Kapitel 14 Lineare Gleichungssysteme

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1 Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 83 / 246

2 Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme Definition 4. (Lineares Gleichungssystem LGS) Ein (reelles) lineares Gleichungssystem (LGS) mit n Variablen x,x 2,...,x n und m Gleichungen hat folgende Gestalt a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2. a m x + a m2 x a mn x n = b m mit a ij,b j 2 für apple i apple n und apple j apple m. Die a ij nennen wir die Koeffizienten des LGS und die b j nennen wir die rechte Seite des LGS. Das LGS heißt homogen, wenndierechteseiteverschwindet. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 84 / 246

3 Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme Kurzschreibweise: Statt der Form in 4. benutzen wir auch die etwas kompaktere Schreibweise a a 2... a n a 2 a a a m a m2... a mn b b 2. b m oder noch kompakter (A b) A a a 2... a n b a 2 a a 2n b 2 mit A := und b A. a m a m2... a mn b m Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 85 / 246

4 Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme Definition 4. [cont.] Die Lösungsmenge des LGS (A b) bezeichnen wir mit L(A, b) := (x,...,x n ) 2 n (x,...,x n ) löst (A b) Satz 4.2 (Gauß-Operationen) Die folgenden Operationen verändern die Lösungsmenge eines LGS nicht:. Multiplizieren einer Zeile mit einer Zahl a 6=. 2. Vertauschen von Zeilen. 3. Addition eines Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile. 4. Vertauschen von Spalten Achtung: Wenn man Punkt 4. anwendet, muss man sich merken, welche Variable zu welcher Spalte gehört! Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 86 / 246

5 Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme Satz 4.3 (Gauß-Algorithmus) Es sei (A b) ein lineares Gleichungssystem, dann kann man durch geeignete Gauß-Operationen erreichen, dass das LGS die folgende Form bekommt: #j j2 jk jk+ #jn # # c c 2. c k c k+. c m Dabei gibt j` an, dass diese Spalte zur j`-ten Variablen gehört. A Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 87 / 246

6 Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme Praktische Durchführung des Gauß-Algorithmus: Step Wir versuchen durch 3.(Tausch von Zeilen), 4.(Tausch von Spalten) und.(skalierung einer Zeile) eine in die obere linke Ecke zu bekommen. (Ist dies nicht möglich, dann endet der Algorithmus, denn die Koe zienten, mit denen man diesen Schritt gestartet hat, sind alle Null.) Step2 Durch Anwenden von 2.(Addition von Zeilen) erzeugen wir Nullen unterhalb und oberhalb dieser. Step3 Wir beginnen nun wieder mit Step. Allerdings wenden wir ihn auf das kleinere System an, das wir durch Löschen der ersten Spalte und ersten Zeile erhalten. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 88 / 246

7 Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme Definition 4.4 (Rang eines LGS) Es sei (A b) ein LGS. Die Zahl k aus der Endgestalt des Gauß-Algorithmus nennt man den Rang des LGS. Satz 4.5 Es sei (A b) ein LGS vom Rang k. Der Gauß-Algorithmus liefert die folgenden Fälle für die Lösungsmenge L(A, b): Ist mindestens eine der Zahlen c k+,...,c m ungleich Null, so ist L(A, b) =;. 2 Im Fall k = n = m ist das System eindeutig lösbar und es gilt L(A, b) ={(x,...,x n ) x j = c,x j2 = c 2,...,x jn = c n }. 3 Für k<nund c k+ =...= c m =ist, können die n k Variablen x jk+,...,x jn als freie Parameter gewählt werden. Damit sind die Werte x j,...,x jk für jede Wahl der Parameter eindeutig bestimmt. Man sagt: Die Lösungsmenge L(A, b) ist (n k)-dimensional. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 89 / 246

8 Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme eispiel : Wir lösen das LGS oder 2x +6x 2 + 2x 4 = x +3x 2 + x 3 +2x 4 = 7 3x +9x 2 +4x 3 = 6 3x +9x 2 + x 3 + x 4 = A Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 9 / 246

9 Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme.) Vertausche Z und x x 2 x 3 x A 2.) Addiere ( 2) Z zu Z2, dann ( 3) Z zu Z3 und ( 3) Z zu x x 2 x 3 x A Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 9 / 246

10 Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme 3.) Vertausche S2 und x x 4 x 3 x A 4.) Addiere Z2 zu Z, dann ( 3) Z2 zu Z3 und ( ) Z2 zu Z3. Dann multipliziere Z2 mit x x 4 x 3 x A Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 92 / 246

