Rechenmethoden der Physik Vorlesungsskript

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1 Rechenmethoden der Physik Vorlesungsskript Prof. Dr. Gernot Akemann Fakultät für Physik Universität Bielefeld

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3 Inhaltsverzeichnis 0 Inhaltsübersicht Literatur: einige Standardwerke Übersicht Lineare Algebra Vektoren und Skalare Matrizen

4 Inhaltsverzeichnis 2

5 Inhaltsverzeichnis 3

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7 0 Inhaltsübersicht 0.1 Literatur: einige Standardwerke S. Großmann, Mathematischer Einführungskurs für die Physik (10. Aufl.), Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden, H. Schulz, Physik mit Bleistift (6. Aufl.), Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main, C.B. Lang und N. Pucker, Mathematische Methoden in der Physik (2. Aufl.), Spektrum Akad. Verl., Heidelberg, I.N. Bronstein und K.A. Semendjaev, Taschenbuch der Mathematik (8. Aufl.), Verlag Harri Deutsch, G. Fischer, Lineare Algebra: Eine Einführung für Studienanfänger (18. Aufl.), Springer Fachmedien Wiesbaden, Wiesbaden, Semesterapparat 0.2 Übersicht 1. Lineare Algebra 2. Analysis in 1 Dimension 3. Analysis in 1 Dimension 4. Fourier-Transformation 5

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9 1 Lineare Algebra Lit.: Gerd Fischer, Lineare Algebra 1.1 Vektoren und Skalare Gruppe G: Menge G mit Verknüpfung + : G G G G 0 abgeschlossen a, b G: a + b G G 1 + assoziativ (a + b) + c = a + (b + c) G 2 neutrales Element e: a G: e + a = a G 3 inverses a : a: a + a = e G ist abelsch, wenn a, b: a + b = b + a Körper K: Menge K mit 2 Verknüpfungen (K, +, ) K 1 (K, +) ist eine abelsche Gruppe, e = 0, a = a K 2 K K \ {0} ist eine Untergruppe: K K bzgl. und (K, ) ist abelsch, neutr. Element 1, a = a 1 K 3 Distributivgesetze a (b + c) = a b + a c, (a + b) c = a c + b c Beispiele: K = R oder K = C mit üblicher Addition und Multiplikation. Es gilt: e, a sind eindeutig, a K : a 0 = 0, a, b K : a b = 0 a = 0 oder b = 0. 7

10 1 Lineare Algebra Vektorraum über K (K-Vektorraum): K Körper, V Menge mit 2 Verknüpfungen +, ; + Addition V V V : v, w V v + w V Multiplikation mit Element aus dem Körper K V V : a K, v V a v V mit: V 1 (V, +) ist eine abelsche Gruppe, mit e 0 Nullvektor und inversem Element v zu v, so dass v + ( v) = 0 V 2 Distributivgesetze: (a + b) v = a v + b v, a(b v) = (ab) v, a ( v + w) = a v + a w, und 1 v = v, wobei 1 K. Die Elemente von K heißen Skalare (z. B. m, T,...), die von V Vektoren und werden mit gekennzeichnet (z. B. Geschwindigkeit r = v, Impuls m v = p, Drehimpuls r p = L,...) Beispiel: K = R (oder C) und V = R n, v n-tupel in oder V =Polynome Rn. Um zu einer expliziten Darstellung von Vektoren zu gelangen (u. a. um mit ihnen konkret zu rechnen) müssen wir eine Basis einführen Vektorenaddition u. skalare Multiplikation iteriert: (Geometrische Bedeutung Ü) Linearkombination: k a i v i V die Vektoren v 1,..., v k 0 sind linear unabhängig falls gilt k a i v i = 0 i = 1,..., k : a i = 0, (1.1) gibt es eine Lösung für (1.1) mit mind. einem a j 0, so sind die Vektoren linear abhängig: k v j = 1 a j a i v i. i j Basis (Fundamentalsystem): Die Menge von Vektoren e 1,..., e n bildet eine Basis von V falls 8

