1 Vektoralgebra (3D euklidischer Raum R 3 )

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1 Institut für Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg WS 202/203 Vorlesung Elektrodynamik LAG PD Dr. Angelika Chassé) Vektoralgebra 3D euklidischer Raum R 3 ). Grundbegriffe = Vektordefinition In der Physik ist ein Vektor eine gerichtete Größe mit einem bestimmten Betrag z.b. Geschwindigkeit, Kraft). = Komponentendarstellung In einem speziellen Koordinatensystem, z.b. im kartesischen, kann ein Vektor a durch Komponenten beschrieben werden. Im 3D Raum ist daher a = a x, a y, a z ) oder a = a, a 2, a 3 ). Der Betrag des Vektors a Länge) ist durch gegeben. = Einheitsvektoren a a 2 + a a 2 3 Sie haben die Länge Eins und können als Basisvektoren für spezielle Koordinatensysteme dienen. Jeder beliebige Vektor ausgenommen der Nullvektor) kann auf die Länge Eins a normiert werden: a e a. = Basisvektoren Das kartesische Basissystem ist durch die Vektoren e x =, 0, 0), e y = 0,, 0) und e z = 0, 0, ) bestimmt. Eine Basis im 3D besteht aus drei linear unabhängigen Vektoren { e, e 2, e 3 }. Jeder Vektor a kann dann als Linearkombination dieser Basis geschrieben werden. Wenn die Basisvektoren zueinander orthogonal und auf Länge Eins normiert sind, dann nennt man so eine Basis orthonormal orthonormiert).

2 Institut für Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg WS 202/ Multiplikation mit Vektoren = Definition und Eigenschaften der Produkte Skalarprodukt a b Vektorprodukt a b Spatprodukt a b c) = Darstellung der Produkte im kartesischen Koordinatensystem a b = a b = a x b x + a y b y + a z b z e x e y e z a x a y a z a b c) = b x b y b z a x a y a z b x b y b z c x c y c z = Entwicklungssatz für das doppelte Vektorprodukt a b c) a b c) = b a c) c a b).3 Geometrische Anwendungen der Vektoralgebra = Ortsvektor Der Ortsvektor verbindet den Koordinatenursprung mit dem Punkt x, y, z): r = x, y, z) = x e x + y e y + z e z. = Parallelitäts- und Orthogonalitätsbedingungen a b = 0 a b a b = 0 a b = Vektorgleichung einer Geraden Parameterdarstellung) rt) = r 0 + a t = Vektorgleichung einer Ebene Normalenvektor n) r r 0 ) n = 0

3 Institut für Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg WS 202/ Vektoranalysis 2. Differentialoperationen für Vektorfelder A r) und skalare Felder ϕ r) = Gradient eines skalaren Feldes ϕ r): grad ϕ r) Divergenz eines Vektorfeldes A r): div A r) Rotation eines Vektorfeldes A r): rot A r) = Nabla-Operator = e x x + e y y + e z = x, y, ) = Darstellung grad, div und rot m.h. des Nabla-Operators grad ϕ r) ϕ r) div A r) A r) rot A r) A r) = Laplace-Operator = 2 x y = Quellenfreie und wirbelfreie Vektorfelder div A = A = 0 A ist quellenfrei. rot A = A = 0 A ist wirbelfrei. = Darstellung im kartesischen Koordinatensystem ϕ r) = ϕx, y, z) und A r) = A x x, y, z) e x +A y x, y, z) e y +A z x, y, z) e z = A x, A y, A z ) grad ϕ = ϕ x, ϕ y, ϕ ) rot A = x div A = A x x + A y y + A z e x e y e z y A x A y A z

4 Institut für Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg WS 202/203 4 = Nützliche Beziehungen ϕ ψ) = ϕ) ψ + ϕ ψ) ϕ A) = ϕ) A + ϕ A) ϕ A) = ϕ) A + ϕ A) A B) = B A) A B) A) = A) A A B) = A B) B A) + B ) A A ) B = Merke rot grad ϕ = ) ϕ = 0 div rot A = ) A = Integralsätze für Vektorfelder = Integralsatz von Stokes = Integralsatz von Gauß da n rot E = A C=A dv div B = V A=V d r E da n B = Greensche Identitäten. Greenscher Satz 2. Greenscher Satz V V dv ϕ ψ + ψ ϕ ) = da ϕ ψ A=V n dv ϕ ψ ψ ϕ) = A=V da ϕ ψ n ψ ϕ ) n

