Lineare Algebra 2013 Lösungen für Test und Zusatzfragen

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1 Lineare Algebra 3 Lösungen für Test und Zusatzfragen Test Multiple Choice. Seien Für die Lösung x x x x 3 A, b des Systems Ax b gilt x 3 5 x 3 x 3 3 x 3 / Mit elementaren Zeilenoperationen erhalten wir die (eindeutige) Lösung des Systems x ( 3 5 ) T Sei R die reduzierte Zeilenstufenform der Matrix Dann gilt r 4 6 r 4 5 r 4 3 r 4 Die reduzierte Zeilenstufenform von R ist: Seien a 3 4 7, a und b h h + 5 Für welche Werte der reellen Zahl h liegt der Vektor b in der von a und a aufgespannten Ebene? h h 4 h h Wir berechnen durch elementare Zeilenoperationen für welche Werte das System a x+a y b eine Lösung hat: 4 5 h 3 h h h h h 4 Damit dies lösbar ist, muss 5 h gelten, und daher h 4. Danach überprüfen wir auch ( ) ( ) ( ) x 8 Alternativ kann man auch zunächst lösen und wir erhalten 7 y 5 x 7, y. Dann folgt aus h + 7 auch h 4.

2 4. Für die Matrizen und B A gilt A b b b b 4 Mit elementaren Zeilenoperationen erhalten wir Berechnen Sie die Determinante d Es gilt d 65 d 3 d 3 d 65 In diesem Fall ist es wohl am einfachsten, nur Vielfache einer Zeile auf eine andere hinzuzuaddieren: Gegeben die Matrix d A ( ( 5) ( 5) 3 ) Berechnen Sie die LU-Zerlegung von A (ausschliesslich durch Anwenden elementarer Zeilenoperationen, die ein Vielfaches einer Zeile auf eine andere, darunterliegende Zeile hinzuaddieren). Die Matrix L erfüllt: l 43 l 43 3 l 43 4 l

3 L /( 3) 3 /( 3) - /( ) -6 /( 3) /( ) - /( ) - /( 3) 4 /( ) -3 /( ) / 9 /( 3) - /( ) /( ) 4 / 3 /3 U 4 3 3

4 Test Wahr/Falsch Fragen 7. Sei V ein Vektorraum der Dimension dim V n. Wenn S eine linear unabhängige Menge von Vektoren aus V ist, dann ist S eine Basis von V. Eine Basis ist eine linear unabhängige Menge von Vektoren, die V aufspannt, aber nicht jede linear unabhängige Menge erzeugt V. Beispielsweise ist ein einziger, von verschiedener Vektor linear unabhängig, aber er spannt V nicht auf (ausser wenn dim(v ) ). 8. Die Abbildung T : R n R m, die jedem Vektor x R n den Vektor T ( x) e zuordnet, ist linear. Dabei bezeichnet e den ersten Einheitsvektor der Standardbasis des R m. Es gilt T () e und somit kann T nicht linear sein (jede lineare Abbildung erfüllt T () ). 9. Sei A eine m n Matrix. Wenn die durch x A T x definierte Matrixtransformation surjektiv ist, dann gilt m n. Die Matrix B A T ist eine n m Matrix. Wenn T (x) Bx surjektiv ist, dann hat eine Zeilenstufenform von keine Nullzeile enthalten, weil sonst Bx y nur lösbar ist, wenn y R n in dieser Komponente ist. Daher kann B nicht mehr Zeilen als Spalten haben, d.h. n > m kann nicht gelten.. Seien M und N zwei Matrizen in oberer Block-Dreiecksform [ ] [ ] A B A B M, N C C wobei A, A quadratische n n Matrizen und C, C quadratische m m Matrizen sind. Wenn M invertierbar ist, dann sind auch M N und NM in oberer Block-Dreiecksform. Mit Hilfe der Formel für die Inverse einer Matrix in oberer Block-Dreiecksform erhalten wir [ ] A M D B wobei D A BC (allerdings braucht man den exakten Term für D nicht, wichtig ist nur, dass der Block unten links ist). Somit ist auch M in oberer Blockdreiecksform, und das Produkt zweier Matrizen in oberer Blockdreiecksform ist auch wieder in oberer Blockdreiecksform (falls die Blöcke dieselbe Grösse haben, was hier erfüllt ist).. Sei A eine n n Matrix für n 5. Wenn man die Matrix B durch Multiplizieren zuerst der dritten Zeile von A mit n und dann der fünften Spalte mit n n detb. erhält, dann gilt deta Wenn wir eine Zeile oder eine Spalte einer Matrix mit einem Faktor multiplizieren, dann erhalten wir den Kehrwert als Faktor für die Determinante. Dies tun wir hier zweimal.