11 1.1 Vektoren und Skalare B 1 sie sind linear unabhängig, B 2 sie spannen V auf: V = span ( e i ),...,n : v V v 1,..., v n K mit v = n v i e i. Dann ist die Dimension dimv = n eine Wahl der Basis ist nicht eindeutig, z. B. { e 1, e 2 } Basis von R 2 { e 1 + e 2, e 1 e 2 } ist auch eine Basis nach Wahl einer Basis sind die Komponenten v i eines Vektors v bzg. dieser Basis eindeutig! Dann v 1,..., v n ; w 1,..., w n mit n n v = v i e i = w i e i 0 = v w = n (v i w i ) e i, e i linear unabh.,...,n, v i = w i. Beispiele: R 3 ist ein R-Vektorraum, Basis: { e 1, e 2, e 3 }, { e x, e y, e z }; v = (v 1, v 2, v 3 ) 3-Tupel mit kanonischer Basis e x = (1, 0, 0), e y = (0, 1, 0), e z = (0, 0, 1) und Addition komonentenweise (sowie Multiplikation) die Menge der Polynome mit maximalen Grad n ist ein (n + 1)-dim. Vektorraum Phasenraum eines Teilchens in der klass. Mechanik R 6 {x, y, z, p x, p y, p z } höhere Dim. für mehr Teilchen v, w V V V K Skalarprodukt: die Multiplikation von (inneresprodukt) Abb. in K ( v, w) v w K heißt Skalarprodukt falls gilt: ( v w = w w abelsch; es gibt auch nicht abelsch: K = C: v w), v (a 1 w 1 + a 2 w 2 ) = a 1 v w 1 + a 2 v w 2 linear, } v 2 v v 0 v 2 positiv definit, v ist die Norm ( Länge ) von v, = 0 v = 0 9

12 1 Lineare Algebra es gilt Cauchy-Schwarzsche Ungleichung: (Denn 0 λ v + w 2, obda v 0, wähle λ = v w/ v 2 u. Gl. v 2 0 ( v w) 2 + v 2 w 2.) Dreiecksungleichung: v w v w. (1.2) v + w v + w. (1.3) (Denn v + w 2 = v v w + w 2 v v w + w 2 ( v + w ) 2, oder geom. Beweis für R 2.) 2 Vektoren v, w V heißen orthogonal falls v w = 0. Wir definieren einen Winkel θ zwischen 2 Vektoren: für v, w 0 : cos θ := v w v w, (1.4) wegen Cauchy-Schwarz (1.2) gilt cos θ 1. insbesondere haben wir für θ = π/2: v w Orthogonalität. Orthonormale (ON) Basis: gegeben eine Basis { e 1,..., e n } von V, gilt i,j=1,...,n mit i j : e i e j = 0, so ist diese orthogonal. (1.5) Ist zusätzlich,...,n e i = 1 ist sie orthonormal. (Können wir immer durch Normierung erzielen e i e i e i, da i e i 0 (lin. unabh.!).) aus einer beliebigen Basis { a 1,..., a n } kann immer eine orthn. Basis rekursiv konstruiert werden: Gram-Schmidt Verfahren: 10

13 1.1 Vektoren und Skalare b1 := a 1, ( a 2 b 1 ) b2 := a 2. bk := a k k 1 b 1 2 b1, ( a k b i ) mit b i b j = 0 für i j, dann e j = b j / b j ist ON Basis. In einer ON Basis gilt: wegen ( n ) ( n ) v w = v i e i w j e j = j=1 b i 2 bi (1.6) n v i w j e i e j = i,j=1 n v i w i = v i w i (Einsteinsche Summenkonvention über gleiche Indizes), e i e j = δ ij = { 1, i = j 0, i j Kronecker Delta. (1.7) skalare Mult. bisher hatten wir K V V : a v Skalarprodukt V V K : v w. Gibt es weitere Multiplikationen, die wieder in V führen? R Ja!: 2 = C : z 1 z 2 C Mult. komplexer Zahlen z = v R 2 Ü R 3 : Vektorprodukt Vektorprodukt (Kreuzprodukt o. äußeres Produkt) auf V = R 3 : { R 3 R 3 R u v R 3 (1.8) mit folgenden Eigenschaften: ( ) antisymmetrisch: u v = v u u u = 0 linear: u (a v + b w) = a ( u v) + b ( u w)., 11