11 Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme 5.) Multipliziere Z3 mit 7,addiere( ) Z3 zu Z2, dann Z3 zu x x 4 x 3 x A Dies ist nun die Endform des Gauß-Algorithmus, aus dem wir die Lösung ablesen. Der Rang des LGS ist k =3und als freien Parameter wählen wir x 2. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 93 / 246

12 Kapitel 4 Lineare Gleichungssysteme Wir schreiben die Gleichungen noch einmal aus: und es gilt x +3x 2 =4 x 4 = x 3 =, L(A, b) = (x,x 2,x 3,x 4 ) 2 4 x =4 3x 2,x 3 =,x 4 = Setzen wir x 2 = t für den Parameter, so schreiben wir auch 8 9 x 4 3 >< L(A, b) = x x >: 3 A A + t A t 2 >; x 4 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 94 / 246

13 Kapitel 5 Vektoren Kapitel 5 Vektoren Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 95 / 246

14 Kapitel 5 Vektoren In Kapitel haben wir das Kreuzprodukt von Mengen eingeführt. Und zwar sind für eine Menge M die Elemente aus M n := M... {z M } genau n-mal die n-tupel (m,m 2,...,m n ) mit m j 2 M. (vgl. Definition.5). Das nutzen wir aus und definieren: Definition 5. (Vektoren im Zahlenraum) Ein Vektor (im Zahlenraum) mit n Komponenten ist ein n-tupel reeller Zahlen, also ein Element aus n. Wir schreiben die Komponenten eines Vektors in eine Spalte: v (Manchmal benutzen wir die platzsparende v 2 Schreibweise ~v =(v ~v =,v 2,...,v n ) T, wobei das A andeutet, dass wir eigentlich einen Spaltenvektor v n meinen). Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 96 / 246

15 Kapitel 5 Vektoren Mit Vektoren kann man auch rechnen: Definition 5.2 (Rechnen mit Vektoren) Man kann zwei Vektoren ~v A und ~w v v n v + w addieren, gemäß ~v + ~w A. v n + w n v v n w w n A miteinander Man kann einen Vektor ~v A und eine reelle Zahl 2 v miteinander multiplizieren, gemäß ~v A. v n Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 97 / 246

16 Kapitel 5 Vektoren Wir beschränken uns in der kommenden etrachtung auf auch im Höherdimensionalen richtig bleibt). 2 (obwohl alles emerkung 5.3 (Vektoren und Geometrie) Wir identifizieren einen Vektor ~a = a a 2 mit dem Pfeil! OA, derden Ursprung O der Ebene mit den Punkt A =(a,a 2 ) verbindet. Sei ~ b ein weiterer Vektor mit zugehörigem Punkt =(b,b 2 ) und 2. Die Addition ~a + ~! b entspricht dem Pfeil O, wobei der Punkt wie folgt konstruiert wird:! Verschiebe den Pfeil O so, dass sein Anfang in A liegt. Dann zeigt das Ende dieses verschobenen Pfeils auf den Punkt. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 98 / 246

17 Kapitel 5 Vektoren Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 99 / 246

18 Kapitel 5 Vektoren emerkung 5.3 [cont.]! Die Multiplikation ~a entspricht dem Pfeil OD, wobei der Punkt D wie folgt konstruiert wird: Ist, soentsprichtdierichtungdespfeils!! OD der von! OA und! OA die Länge des Pfeils OD ist gegeben durch die Länge des Pfeils multipliziert mit. Ist < so kehrt sich die Richtung um, aber die Länge ist die gleiche wie im ersten Fall. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 2 / 246

19 Kapitel 5 Vektoren Satz 5.3 (Rechenregeln für Vektoren) Es seien ~u, ~v und ~w Vektoren und und seien reelle Zahlen, dann gilt:. ~v + ~w = ~w + ~v. 2. ~u +(~v + ~w )=(~u + ~v )+ ~w. 3. Es gibt einen Nullvektor ~ mit ~v + ~ =~+~v = ~v. 4. Zu ~v gibt es einen Vektor ~v mit ~v +( ~v )=~. 5. ( ~v )=( ) ~v. 6. ~v = ~v. 7. ( + ) ~v = ~v + ~v. 8. (~v + ~w )= ~v + ~w emerkung zu 3.:... nämlich ~ :=(,,...,) T. emerkung zu 4.:... nämlich ~v := ( ) ~v =( v,..., v n ) T. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 2 / 246

20 Kapitel 5 Vektoren Das Ergebnis aus Satz 5.3 verallgemeinern wir nun und definieren: Definition 5.4 (Vektorraum) Ein (reeller) Vektorraum ist eine Menge V 6= ; mit einer Addition und einer Multiplikation mit reellen Zahlen (skalare Multiplikation), die die Eigenschaften. bis 8. aus dem vorigen Satz 5.3 haben. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 22 / 246

