Matrixprodukt und Basiswechsel bei Abbildungen

Transkript

1 Matrixprodukt und Basiswechsel bei Abbildungen 1

2 Erster Teil: Das Matrixprodukt Wie multipliziert man eine Matrix mit einer Matrix? 2

3 Zur Erinnerung: Wie multipliziert man einen Zeilenvektor mit einem Spaltenvektor? [ p q ] a c = pa + qc Zeile mal Spalte-Regel Beziehung zum Skalarprodukt: z s = < z T, s > 3

4 Zur Erinnerung: Wie multipliziert man eine Matrix mit einem Spaltenvektor? p q r s a c Mit der Zeile mal Spalte-Regel: p q r s a c = pa + qc ra + sc 4

5 Produkt von (2 2)-Matrizen: M = p q r s, L = a b c d ML := pa + qc ra + sc pb + qd rb + sd. 5

6 Erste Interpretation des Matrixprodukts: M transformiert jede Spalte von L getrennt: L = [ s 1, s 2 ] M L = M [ s 1, s 2 ] = [ M s 1, M s 2 ]. M = p q r s, L = a b c d ML := pa + qc ra + sc pb + qd rb + sd. 6

7 Zweite Interpretation: Skalarprodukte der Zeilen von M mit den Spalten von L ML = (Zeile-mal-Spalte Regel): M = z 1 z 2 < z T 1, s 1 > < z T 1, s 2 >.. < z T 2, s 1 > < z T 2, s 2 > L = [ s 1, s 2 ] = z 1 s 1 z 1 s 2.. z 2 s 1 z 2 s 2 7

8 Zur Erinnerung: Die Transponierte einer Matrix L, L T ist die Matrix L mit Zeilen und Spalten vertauscht: L = [ s 1, s 2 ] L T = s T 1 s T 2 8

9 BEISPIEL Wenn die Spalten von L orthonormal sind: L = [ s 1, s 2 ], < s 1, s 1 > = < s 2, s 2 > = 1, < s 1, s 2 >= 0 dann gilt nach der Zeile-mal-Spalte Regel L T L = s T 1 s 1 s T 1 s 2.. s T 2 s 1 s T 2 s 2 = = I (die Identitätsmatrix, auch Einheitsmatrix genannt). 9

10 Definition: Eine 2 2-Matrix L mit orthonormalen Spalten L = [ s 1, s 2 ], < s 1, s 1 > = < s 2, s 2 > = 1, < s 1, s 2 >= 0 nennt man eine orthogonale Matrix. 10

11 Beispiel: Jede Basiswechselmatrix zwischen orthonormalen Basen C, B ist eine orthogonale Matrix. Denn die Spalten sind die Koordinatenvektoren ( b 1 ) C, ( b 2 ) C. Und nach Vorlesung 5a (Fünfter Akt) ist < x C, y C > = < x, y >. 11

12 Zwischenspiel: Die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung (Eine Erinnerung an Vorlesung 4b) 12

13 Zur Erinnerung (Vorlesung 4b) Eine lineare Abbildung L : R 2 R 2 kann man als Matrixmultiplikation mit den Koordinatenvektoren darstellen: (L x) B = L x A Multiplikation mit der Matrix L macht aus dem A-Koordinatenvektor von x den B-Koordinatenvektor von L x. 13

14 Die Spalten der Matrixdarstellung L sind die B-Koordinaten der Bilder von a 1 und a 2 : L = [(L a 1 ) B, (L a 2 ) B ] 14

15 Beispiel: L x := kx 1 + lx 2 mx 1 + nx 2 L 1 0 L 0 1 = = k m l n Die Matrixdarstellung von L bezüglich A = B = E (der Standardbasis) ist L := k l m n 15

16 Beispiel: L : R 2 R 2 habe die Singulärwertzerlegung L a 1 = 1.5 b 1, L a 2 = 0.8 b 2 mit den orthonormalen Basen A = { a 1, a 2 }, a 1 = B = { b 1, b 2 }, b1 = , a 2 = , b 2 = L AB =? 16

17 a 1 a 2 b2 b1 a 1 = , a 2 = b1 = , b 2 = L AB = L a 1 = 1.5 b 1, L a 2 = 0.8 b 2 17