14 1 Lineare Algebra Wenn wir auf einer ON Basis defeinieren, ist es für alle Vektoren auf R 3 definiert: e 1 e Figur 1 (Rechtshändige ON Basis) = e zyklisch. In einer rechtshändigen ON Basis gilt: ( u v) = (u 1 e 1 + u 2 e 2 + u 3 e 3 ) (v 1 e 1 + v 2 e 2 + v 3 e 3 ) linear = (u 1 v 2 u 2 v 1 ) e 1 e }{{} 2 + (u 2 v 3 u 3 v 2 ) e 2 e 3 + (u }{{} 3 v 1 u 1 v 3 ) e 3 e }{{} 1 = e 3 = e 1 = e 2 =(u 2 v 3 u 3 v 2 ) e 1 + (u 3 v 1 u 1 v 3 ) e 2 + (u 1 v 2 u 2 v 1 ) e 3, 3 ( u v) i = ɛ ijk u j v k. (1.9) j,k=1 Total anti-sym. Epsilon-Tensor (3. Stufe: 3 Indizes) 0, wenn je 2 (oder mehr) Indizes gleich ɛ ijk = +1, wenn ijk zyklische Permutationen von {1, 2, 3} 1, wenn ijk nicht zyklische Permutationen von {1, 2, 3} (1.10) 3 Indizes 3! = 6 Permutationen: + - ɛ ɛ Vorzeichen ändert sich nicht bei zyklischer Vertauschung. Skalarprodukt und Vektorprodukt spielen eine wichtige Rolle in der Elektrodynamik, mit Ableitungen als Komponenten. (geometrische) Eigenschaften des Vektorprodukts: u 0 = 0, 0! = u ( u v) = u 1 (u 2 v 3 u 3 v 2 ) + u 2 (u 3 v 1 u 1 v 3 ) + u 3 (u 1 v 2 u 2 v 1 ) sowie 0 = v ( u v) (denn u v, v u oben, antisym.) (falls 0!) ( u v) ist senkrecht zu u und v, d. h. zur von u u. v aufgespannten Ebene (rechtshändig), Figur 2 (Normale und Winkel von/zwischen u und v.) 12

15 1.1 Vektoren und Skalare Flächenbestimmung: u v 2 = (u 1 v 2 u 2 v 1 ) 2 + (u 2 v 3 u 3 v 2 ) 2 + (u 3 v 1 u 1 v 3 ) 2 =... = u 2 v 2 ( u v) 2 = u 2 v 2 ( 1 cos 2 θ ), u v = u v 1 cos 2 θ = u v sin θ (1.11) = Fläche des von u und v aufgespannten Parallelogramms. Figur 3 (Parallelogramm u, v, θ.) Beispiel: u = 1 2 ( e x + e y ) u 2 = ( ) 2 ( ) = 1 v = e z v 2 = 1 u v = 0 u v spannen Einheitsquadrat auf u v = 1 2 ( e x + e y ) e z = 1 2 ( e y + e x ) u = 0 v = 0 u v 2 = = Fläche = 1 Außerdem gilt, dass diese { u, v, u v} eine neue ON Basis bilden. u v = 0, wenn: Kombinationen von u v v = v (±1) u u ( u v) i = j,k (oder mit: θ = 0, π) ɛ }{{} ijk u j u k anti }{{} sym. (±1) u v { Skalarprodukt und Vektorprodukt? Vektorprodukt und Vektorprodukt? 13

