Übungsblatt Wiederholung: Vektoralgebra, Nabla-Operator, Integralsätze.

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1 Übungsblatt 01 Wiederholung: Vektoralgebra, Nabla-Operator, Integralsätze. Im Folgenden stehen normal gedruckte Buchstaben ρ (x) für skalare Funktion die den R 3 nach R abbilden (z.b. ρ (x) lokale Dichte eines Fluids), fett gedruckte Kleinbuchstaben u(x) für vektorielle Funktionen die den R 3 in den R 3 abbilden (z. B. u (x) das Geschwindigkeitsfeld einer Strömung) und fett gedruckte Großbuchstaben Σ(x), für Funktionen die den R 3 in den R 3 3 abbilden (z. B. Σ (x) den lokalen Spannungstensor). Im Folgenden ziehen wir nur karthesische Koordinatensysteme x (x, y, z) T x e x + y e y + z e z in Betracht (e x ist der Einheitsvektor in Richtung x). Einsteinsche Summenkonvention, Indizierte Größen Beispiele für indizierte Größen: δ ij, ɛ ijk, a i, a i b j, u i. (1) Tritt ein Index in einer indizierten Größe doppelt auf so wird über diesen summiert (Einsteinsche Summenkonvention): a i a i def a i a i ; i1 u j def j1 u j ; ɛ ijk ɛ lmk def ɛ ijk ɛ lmk. (2) k1 Die Summation über doppelte Indizes wird bei der Auswertung des Ausdrucks immer vor etwaigen Multiplikationen durchgeführt, so z.b. a i b j c i b j ( i a ic i ). Der große Vorteil der Einsteinschen Schreibweise ist die formale Kommutativität. So bedeutet a i b j c j d k dasselbe wie b j c j a i d k, wie b j a i c j d k, usw.... Ausnahme hiervon ist natürlich die Differenzation. Es werden nur Größen rechts vom Differentialoperator differenziert. Also a i j b k b k j a i, aber a i b j k c l b j a i k c l. Das Kronecker-Delta δ ij δ ji ist definiert als { 1 falls i j δ ij 0 falls i j. (3) 1

2 Das Levi-Civita-Symbol (Permutationssymbol) ist definiert als +1 falls (i, j, k) eine gerade Permutation von (1, 2, 3) ist ɛ ijk 1 falls (i, j, k) eine ungerade Permuation von (1, 2, 3) ist. (4) 0 falls (i j) oder (i k) oder (j k) Einige Rechenregeln für das Permutationssymbol und das Kronecker-Delta: δ ij δ ji ; δ ii δ ii 3 ; δ ik δ kj δ ij (5) i1 δ ij a j a i ; δ ij a i b j a i b i a b (6) ɛ ijk ɛ jki ɛ kij ɛ ikj ɛ kji ɛ jik (7) δ li δ lj δ lk ɛ ijk ɛ lmn δ mi δ mj δ mk (8) δ ni δ nj δ nk a 1 a 2 a 3 ɛ ijk a i b j c k b 1 b 2 b 3 (9) c 1 c 2 c 3 Vektorprodukte Dyadisches Produkt: a 1 b 1 a 1 b 2 a 1 b 3 ab a i b j a 2 b 1 a 2 b 2 a 2 b 3 C ij C (10) a 3 b 1 a 3 b 2 a 3 b 3 Skalarprodukt: a b a i b i a i b i δ ij a i a j (11) i1 Vektorprodukt: e 1 e 2 e 3 c a b a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c i (a b) i i,j,k1 ɛ ijk e i a j b k ɛ ijk e i a j b k (12) ɛ ijk a j b k ɛ ijk a j b k (13) j,k1 2

3 Nablaoperator Durch den Nablaoperator def e x z x + e y y + e z z e i e i i i, (14) der als formaler Spaltenvektor aufgefasst werden kann, lassen sich häufig gebrauchte mathematische Operation kompakt darstellen, zum Beispiele die Rotation einer vektoriellen Funktion u (x) rot u u der Gradient einer skalaren Funktion ρ (x) (u, v, w) T ɛ ijke i j u k, (15) z ρ grad ρ ρ x, y, ) T e x z x + e y y + e z z e i, (16) die Divergenz einer vektoriellen Funktion u (x) div u u sowie die Divergenz eines Tensors A (x) u u z x + v y + w z u i, (17) div A A ( T A ) T i A ij ; Matrizenmul.. (18) Die Operation A wird manchmal als Skalare Multiplikation von links bezeichnet, da man Sie formal als 3-malige skalare Multiplation der Spaltenvektoren von A mit auffassen kann ( A (A i1, A i2, A i3 ) ( A i1, A i2, A i3 ) T ). Oft wird auch der Ausdruck u u i u j ( j u i ) T J ij (19) z verwendet, welcher einfach die Transponierte, der Jacobimatrix, der vektoriellen Funktion u ist. Linearkombinationen von beliebigen Funktionen f a, f b (vektoriell oder skalar) werden formal ausmultipliziert (α, β const): (αf a + βf b ) α f a + β f b (20) 3