5 Zusatzfragen Multiple Choice. Das lineare Gleichungssystem x y 3z 3t x + 4y + z + t 6 9x + 4y 3z + 5t 3 3x 8y + 5z 3t 3 hat keine Lösung; eine eindeutige Lösung; eine Lösungsmenge, die als Gerade aufgefasst werden kann (aufgespannt von einem Vektor); eine Lösungsmenge, die als Ebene aufgefasst werden kann (aufgespannt von zwei linear unabhängigen Vektoren). Eine Zeilenstufenform ist: Da die ZSF in genau einer Spalte kein Pivotelement hat, gibt es eine freie Variable und die Lösungsmenge wird von einem Vektor aufgespannt.. Seien A und C AB. Dann gilt: , B c 3 c 3 c 3 c 3 Wenn wir die dritte Zeile von A mit der ersten Spalte von B ausmultiplizieren erhalten wir. 3. Bestimmen Sie a R, so dass die folgende lineare Transformation T : R 3 R 3 nicht bijektiv ist: ax T (x) x x + x 3. x + 4x 3 a a a Es gibt kein solches a. T ist nicht bijektiv genau dann, wenn T (x) eine von verschiedene Lösung hat: a 4 a Falls a gilt können wir durch a teilen und wir erhalten eine Zeilenstufenform mit 3 Pivotspalten, also gibt es nur die triviale Lösung. Aber im Fall a gibt es nur zwei Pivotspalten und somit existiert eine nichttriviale Lösung.

6 4. Was ist the maximale Anzahl von linear unabhängigen Vektoren unter den folgenden Vektoren? 3,,, Wenn wir eine Zeilenstufenform der Matrix mit diesen vier Spalten berechnen, finden wir drei Pivotspalten. Wahr/Falsch Zusatzfragen 5. Wenn A eine 4 5 Matrix ist, dann sind die Spalten von A linear abhängig. A hat 5 Spalten, die Vektoren aus R 4 sind und die somit linear abhängig sein müssen. 6. Wenn A eine quadratische Matrix ist und das lineare Gleichungssystem Ax nur die triviale Lösung hat, dann ist A invertierbar. Da das System nur die triviale Lösung hat, muss eine Zeilenstufenform von A in jeder Spalte ein Pivotelement haben. Damit ist die reduzierte Zeilenstufenform von A gerade I und somit gilt (A I) (I B) mit B A durch elementare Zeilenoperationen. Damit ist A invertierbar. 7. Wenn A eine n n Matrix ist, dann liegt jeder Vektor aus R n im Kern Ker(A) oder im Spaltenraum Col(A). [ ] ( ) Als Beispiel nehmen wir die Matrix. Der Vektor ist weder im Spaltenraum ( ) ( ) (von erzeugt) noch im Kern (von erzeugt). Die Aussage ist allerdings korrekt, wenn A invertierbar ist, da dann Ker(A) {} und Col(A) R n gilt. 8. Wenn A und B invertierbare Matrizen sind, dann gilt (A + B) A + B. Seien A B I. Dann gilt (A + B) I, aber A + B I. ( ) A B 9. Wenn A, B, C, D n n Matrizen sind, dann ist die Determinante von C D det(a) det(d) det(b) det(c).

7 Wir wählen zum Beispiel A C D I. Dann ist die behauptete Gleichung für fast jede Wahl von B falsch, z.b. B I: ( ) A B C D, det(a) det(d) det(b) det(c) 4 3.