16 1 Lineare Algebra Spatprodukt: u ( v w) V V V K Zyklizytät 1) = v ( w u) 2) = w ( u v) denn: u ( v w) = n u i n ɛ ijk v j w k j,k, endliche Summen können immer Idee: ɛ ijk = ɛ jki = ɛ kij umgeordnet werden n n = ɛ jki w k u i 1) = j=1 n k=1 v j w k k,i n ɛ kij u i v j 2) (Später: schreibe Spatprodukt mit Determinante) i,j es gibt weitere Identitäten bei anti-zyklischer Vertauschung von ( v w) = ( w v) Vertauschbarkeit u ( v w)! = ( u v) w, denn: 2) oben, Skalarprodukt ist kommut. = w ( u v) Volumenbestimmung Volumen = Fläche Höhe Höhe = cos θ u u ( v w) = cos θ u v w Figur 4, Parallelepiped (= Spat) das von u, v, w aufgespannte Spatvolumen ist 0 u, v, w sind linear unabhängig (denn alle wechselseitigen Kreuzprodukte müssen 0 sein) Weitere Eigenschaften des Vektor- und Skalarproduktes: Graßmann-Identität u ( u w) = ( u w) v ( u v) w (1.12) (Beweis Übung) 14

17 1.2 Matrizen Lagrange-Identität ( u 1 u 2 ) ( v 1 v 2 ) = ( u 1 v 1 ) ( u 2 v 2 ) ( u 1 v 2 ) ( u 2 v 1 ) (1.13) (Beweis Übung) Jacobi-Identität u ( v w) + v ( w u) + w ( u v) = 0 (1.14) (Beweis Übung) Aus der Jacobi-Identität folgt, dass das Vektorprodukt i.a. nicht zyklisch ist u ( v w) ( u v) w, d.h. Klammern sind wichtig! Im Gegensatz dazu hatten wir u ( v w) = ( u v) w * Wir kommen später auf diese Formeln zurück in der Differential- und Integralrechnung in 3 Dimensionen. * weitere Multiplikationen von Vektoren die V V abbilden (in bel. Dim.): lineare Abbildungen und Matrixmultiplikation 1.2 Matrizen lineare Abbildung M : V V v w = M ( v) auf K-Vektorraum V, wenn gilt L 1 v, w V : M ( v + w) = M ( v) + M ( w), L 2 v V, a K : M (a v) = a M ( v). Darstellung der linearen Abbildung: Matrix wähle ON Basis { e i },...,n, so dass v = n v j e j = v j e j w = n w i = k=1 n j=1 w k e k = M ( v) L 1, 2 = n j=1 j=1 v j M ( e j ) e i, e i e k = δ ik v j e i M ( e j ) = M ij v j, wobei e i M ( e j ) M ij K, damit Resultat in K und M ij Darstellung von M in Basis { e i }. 15

18 1 Lineare Algebra Beispiele: lineares Gleichungssystem: w, M gegeben: w 1 M 11 v M 1n v n.. w i = M i1 v M in v n.. w n M n1 v M nn v n M 11 M M 1j... M 1n v 1 M 1 v M i M ij.. M. in v j = M i v, M n1 M n2... M nj... M nn v n M n v wobei Mi der i-te Zeilenvektor ist Nullmatrix: 0 n n =....., Einheitsmatrix: 1 n n = mit M ij = δ ij Im Allgemeinen betrachten wir im folgenden nur quadratische Matrizen M. ( ) Zeitreihen Rechteckige Matrizen (z.b. in der Finanzmathematik) Firmen Beispiele: ( ) M11 M 12 M 1 ( ) 13 v v M 21 M 22 M 2 w1 =, also M : R 3 R w v 2 3 M n m Matrix: R m R n. 16

