L5.2 Inverse einer Matrix Betrachte im Folgenden lineare Abbildungen der Form: dann ist die Matrix, durch die A dargestellt wird, 'quadratisch', d.h.

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1 L5.2 Inverse einer Matrix Betrachte im Folgenden lineare Abbildungen der Form: gleich viel Zeilen wie Spalten dann ist die Matrix, durch die A dargestellt wird, 'quadratisch', d.h. 'Identitätsabbildung': 'tut gar nichts' wird dargestellt durch die 'Einheitsmatrix': mit Matrixelementen: sonst (1 auf der Diagonalen) (0 überall sonst) Es gilt für jede Matrix A: denn: Die Abbildung heißt invertierbar, falls eine Abbildung existiert, so dass (1) gilt Analog: Eine quadratische Matrix heisst invertierbar, wenn eine "inverse Matrix" existiert, mit und (3) impliziert (4) [und umgekehrt]: Assoziativität Kriterien für Invertierbarkeit: später...

2 Beispiel: 2x2-Rotationsmatrix Rotation: Rotationsmatrix: [laut (j.5) sind Spalten v. R die Abbilder v. ] Inverse v. R = Rotation um : Check: Übrigens: Beispiel: Allgemeine 2x2-Matrix Sei dann Inverse existiert nur falls Check: Eigenschaften der Inversen 1) Check: 2) Check: Warnung: wie auch in

3 Wozu ist Inverse nützlich? Z.B.: bestimmt Lösung eines linearen Gleichungsystems Problemstellung: finde die Lösung für gegebene Zahlen für folgendes lineares Gleichungsystem (LGS): Kompakte Notation für (2): Schreibe Kompakte Notation für (3): Gesuchte Lösung: Bestimmung der Inversen: Rückführung auf Lösung v. n linearen Gleichungsystemen 1) Sei und n Spaltenvektoren, mit Komponenten: j-te Stelle Für jeden Wert von j = 1,..., n liefert (6) ein anderes LGS, zu lösen für den Spaltenvektor [(x.6) hat dieselbe Form wie (w.5)] Die aus diesen Spaltenvektoren gebildete Matrix (2) ist dann die gesuchte Inverse,

4 Wie löst man ein lineares Gleichungsystem (LSG)? Gauß-Algorithmus Ziel: durch geeignete Umformungen bringe man das LSG in die Form: Dann folgt sofort: Erlaubte Umformungen: - Vertauschen von Zeilen - Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl - Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Ratschlag: Falls Brüche auftauchen, Zeile mit Hauptnenner durchmultiplizieren! Nützliches Hilfsmittel (um Schreiberei zu reduzieren): "Erweiterte Matrix": Start: Ziel: Gauß- Algorithmus Beispiel: finde Lösung des Systems: Erweiterte Matrix:

5 Lösung: Check durch einsetzen: konsistent mit (z.2) Falls das Gauss-Verfahren eine Zeile der Form liefert, hat das LSG keine Lösung. Falls das Gauss-Verfahren eine "Nullzeile" der Form liefert, kann eine der Variablen frei gewählt werden. Setze diese Variable gleich einem Parameter, z.b.. Lösung ist dann eine "Parameterschar". (bei m Nullzeilen, sind m der Variablen frei wählbar, m unabhängige Parameter.) Kriterien für Invertierbarkeit einer Matrix Eine lineare Abbildung ist bijektiv, d.h. ihre Matrix ist invertierbar, falls und nur falls (i) für jede Basis, die Bildvektoren auch eine Basis, bilden; (intuitiv gesprochen: A darf nicht aus linear unabhängigen Vektoren linear abhängige machen.) (ii) aus folgt, dass. [d.h. der 'Kern' oder 'Nullraum' der Matrix, also die Menge aller Elemente, die auf Null abgebildet werden, ist 'trivial' (enthält nur den Nullvektor)] Falls Standardbasis benutzt wird, folgt aus (i) ferner: (iii) ist invertierbar, falls die Spaltenvektoren von eine Basis bilden; denn diese Spaltenvektoren sind die Bildvektoren der Standardbasis: [Nächste Frage: wie wissen wir, ob Spaltenvektoren eine Basis bilden? Siehe L6.1]

6 Begründung für (i): surjektiv: injektiv: bijektiv: Begründung für (i) : Annahme: ist eine Basis. Dann ist surjektiv [das ganze V liegt im Bild v. A, ], denn sein Bild,, enthält eine Basis v. V, nämlich und somit das ganze V. Ferner ist auch injektiv [jeder Bildvektor entspricht maximal einem Argument]. Denn ansonsten gäbe es zwei verschiedene Vektoren und mit demselben Bild, d.h. Linearitität Letzte Gl. steht im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Basisvektoren Fazit: A ist surjektiv und injektiv, somit bijektiv, somit invertierbar. Begründung für (i) : Annahme: ist bijektiv. Dann ist jeder Vektor das Bild eines Vektors : ist vollständig. Ferner: sind linear unabhängig. Ansonsten würde eine nicht-triviale Linearkombination existieren, die Null liefert, Linearitität also im Widerspruch zur Injektivität, denn es gilt auch Fazit: ist vollständig und linear unabhängig, somit eine Basis. Begründung für (ii): analoge Argumente, Selbststudium!

7 L5.3 Basistransformation [vergleiche Seite L2.3g-h] seien zwei Basen für mit Gegeben, ein Vektor in der Wie lautet derselbe Vektor in der -Basis? Fazit: Matrixnotation: Neue Koordinaten lassen sich durch Matrixmultiplikation von T mit den Alten berechnen! Rücktransformation mittels Inverser Matrix: Beispiel: Der Vektor hat zwei Darstellungen: Einerseits, in Andrerseits, in (5) & (6) sind konsistent mit (ee.7):

8 Inverse Transformation: Hier: Betrachte z.b. den Basisvektor Einerseits, in Andrerseits, in (3) & (4) sind konsistent mit (ee.8): Transformation einer Matrix-Darstellung von einer Basis in eine andere sei eine lineare Abbildung, mit. In -Basis sei [(b.4), mit v'=v] In -Basis sei [(b.4), mit v'=v] dann hat F die Darstellung: dann hat F die Darstellung: [siehe (e.5)] [siehe (e.5)] Konkret: falls Konkret: falls dann gilt: dann gilt: mit mit

9 Der Bezug zwischen den beiden Basen sei: Frage: wie lautet Bezug zwischen und? Transformiere (hh.2) in die Laut (ee.6): (hh.2): [vergleiche mit (hh.2)] umgekehrt: Beispiel: Streckung in horizontale Richtung um Faktor 2 Finde Darstellung v. F in der (hh.1): Berechne nun Darstellung v. F in der Wie wirkt F auf den Basis-Vektor