4 Für Produkte (beliebige, z.b. skalare Multiplikation, Skalarprodukt, Vektorprodukt, Matrizenmultiplikation) gilt die Kettenregel (f a f b ) ( f a f b ) + ( fa f b ). (21) Funktionen, die zu differenzieren sind, werden überstrichen (f a, f b ). Danach formt man (hoffentlich richtig) solange um, bis die überstrichenen Funktionen rechts vom Operator stehen und alle nicht überstrichenen links vom Operator. Die Überstriche können dann wieder entfernt werden. Oft ist es leichter bei Umformungen den Umweg über die Einsteinsche Indexschreibweise zu gehen. (ρuu) ( ρu) u ( ρu) u + ( ρu) u u ( ρu) + (ρu ) u (ρuu) i ρu i u j u j i ρu i + ρu i i u j u ( ρu) + (ρu ) u (22) Gaußscher Integralsatz Sei V ein kompaktes Volumen, V sei die abgeschlossene Hülle von V, V sei abschnittsweise Glatt, n sei der nach aussen zeigende Einheitsvektor senkrecht auf V und u sei eine auf ganz V stetig differenzierbare, vektorielle Funktion, dann gilt der gaußsche Integralsatz V iu i dv V u in i da V u ida i V udv V u nda V u da. (23) Vertauschung von Integration und Grenzübergang Sei f(x, t) eine Funktion von der Zeit t und des Ortes x und F (x, t) die Stammfunktion von f bezüglich x. Will man die zeitliche Ableitung des Integrals b(t) f(x, t)dx a(t) bilden kann man das Theorem von Leibniz anwenden d b(t) f(x, t)dx d (F (b(t), t) F (a(t), t)) dt a(t) dt F (b,t) F (b,t) db F (a,t) F (a,t) da + x dt x dt (24) d b(t) f(x, t)dx b dt a(t) a f db da dx + f(b, t) f(a, t), dt dt analog gilt in 3-D (u V ist die Geschwindigkeit der Hülle des Volumens V ) d f(x, t) f(x, t)dv dv + f(x, t) u V da (25) dt V (t) V (t) V (t) 4

5 1. Aufgabe: Gegeben seien die Vektorfunktionen u (x) und die skalare Funktion ρ (x). 1. Zeigen Sie unter Verwendung von Gleichung (8) die Gültigkeit folgender Gleichung ɛ ijk ɛ lmk ɛ ijk ɛ lmk δ il δ jm δ im δ jl. (26) k1 2. Zeigen Sie, daß folgende Ausdrücke gelten (a) ( u) 0, (b) ( ρ) Zeigen Sie, dass u oder anderst geschrieben u j ( ) u + (ρuu) ρ + u u, (27) + ρu i u j ρ ( ) uj + u i u j, (28) gilt unter der Vorrausstetzung + ρu 0, (29) bzw. + ρu i 0. (30) Hinweis: Multiplizieren Sie (24) mit u, bzw. (25) mit u j. 2. Aufgabe: Gegeben sei das Vektorfeld u (zx, zy, z 2 ) T und das zylinderförmige Volumen V {(x, y, z) R x R und R 2 x 2 y R 2 x 2 und 0 z z 0 } 1. Skizzieren Sie das Vektorfeld u (zx, zy, z 2 ) T. 2. Berechnen Sie das Volumenintegral ( u) dv, für das Volumen V direkt und mit Hilfe des Gaußschen Satzes V ( u) dv u n df u df. (31) V F Hierin ist F V die Hülle des Volumen V und n der aus dem Volumen herauszeigende Einheitsvektor. (Hinweis: In Zylinderkoordinaten (r cos φ, r sin φ, z) T wird vieles leichter). F 5