19 1.2 Matrizen Transponierte Matrix: ( M ) = M ij ji (definiert für quadratisches und rechteckiges M insbesondere für Vektoren: MM quadratisch) v V als n 1 Matrix : v =. v 1 v n SpaltenVektor, v = ( v 1... v n ) Zeilenvektor. (1.15) Skalarprodukt als Matrixprodukt: w 1 v w = v i w i = ( ) v 1,..., v n. w n = v w Abbildung von R n R 1 Symmetrische Matrix: ( ( ) M ) a b = M ij ji = +M ij, z.b., b c antisymmetrische Matrix: ( ( ) M ) 0 b = M ij ji = M ij, z.b.. b 0 Operationen von Matrizen: M, N: V V elementweises Addieren (M + N) ij = M ij + N ij wichtig: gleiche Dimension mit Skalaren Multiplizieren (am) ij = am ij Hintereinanderausführung: v = N u, w = M v: =K. w = M (N u) w i = M ij N jk v k aber i.a. N (M u) (= N ij M jk u k ) ist assoziativ A(BC)=(AB)C und distributiv A(B+C)=AB+AC Vertauschen von 2 Matrizen: Kommutator [M, N] = MN NM Eigenschaften von * ( M ) = M * (M + N) = M + N 17

20 1 Lineare Algebra * (MN) = N M denn ( (MN) ) ij = M jk N kj = ( N ) ik (M) kj = ( N M ) ij z.b. MM ist symmetrisch In der Quantenmechanik brauchen wir Matrizen mit M ij C betrachte K = C Vektorraum, z.b. V = C n : konjungierte Matrix (M ) ij = (M ij ) komplexe Konjugation ( adjungierte Matrix ) M = (M ij ij) = ( M ) Kreuz ij (engl.dagger) selbstadjungierte oder hermitesche Matrix M = M wegen (z ) = z hat dieselben Eigenschaften wie (Notation Mathematik: oft z z, M M ) Beispiel: die Pauli-Matrizen sind hermitesch: σ x = ( ) 0 1, σ 1 0 y = ( ) ( ) 0 i 1 0, σ i 0 z = 0 1 (1.16) Funktionen von Matrizen viele wichtige Funktionen in der Physik besitzen eine Taylorreihendarstellung, die auf ganz R (oder sogar C) konvergiert Beispiele: * e x = n=0 1 n! xn * cos x = 1 2 (eix + e ix ) = (e ix = cos x + i sin x) n=0 Damit definieren wir z.b. ( e M) ij ( 1) n (2n)! x2n, etc. n=0 1 (M n ) n! ij, wegen AB BA gilt aber i.a. e AB e BA (nicht kommutierende Matrizen) oder allgemeiner: F (z) = a j x j F (M) = a j M j. j=0 Insbesondere sind einfache Beispiele P k Polynome vom Grad k: a j = 0 j > k : P 2 (M) = a1 + bm + cm 2, wobei a, b und c Skalare K. j=0 18

21 1.2 Matrizen Das transponierte M einer Matrix M ist wichtig z.b. bei Drehungen: lineare Abbildung (gegeben durch Matrixmultiplikation), die das Skalarprodukt invariant läßt (und damit insbesondere die Norm aller Vektoren!): =Länge x x = O x (= Ox als Spaltenvektor) mit x y! = x y = (x ) y = (O x) (O y) = x O O y! = x y O O = 1. (1.17) Matrizen, deren inverse Matrix O 1 = O, heißen orthogonal. Es gilt auch O O = 1. (O: orthogonale Transformation) für einen C-Vektorraum, z.b. C n läßt sich mit u, v C n : u v ein (nicht kommutatives) Skalarprodukt definieren, das eine positiv definite Norm hat. Dies wird durch folgende lineare Abbildung invariant gelassen: u u = U u, v v = U v ( u ) v = (Uu) Uv = u U Uv! = u v U U = 1, (1.18) solche Matrizen heißen unitär. Es gilt auch UU = 1. (U: unitäre Transformation) 19