3.4 Gradient, Divergenz, Rotation in anderen Koordinaten

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1 3.3.5 Rechenregeln Für Skalarfelder f, g und Vektorfelder v, w gelten die Beziehungen fg) = f g + g f v w) = v ) w + w ) v + v w) + w v) f v) = f v + v f v w) = w v) v w) 3.5a) 3.5b) 3.5c) 3.5d) f) = div grad f) = f Laplaceoperator) 3.5e) v) = div rot v) = quellenfrei) 3.5f) f) = rot grad f) = wirbelfrei) 3.5g) f v = f v + f v v w) = w ) v w v) + v w) v ) w v) = rot rot v) = grad div v) v 3.5h) 3.5i) 3.5j) Zur Übung beweisen wir die erste Zeile: fg) = x fg), y fg), z fg)) = g x f + f x g, g y f + f y g, g z f + f z g) = g x f, g y f, g z f) + f x g, f y g, f z g) = g x f, y f, z f) + f x g, y g, z g) = g f + f g 3.4 Gradient, Divergenz, Rotation in anderen Koordinaten Die soeben kennengelernten Differentialoperatoren beschreiben die räumliche Variation von Skalar- und Vektorfeldern. Wie schon im Fall von zeitabhängigen Vektoren führt die Ortsabhängigkeit der Basisvektoren in krummlinigen Koordinatensystemen zu etwas komplizierteren Ausdrücken im Vergleich zu kartesischen Koordinaten. 52

2 Kapitel 3. Vektoranalysis: Differentialrechnung 3.4. Polarkoordinaten Am einfachsten lassen sich die Zusammenhänge wieder in Polarkoordinaten verstehen. Um den Nablaoperator in Polarkoordinaten zu bestimmen, betrachten wir die Änderung des Skalarfeldes f r) zwischen den zwei Punkten r = r, ) und r +d r = r +dr, +d), df = f f dr + d 3.5) r Der Gradient soll unabhängig von der Wahl der Koordinaten folgende Gleichung erfüllen: df = d r f 3.52) wobei der Vektor d r in Polarkoordinaten folgende Darstellung hat: d r = dr ê r + rd ê 3.53) Der Gradient von f ist ein Vektor, und deshalb ebenfalls mit Hilfe von ê r und ê darstellbar: f = αê r + βê 3.54) Mit diesem Ansatz erhalten wir df = d r f Der Vergleich mit Gleichung 3.5) ergibt = dr ê r + rd ê ) αê r + βê ) = αdr + βrd 3.55) α = f r, β = r f 3.56) 53

3 und damit für den Gradienten von f in Polarkoordinaten f f = ê r r + ê f r Der Nablaoperator ist also in Polarkoordinaten gegeben durch = ê r r + ê r 3.57) 3.58) Mit Hilfe des Nablaoperators können wir auch die Divergenz in Polarkoordinaten ableiten, müssen dabei aber die Abhängigkeit der Basisvektoren von r und beachten: ê r r = rcos ê x + sin ê y ) = ê r = r sin ê x + cos ê y )= 3.59) ê r = cos ê x + sin ê y ) = sin ê x + cos ê y = ê ê = sin ê x + cos ê y )= cos ê x sin ê y = ê r 3.6) Die Divergenz des Vektorfeldes v ist damit ) v = ê r r + ê v r ê r + v ê ) r [ = ê r r v rê r ) + ] r v ê ) + [ r ê v rê r ) + ] v ê ) [ ] v r = ê r + v + r ê ê r r êr + v r r [ v r ê r êr + v r ê r ê + v r ê = v r r êr ê r + v r êr ê + r = v r r + r v r + v r + v ê ê + v ê r v r ê ê r ] + r v r ê ê + v r ê ê Die Divergenz wird üblicherweise noch folgendermaßen umgeschrieben: v = r r rv r) + v r r v ê ê r 3.6) 3.62) 54

4 Kapitel 3. Vektoranalysis: Differentialrechnung Den Laplaceoperator erhalten wir, in dem wir in den Ausdruck für die Divergenz den speziellen Vektor f f v = f = ê r +ê 3.63) r r v r v einsetzen: f = f = r r r f r = r v r + f r r v Wir berechnen die Divergenz des radialen Vektorfeldes v = rê r : v = r In kartesischen Koordinaten gilt v = xê x + yê y, und f r + 2 f r f r ) r rr) + r = r r r2 = 2 v = x x + y y = 2 Die Divergenz ist also unabhängig vom Koordinatensystem. Hätten wir die Divergenz in Polarkoordinaten als v = r v r + v definiert, wäre das nicht der Fall Zylinderkoordinaten Die Herleitung der Differentialoperatoren kann auf demselben Weg wie für Polarkoordinaten erfolgen. Für die Ableitungen der Basisvektoren ergeben sich folgende Beiträge: Alle anderen Ableitungen sind Null. ê = ê, ê = ê 3.65) Der Gradient eines Skalarfeldes f in Zylinderkoordinaten ist gegeben durch f f = ê + ê f + ê f z z und für den Nablaoperator gilt entsprechend = ê + ê + ê z z 3.66) 3.67) 55