18 Zweiter Teil: Die Verkettung von zwei linearen Abbildungen 18

19 Was ist, wenn man zwei lineare Abbildungen hintereinander ausführt ( verkettet )? Seien A, B, C drei Kopien des R 2. Seien L und M lineare Abbildungen: A L B M C und sei K = ML die Verkettung von L und M ( zuerst L dann M ): A K C K( x) = (ML)( x) := M(L( x)). 19

20 Satz: Die Matrixdarstellung der Verkettung ist das Matrixprodukt In Formeln: Haben M und L die Matrixdarstellungen M := p q r s und L := a b c d, dann hat die Verkettung ML die Matrixdarstellung p q r s a b c d = pa + qc pb + qd ra + sc rb + sd 20

21 Beweis: Wir berechnen die Standardkoordinaten von M(L e 1 ) und M(L e 2 ): M = p q r s, L = a b c d L e 1 = a, L e c 2 = b d (M(L e 1 )) E = (M(L e 2 )) E = p q r s p q r s [(M(L e 1 )) E, (M(L e 2 )) E ] = a c b d p q r s a b c d. 21

22 Die Matrixdarstellung K einer Verkettung K = ML ist das Matrixprodukt ML. Das gilt nicht nur in den Standardbasen, sondern bezüglich beliebiger Basen A, B, C. Denn ML = M[(L a 1 ) B, (L a 2 ) B ] = [M(L a 1 ) B, M(L a 2 ) B ] = [(M(L a 1 )) C, (M(L a 2 )) C ] = [((ML) a 1 )) C, ((ML) a 2 ) C ]. (Zur Erinnerung: M x B = (M x) C ) 22

23 BEISPIEL In den üblichen (x, y)-koordinaten in der Ebene seien L = Spiegelung an der x-achse, M = Spiegelung an der y-achse. Wie sieht die Verkettung ML aus? Wir berechnen die Matrixdarstellungen in der Standardbasis: M = L = ML = ML ist die Rotation um π (oder - genau so gut - um π). 23

24 Dritter Teil: Basiswechsel bei Abbildungen 24

25 Eine Standardsituation ist die folgende: Man hat eine Abbildung L : A B in ihrer Singulärwertzerlegung vor sich: L a 1 = σ 1 b1, L a 2 = σ 2 b2 mit Orthonormalbasen A = { a 1, a 2 }, B = { b 1, b 2 }. Gesucht ist die Matrixdarstellung von L bezüglich der Standardbasen E (von A) und F (von B) 25

26 Die Antwort ist L E F = B L A B A T mit A... E-A-Basiswechselmatrix, mitttb... F-B-Basiswechselmatrix. A T Denn: konvertiert die Standardkoordinaten in A-Koordinaten, L AB B macht aus den A-Koordinaten von x die B-Koordinaten von L x =: y, konvertiert die B-Koordinaten zurück in Standardkoordinaten. 26

27 Mit anderen Worten: die Abbildung x E L E F y F wird in drei Schritten ausgeführt: x E A T x A L A B y B B y F. 27

28 Beispiel: L : R 2 R 2 habe die Singulärwertzerlegung L a 1 = 1.5 b 1, L a 2 = 0.8 b 2 mit den orthonormalen Basen A = { a 1, a 2 }, a 1 = B = { b 1, b 2 }, b1 = , a 2 = , b 2 = Aufgabe: Stelle L in Standardkoordinaten dar. 28

29 a 1 a 2 b2 b1 a 1 = , a 2 = b1 = , b 2 = A = A T = B =

30 B = , L A B = , A T = L A B A T = = B L A B A T = = L E F = B L A B A T =

31 Im Vorbeigehen sehen wir eine interessante Zerlegungseigenschaft von Matrizen: Satz: Für jede (2 2)-Matrix L gibt es orthogonale Matrizen A und B und Zahlen σ 1, σ 2 0 mit L = B σ σ 2 A T. 31

32 Beweis: Sei L diejenige Abbildung, die von der Matrix L in Standardkoordinaten dargestellt wird. Die Singulärbasen von L seien A und B, die entsprechenden Basiswechselmatrizen (aus den Standardkoordinaten) seien A und B. Die Singulärwerte von L seien σ 1 und σ 2. L = B Dann ist σ σ 2 A T. 32