5 Institut für Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg WS 202/ Koordinatensysteme 3. Kartesische Koordinaten Ortsvektor: r = x e x + y e y + z e z = x, y, z) Totales Differential: d r = e x dx + e y dy + e z dz Volumenelement: dv = dx dy dz 3.2 Krummlinige orthogonale Koordinaten q, q 2, q 3 ) Transformation: x = xq, q 2, q 3 ) q = q x, y, z) y = yq, q 2, q 3 ) q 2 = q 2 x, y, z) z = zq, q 2, q 3 ) q 3 = q 3 x, y, z) ) Lame sche Faktoren: h i = r 2 ) 2 x y q i = + + q i q i q i ) 2 Einheitsvektoren: e qi = h i r q i = e x h i x q i + e y h i y q i + e z h i q i i =, 2, 3) e qi e qj = δ ij e q e q2 = e q3 Funktionaldeterminante: x, y, z ) q, q 2, q 3 ) = h h 2 h 3 Totales Differential d r: d r = e q h dq + e q2 h 2 dq 2 + e q3 h 3 dq 3 Volumenelement dv : dv = h h 2 h 3 dq dq 2 dq 3 Gradient ϕ r): ϕ r) = eq h Divergenz A r): A r) = h h 2 h 3 ϕ + e q2 q h 2 ϕ + e q3 q 2 h 3 q 3 ϕ h 2 h 3 A + h h 3 A 2 + ) h h 2 A 3 q q 2 q 3 Rotation A r): A r) = h h 2 h 3 h e q h 2 e q2 h 3 e q3 q q 2 q 3 h A h 2 A 2 h 3 A 3

6 Institut für Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg WS 202/ Spezielle orthogonale Koordinaten 3.3. Kugelkoordinaten r, θ, φ) h r = h θ = r h φ = r sin θ x = r cos φ sin θ y = r sin φ sin θ z = r cos θ Einheitsvektoren: e r = e x sin θ cos φ + e y sin θ sin φ + e z cos θ e θ = e x cos θ cos φ + e y cos θ sin φ e z sin θ e φ = e x sin φ + e y cos φ Ortsvektor: r = r e r Volumenelement Kugel: dv = r 2 dr sin θ dθ dφ Oberflächenelement Kugel: da = r 2 sin θ dθ dφ e r r 2 dω e r Differentialoperationen in Kugelkoordinaten: grad ϕ = ϕ r e r + ϕ r θ e θ + ϕ r sin θ φ e φ div A = r 2 r 2 A r ) r + sin θ A θ ) + A φ r sin θ θ r sin θ φ rot A = sin θ Aφ ) A ) θ e r + A r r sin θ θ φ r sin θ φ r A ) φ) e θ + r Aθ ) A ) r e φ r r r θ ϕ = ϕ r 2 r2 r r + ϕ sin θ r 2 sin θ θ θ + 2 ϕ r 2 sin 2 θ φ 2

7 Institut für Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg WS 202/ Zylinderkoordinaten s, φ, z) h s = h φ = s h z = x = s cos φ y = s sin φ z = z Einheitsvektoren: e s = e x cos φ + e y sin φ e φ = e x sin φ + e y cos φ e z = e z Ortsvektor: r = s e s + z e z Volumenelement Zylinder: dv = sds dφ dz Oberflächenelement Zylindermantel: da = s dφ dz es Differentialoperationen in Zylinderkoordinten: grad ϕ = ϕ s e s + ϕ s φ e φ + ϕ e z div A = s rot A = ϕ = s s A s ) s + s A φ φ + A z A z s φ A ) φ As e s + A ) z e φ + s Aφ ) A ) s e z s s s φ s ϕ ) + 2 ϕ s s s 2 φ + 2 ϕ 2 2