21 Kapitel 5 Vektoren Satz 5.5 (eispiele für Vektorräumen) n ist ein Vektorraum. 2 Es sei M eine Menge und Abb(M, ) die Menge aller Abbildungen von M nach. Durch geeignete (nämlich punktweise) Addition und skalare Multiplikation wird Abb(M, ) zu einem Vektorraum. 3 Es bezeichne n[x] die Menge der Polynome mit Grad kleiner oder gleich n. Dann ist dies mit geeigneter Addition und skalarer Multiplikation ein Vektorraum. emerkung: Wegen n[x] Abb(, ) ist 3. ein Unterbeispiel von 2. Da man Vektoren im n als Abbildungen von {,...,n} nach interpretieren kann, ist auch. ein Unterbeispiel von 2. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 23 / 246

22 Kapitel 5 Vektoren Definition 5.5 (Linearkombination) Es seien ~v,...,~v n Elemente des Vektorraums V.EineSummederForm ~v + 2 ~v n ~v n heißt Linearkombination und die Zahlen j 2 Koeffizienten der Linearkombination. heißen eispiele:. Es ist 3x 5 +4x 3 + 2x eine Linearkombination der Vektoren x 5,x 3,x2 5 [x] mit den Koe zienten 3, 4 und 2.! 6 2. Der Vektor ist eine Linearkombination der Vektoren 2!!!, und mit Koe zienten 6, 4 und 2 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 24 / 246

23 Kapitel 5 Vektoren Definition 5.6 (Lineare Abhängigkeit) Die Vektoren ~v,...,~v n des Vektorraums V heißen linear abhängig, wenn es Zahlen,..., n 2 gibt, die nicht alle Null sind, so dass aber die Linearkombination ~v + 2 ~v n ~v n = ~ ist. Sie heißen linear unabhängig, wenn sie nicht linear abhängig sind. Folgerung 5.7 Die Vektoren ~v,...~v n sind genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung ~v + 2 ~v n ~v n = ~ (als Gleichung für die Zahlen,..., n )nurdielösung =...= n =hat. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 25 / 246

24 Kapitel 5 Vektoren eispiele: 2. Die Vektoren ~u 2A,~v A 2 3 sind linear abhängig, denn es gilt 4~u +( )~v +( 2) ~w = Die Vektoren ~v =,~w= sind linear unabhängig, denn +2 = ~v + ~w = ~ ist gleichbedeutend mit dem LGS 2 + = und dies hat die eindeutige Lösung = =(vgl. Kapitel 8). 3. Die Vektoren 2x 3 +6und 3x 3 +9in 3[x] sind linear abhängig und die Vektoren x 3 und x 2 in 3[x] sind linear unabhängig. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 26 / 246

25 Kapitel 5 Vektoren emerkung 5.8 ~v 2 V ist genau dann linear abhängig, wenn ~v =. 2 Die lineare Abhängigkeit zweier Vektoren ~v, ~w 2 3 ist gleichbedeutend mit jeweils a) ~v und ~w liegen auf einer Geraden durch den Nullpunkt, und b) je einer der Vektoren ist ein Vielfaches des anderen. 3 Die lineare Abhängigkeit dreier Vektoren ~u, ~v, ~w 2 3 ist gleichbedeutend mit jeweils a) ~u, ~v und ~w liegen in einer Ebene durch den Nullpunkt, und b) mindestens einer der Vektoren ist eine Linearkombination der anderen beiden. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 27 / 246

26 Kapitel 5 Vektoren Weitere wichtige egri e und emerkungen 5.9. Der Spann der Vektoren ~v,...,~v k 2 V ist die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren. (Das ist auch für eine beliebige Menge von Vektoren erklärt). 2. Der Spann erfüllt die Punkte.-8. die einen Vektorraum definieren, ist also selber einer (vgl. Definition 5.4 und Satz 5.3). 3. Lässt sich jedes Element von V eindeutig(!) als Linearkombination der Vektoren ~v,...,~v k 2 V darstellen, dann nennt man ~v,...,~v k eine asis von V. 4. Die Elemente einer asis sind linear unabhängig. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 28 / 246

27 Kapitel 5 Vektoren Speziell für das Rechnen im n heißt das 5. n Vektoren des n sind genau dann linear unabhängig, wenn sie eine asis bilden. 6. Die Standardbasis des n besteht aus den kanonischen Einheitsvektoren ~e A,~e 2 A,...,~e n A. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 29 / 246