polnom in λ von Grad n. Man nennt p A das charakteristische Polnom von A. Die reellen EigenwertevonAsindgeradediereellenNullstellenvonp A.DeshalbhatAhöchstens n verschiedene Eigenwerte. Beweis. Wir zeigen per Induktion über n, dass p A ein Polnom von Grad n ist. Für n = ist A = a und p A = λ a. Für n > entwickeln wir die Determinante von λe A nach der ersten Spalte: λ a a 2... a n a p A λ = det 2 λ a a 2n..... a n... λ a nn n = λ a detλe n A + k+ a k detλe A k. k=2 Per Induktionist detλe n A einpolnom vongradn, unddetλe A k sindpolnome von Grad n 2fürallek 2.DennλE A k entsteht ausλe A durch Streichung der ersten Spalte und der k-ten Zeile, die Variable λ kommt also nur noch in jeweils n 2 Zeilen vor. Also folgt, dass der Grad von p A gleich n ist. q.e.d. Schauen wir uns den Fall n = 2 genauer an. Das charakteristische Polnom einer a b λ a b 2 2-Matri A = lautet p c d A λ = detλe A = det = c λ d λ aλ d bc = λ 2 a+dλ+ad bc. Die Summe der Diagonaleinträge einer Matri wird als ihre Spur bezeichnet. Damit gilt: p A λ = λ 2 SpurA λ+deta. Durch vollständige Induktion kann man zeigen, dass die Spur und die Determinante einer Matri, wie im zweidimensionalen Fall schon nachgerechnet, immer als Koeffizienten des charakteristischen Polnoms auftreten. Genauer:

4 42 Kapitel 2. Lineare Algebra II 2.3 Satz Für n n-matrizen A gilt: p A λ = λ n SpurAλ n + + n deta. Bezeichnet man mit λ,...,λ n sämtliche möglicherweise auch kompleen Nullstellen von p A und zwar mit Vielfachheit gezählt, dann folgt: SpurA = λ + +λ n und deta = λ λ n. Um nun zu einem gegebenen Eigenwert λ von A die zugehörigen Eigenvektoren zu bestimmen, ist das lineare Gleichungssstem λe A. = n zu lösen. Den Lösungsraum dieses Gleichungssstem bezeichnet man als den Eigenraum zum Eigenwert λ. Wir schreiben dafür L λ. Der Raum L λ besteht aus allen Eigenvektoren zum Eigenwert λ zusammen mit dem Nullvektor. Für jeden Eigenwert λ gilt: diml λ = n RangλE A. 2.3 Beispiele. Das charakteristische Polnom der Matri B = lautet p B λ = λ 2 7λ+ = λ 5λ 2. Um den Eigenraum zum 4 Eigenwert λ = 5 zu bestimmen, betrachten wir: 5E Bv = Der Lösungsraum dazu ist { L 5 = 2 2 } { = = α =. } α R. Für den Eigenwert λ 2 = 2 ergibt sich entsprechend: 2 2E Bv = =. 2 Der Lösungsraum dazu ist { L 2 = } { = 2 = α } 2 α R. 2. Das charakteristische Polnom der Matri A = lautet 2 λ p A λ = detλe A = det λ = λ 2 λ 2. λ 2

5 2.2. Eigenwerte und Eigenvektoren 43 Also hat A einen doppelten Eigenwert, nämlich λ = und einen einfachen Eigenwert λ 2 = 2. Es gilt L 2 = line 3. Bestimmen wir nun den Eigenraum zu dem doppelten Eigenwert. Dazu lösen wir das Gleichungssstem E Av = =. z Der Lösungsraum L = line ist nur eindimensional. Die Matri A kann deshalb nicht diagonalisierbar sein. Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind automatisch linear unabhängig siehe Übungsaufgabe. Deshalb gilt: 2.32 Satz Eine n n-matri A ist genau dann diagonalisierbar, wenn gilt: diml λ +...+diml λr = n. Dabei bezeichnen λ,...,λ r sämtliche verschiedenen Eigenwerte von A Folgerung Hat eine n n-matri n verschiedene Eigenwerte, dann ist sie diagonalisierbar. Wir wollen nun zeigen, dass sich das charakteristische Polnom einer Matri bei einem Basiswechsel nicht ändert. Dazu führen wir folgenden Begriff ein Definition Zwei Matrizen A,B M n n heissen ähnlich, wenn eine invertierbare n n-matri S eistiert, so dass B = S AS Satz Sind A,B ähnliche n n-matrizen, so gilt: p A = p B und insbesondere SpurA = SpurB und deta = detb. Beweis. Die charakteristischen Polnome stimmen überein, denn p B λ = detλe B = detλs S S AS = dets λe AS = detλe A = p A λ. q.e.d Definition Sei L:V V eine lineareabbildung, dimv = n.sei A = M B L für eine Basis B von V. Dann nennt man pλ := p A λ auch das charakteristische Polnom von L. Das Polnom p hängt nicht von der Wahl der Basis ab. Denn Basiswechsel führen zu ähnlichen Matrizen.