Vortrag 20: Kurze Vektoren in Gittern

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1 Seminar: Wie genau ist ungefähr Vortrag 20: Kurze Vektoren in Gittern Kerstin Bauer Sommerakademie Görlitz, 2007

2 Definition und Problembeschreibung Definition: Gitter Seien b 1,,b k Q n. Dann heißt die Menge aller ganzzahligen Linearkombinationen L = {λ 1 b 1 + +λ k b k λ i IN} das durch die Vektoren b 1,,b k erzeugte Gitter. Die Länge eines Vektors ist durch dessen euklidische Norm gegeben. Problembeschreibung: Finde einen kürzesten Vektor in einem gegebenen Gitter Anwendung: Algebraische Zahlentheorie Beispiel: Q n = Q, b 1 = 8, b 2 = 10, L = {8λ λ 2 λ i IN} 2 = 1*10 1*8 ist auch ein Vektor des Gitters und damit: L = {2λ λ IN} 2 und -2 sind die kürzesten Vektoren in L.

3 Bemerkungen: Im Weiteren haben alle Gitter vollen Rang, d.h. sie spannen den kompletten Raum Q n auf. Die Berechnung eines kürzesten Vektoren ist NP-hart, allerdings existieren polynomielle Algorithmen, die einen relativ kurzen Vektor bestimmen, dessen Länge um maximal einen nur von der Dimension, nicht vom Gitter abhängigen Vorfaktor abweicht. Notation: B sei die durch die Zeilenvektoren b 1,.., b n aufgespannte Matrix Vektoren a 1,.., a n bilden eine Basis eines Gitters L, wenn sie das Gitter L aufspannen Quadratische Matrizen mit ganzzahligen Einträgen und Determinante ±1 heißen unimodular

4 Basen, Determinanten und Orthogonalitätsdefekt Sei im Weiteren b 1,.., b n immer eine Basis von L. Satz: Gegeben seinen a 1,.., a n L. Dann sind äquivalent: 1. a 1,.., a n bilden eine Basis von L 2. det(b) = det(a) 3. Es gibt eine unimodulare n x n Matrix U mit A = UB Beweis: 1 2: b 1,.., b n sind Basis von L a 1,, a n sind ganzz. Linearkombinationen der b i A = Λ B B mit Λ ganzzahlig det (A) = k B * det B mit k B ganzzahlig Analog: det (B) = k A * det A det(b) = det(a) 2 3: Wegen det(b) = det(a) ist det Λ A = 1 und damit Λ A unimodular 3 1: Da U unimodular ist, ist auch U -1 unimodular B = U -1 A mit U -1 unimodular Die Vektoren b i sind ganzzahlige LK der a i a 1,, a n bilden eine Basis von L

5 Folgerung: Die Determinante eines Gitters ist bis auf Vorzeichen eindeutig bestimmt und wird mit det L bezeichnet. Geometrische Interpretation: det L gibt das Volumen des durch b 1,,b n aufgespannten Parallelepipeds an. Beispiel:

6 Bemerkungen: Orthogonale Basen beinhalten einen kürzesten Vektor Hadamards Ungleichung: det B b 1 b n und Gleichheit, wenn die a i orthogonal sind det L b 1 b n, Gleichheit bei orthogonalen Vektoren b 1... b n wird Orthogonalitätsdefekt der Basis det L b 1,,b n genannt. Je kleiner der Defekt, desto kürzer sind die Vektoren. Definition: primitive Vektoren Linear unabhängige Vektoren b 1,,b k heißen primitiv, wenn sie sich zu einer Basis von L ergänzen lassen. Satz: Ein Vektor a ist primitiv, wenn er in seiner Richtung am kürzesten ist.

7 Kürzeste Vektoren in zweidimensionalen Gittern Idee: Wie im euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des ggt schrittweises Ersetzen der Basis durch eine Basis mit kürzeren Vektoren. Bezeichnung: θ sei der Winkel zwischen den Basisvektoren b 1 und b 2. Satz: Ist 60 θ 120, dann ist b 1 ein kürzester Vektor von L. Beweis: Annahme: Es gibt einen noch kürzeren Vektor b. b 1 und b 2 sind primitiv b ist nicht von b 1 oder b 2 linear abhängig Fallunterscheidung: b bildet entweder mit b 1, b 2, -b 1 oder b 2 einen Winkel von maximal 60 Sei D die durch b und diesen Vektor gebildete 2 2 Matrix. det D < b 1 b 2 sin θ = det L Widerspruch zu det D = k det L mit k Z.