5 Die Divergenz eines Vektorfeldes ist gegeben durch v = v ) + v + v z z 3.68) Im Unterschied zu den Polarkoordinaten können wir in drei Dimensionen auch die Rotation definieren, welche in Zylinderkoordinaten durch v = ) vz ê v vz ê z v ) + v ) v ) z êz = ê ê ê z z 3.69) v v v z gegeben ist die Determinante muss nach der ersten Zeile entwickelt werden). Schließlich haben wir noch den Laplaceoperator in Zylinderkoordinaten: f = f ) + 2 f f z 2 3.7) Das Magnetfeld eines vom Strom I durchflossenen Leiters in der z Richtung ist gegeben durch B = µ ) I y x 2π x 2 + y 2 êx + x 2 + y 2 êy Um die Divergenz und die Rotation von B zu berechnen, transformieren wir zuerst in Zylinderkoordinaten B = µ [ I sin 2π 2 cos ê sin ê ) + cos ] 2 sin ê + cos ê ) = µ I 2π = µ I 2π ê sin cos + sin cos ) +ê sin 2 + cos 2 ) = = ê Das Feld hat die Komponenten B =, B = µ I/2π und B z =. Daraus erhalten wir B = µ I 2π = B = ê ê ê z z µi 2π = Das Ergebnis B = ist überraschend, weil es sich bei B offensichtlich um ein Feld mit einer Drehkomponente handelt. Wir werden sehen, dass das Resultat nur für > gilt, während der felderzeugende Strom bei = fließt. 56

6 Kapitel 3. Vektoranalysis: Differentialrechnung Kugelkoordinaten Der Gradient eines Skalarfeldes f ist gegeben durch f f = ê r r + ê f θ r θ + ê f r sin θ 3.7) Der Nablaoperator hat entsprechend die Form = ê r r + ê θ r θ + ê r sin θ 3.72) Die Divergenz ergibt sich als v = r 2 r r2 v r ) + r sin θ θ sin θv θ) + v r sin θ Die Rotation kann in der Form Entwicklung nach der ersten Zeile) v = r 2 sin θ ê r rê θ r sin θê r θ v r rv θ r sin θv 3.73) 3.74) geschrieben werden, und der Laplaceoperator ist gegeben als f = r 2 r 2 f ) + r r r 2 sin θ sin θ f ) + θ θ 2 f r 2 sin 2 θ ) Wir berechnen die Rotation des Feldes F = c r 3 r = c r 3 rê r = c r 2 êr In Kugelkoordinaten erhalten wir F = r 2 sin θ ê r rê θ r sin θê r θ c r 2 Das Feld hat in diesen Koordinaten nur eine Komponente F r. Da die Ableitungen von r nach θ und verschwinden ist die Rotation Null. 57

7 3.4.4 Orthogonale, krummlinige Koordinaten Die Faktoren in den Differentialoperatoren im Vergleich zu kartesischen Koordinaten haben mit der Änderung des Ortsvektors bei Variation einer Koordinate zu tun. Betrachten wir orthogonale Koordinaten ux, y, z), vx, y, z), wx, y, z), dann haben wir zunächst was mit den Koeffizienten r u = h u, d r = r r r du + dv + dw 3.76) u v w r v = h v, und ê α = r/α)/h α Kapitel 2) zu folgender Darstellung führt: r w = h w, 3.77) d r = h u duê u + h v dvê v + h w dwê w. 3.78) Während in kartesischen Koordinaten h x = h y = h z = gilt, ist das im Allgemeinen nicht der Fall. Entsprechend ergeben sich die Differntialoperatoren wie folgt: f = f ê α h α α α = f ê u h u u + f ê v h v v + f ê w h w w A ) = A α h β h u h v h w α α β α A h u ê u h v ê v h w ê w = h u h v h w u v w h u A u h v A v h w A w 3.79) 3.8) 3.8) Aus den entsprechenden Definitionen in Kapitel 2 folgt für Zylinderkoordinaten h =, h = r, h z =, und für Kugelkoordinaten h r =, h θ = r, h = r sin θ. 58