8 b2 b1 Bezeichnung: μ = b (dabei ist µ 21 b 1 die Komponente von b 2 die in Richtung von b 1 zeigt) Proposition 1: Erfüllt eine Basis b 1 b 2 µ 21 ½ dann ist b 1 ein kürzester Vektor von L. Beweis: b2 b 1 µ 21 b 1 Es gilt: cos θ = = b b b Also ist cos θ ½ und damit 60 θ 120

9 Algorithmus 1: kürzester Vektor in Dimension 2 1. Initialisierung: o.b.d.a b 1 b 2 2. While (Bed von Prop. 1 nicht erfüllt) a) If μ 21 > ½ Then b 2 = b 2 mb 1 mit m = round (μ 21 ) b) If b 1 > b 2 Tausche b 1 und b 2 3. Return b 1 Korrektheit: Nach Schritt 2a) ist immer die erste Bedingung von Proposition 1 erfüllt. Ist die Bedingung von Schritt 2b) erfüllt, so sind alle Bedingungen von Proposition 1 erfüllt, also ist die Ausgabe korrekt. Termination b 1 b 2 wird in jedem Schritt kleiner. Da es nur eine endliche Menge an Gittervektoren innerhalb eines gegebenen Radius gibt, terminiert der Algorithmus.

10 Kürzeste Vektoren in n-dimensionalen Gittern Für den Algorithmus wird das Gram-Schmidt- Orthogonalisierungsverfahren benötigt. Theorem: Gram Schmidt Orthogonalisierung Seien x 1,,x n IR n linear unabhängig. Definiere rekursiv: x 1 * = x 1 x i * = i i-1 * ijx j mit µ ij := j=1 x - µ * x i x j * * j x j x M := (µ ij ) 1 j = i mit µ' ij= 0 j > i -µ ij j < i Dann gilt: a) x * i 0, x * i x * j = 0 für i j, <x 1,,x n > =<x * 1,,x * n > b) x * i ist die Projektion von x i auf <x 1,,x i-1 > c) (x * 1,,x * n ) = (x 1,,x n ) * M

11 Bezeichnungen / Feststellungen: Mit µ ii = 1 folgt damit für eine Basis: b i = i j=1 µ * ijb j Für j < i: b i (j) := µ ij b j * + µ i,j+1 b j+1 * + +b i * OPT := Länge des kürzesten Vektores eines Gitters L Lemma: Sei b 1,,b n eine Basis des Gitters L und b * 1,,b * n die Gram- Schmidt-Orthogonalisierung der Basis. Dann gilt: OPT min{ b * 1,, b * n } Beweis: Sei v = k λibi ein kürzester Vektor von L, wobei k der i=1 größte Index mit λ k 0. Dann ist mit b i = i * µ ijb j und µ ii = 1: j=1 v = k * * λibi mit λ * k = λ k i=1 Da b * 1,,b * n orthogonal sind und λ k ganzzahlig, folgt also OPT 2 = v 2 λ 2 k b * k 2 b * k 2 Damit: OPT min { b * 1 2,, b * n 2

12 Definition: Eine Basis b 1,,b n eines Gitters L heißt Gauß-reduziert, wenn gilt: 2 b (i) b (i) 3 i i+1 µ i+1,i ½ Algorithmus 2: kürzester Vektor in Dimension n 1. While (b 1,,b n nicht Gauß-reduziert) For i = 1 to n do If μ i+1,i > ½ Then b i+1 = b i+1 mb i mit m = round (μ i+1,i ) Wähle i beliebig mit b i > 2 3 b i+1 und 2. Return b 1 vertausche b i und b i+1 Theorem: Algorithmus 2 terminiert nach einer polynomialen Anzahl von Iterationen. Die Approximationsgüte beträgt 2 (n-1)/2

13 Bemerkung: Eigentlich müsste gezeigt werden, dass die Zahl der Bit- Operationen polynomial beschränkt ist und nicht nur die Zahl der arithmetischen Operationen. Eine einfache Erweiterung von Algorithmus 2, die Lovász-reduzierte Basen benutzt, erfüllt diese Bedingung. Definition: Eine Basis b 1,, b n des Gitters L ist Lovász-reduziert, wenn gilt: b 1,, b n ist Gauß-reduziert Für 1 j < i n: µ ij ½ Satz: Der Orthogonalitätsdefekt einer Lovász-reduzierten Basis ist durch 2 n(n-1)4 beschränkt.