Helmuts Kochrezept Nummer 5:

Transkript

1 Helmuts Kochrezept Nummer : Lokale Koordinatentransformation von Vektorfedern Version 2, ) Dieses Kochrezept erklärt Dir, wie du ein Vektorfeld von einem orthonormalen Koordinatensystem z.b. kartesische Koordinaten) in ein anderes orthonormales Koordinatensystem z.b. Kugelkoordinaten) transformierst, und erklärt dir vorab, worum es dabei überhaupt geht. 1 Worum geht s überhaupt, oder: Was ist eigentlich der Unterschied zwischen ransformation von Koordinatenpunkten und Koordinatentransformation eines Vektorfeldes? 1.1 ransformation von Koordinatenpunkten Die ransformation von Koordinatenpunkten ist leicht verständlich. Nehmen wir an, wir hätten einen Ortsvektor r, der im R 2 auf den Punkt x = 1, y = 1 zeigt. In kartesischen Koordinaten wird dieser Vektor wie folgt über die zwei Längenangaben x = 1 und y = 1 repräsentiert: [r ] xy = 1 1 ) 1) In Polarkoordinaten wird derselbe Vektor in über die Länge des Vektors r = 2 Pythagoras) und den Winkel φ = π/4 dargestellt [r ] rφ = 2 π/4 ) 2) Abbildung 1: Derselbe Ortsvektor einmal in kartesischen Koordinaten und einmal in Polarkoordinaten. Die Umrechnung von [r ] xy zu [r ] rφ erfolgt mit r = x 2 + y 2, und φ = arctany/x) zumindest im ersten Quadranten). Die Angabe von r in Polarkoordinaten bedeutet hier also die Angabe einer Länge und eines Winkels. Bei der Koordinatentransformation eines Vektorfeldes ist das jedoch, wie im folgenden Kapitel erklärt wird, ein wenig anders! Helmut Hörner,

2 1.2 Koordinatentransformation eines Vektorfeldes Ein Vektorfeld im R n ist eine vektorielle Funktion, die als Input einen Vektor im R n schluckt, und als Output einen Vektor im R n zurückliefert. Dadurch wird jedem Punkt im R n ein Vektor zugeordnet. Dabei kann der Inputvektor im selben Koordinatensystem codiert sein wie der Outputvektor, aber auch in einem unterschiedlichen Beispiel: Input kartesisch, Output kartesisch Betrachten wir einmal den Fall des folgenden Vektorfeldes in R 2, welches als Input einen Vektor in kartesischen Koordinaten erwartet, und als Output ebenso einen Vektor in kartesischen Koordinaten zurückliefert: Plottet man dieses Vektorfeld, dann sieht es so aus: v = [v x, y)] xy = y 1 1 x ) 3) Abbildung 2: Das Vektorfeld [v x, y)] xy = Warum ist das so? Nun, nehmen wir z.b. als Input den Ortsvektor 1.7 ) in kartesischen Koordinaten), dann 1.7 erhalten wir als Output den Vektor [v 1.7,1.7)] xy = 0.14 ) wiederum in kartesischen Koordinaten). Dem 0.14 Punkt 1.7,1.7) ist also einen kurzer Vektor zugeordnet, der im Winkel von 4 nach rechts unten zeigt siehe Abbildung 2). Genau so kann man sich das für jeden beliebigen anderen Punkt überlegen. y 1 1 x ). Helmut Hörner,

3 Abbildung 3: Dem Punkt x = 1. 7, y = 1. 7 ist durch das Vektorfeld v ein kurzer Vektor zugeordnet, der nach rechts unten zeigt Beispiel: Input polar, Output kartesisch Man könnte das Vektorfeld v nun beispielsweise so umwandeln, dass es als Input einen Vektor in Polarkoordinaten mit Länge r und Winkel φ) erwartet, aber den Outputvektor immer noch kartesisch darstellt. Dies geschieht einfach durch Substitution von x = r cosφ) und y = r sinφ): v = [v r, φ)] xy = r sinφ) 1 1 r cosφ) ) 4) Probe: Setzt man nun denselben Ortsvektor wie zuvor ein, nur diesmal in Polarkoordinaten r = und φ = π/4, dann erhält man wieder denselben Output in kartesischen Koordinaten) wie zuvor: sinπ/4) 1 [v , π )] = 4 xy cosπ/4) ) = ) ) Wir wollen aber hier etwas anderes: Wir wollen das Vektorfeld v so umwandeln, dass sowohl der Inputvektor, als auch der Outputvektor in Polarkoordinaten dargestellt werden, wobei das aber für den Outputvektor etwas anderes bedeutet als für den Inputvektor! Beispiel: Input polar und Output polar Wenn wir sagen, auch der Output des Vektorfeldes v soll in Polarkoordinaten erfolgen, dann bedeutet das nicht, dass der Output über die Länge r und den Winkel φ codiert wird. Vielmehr wird an den Punkt, um den es geht z.b. der Punkt x = 1.7, y = 1.7) ein kleines, lokales kartesisches Koordinatensystem angehängt, dessen eine Achsenrichtung radial entlang des Normalvektors e r zeigt, und dessen andere Achsenrichtung in Richtung der angente der positiven Drehrichtung φ entlang des Normalvektors e φ ) zeigt siehe Abbildung 4). Dieses Koordinatensystem ist lokal, d.h., es gilt nur in diesem Punkt! Helmut Hörner,

4 Das bedeutet, dass der polare Outputvektor nicht eine Länge r und Winkel φ codiert, sondern zwei kartesische Längenangaben hat, nämlich die Länge der Projektion auf die lokale e r -Achse, und die Länge der Projektion auf die lokale e φ -Achse). Abbildung 4: Das lokale Koordinatensystem e r, e φ im Punkt x = 1. 7, y = In unserem Beispiel sollte das entsprechend transformierte Vektorfeld [v r, φ)] polar beim Input r = und φ = π/4 entspricht x = 1.7, y = 1.7) die zwei Outputkoordinaten = und 0 liefern. Begründung: Der Outputvektor zeigt an dieser Stelle im Winkel von 4 nach rechts unten, also genau entgegengesetzt zu e φ vgl. Abbildung 3 und Abbildung 4). Damit wird die ganze Länge des Outputvektors, nämlich auf die erste Koordinate e φ projiziert. Der andere Vektor e r steht genau orthogonal; daher ist die zweite Koordinate gleich Null. Das transformierte Vektorfeld [v r, φ)] e r e φ mit den entsprechenden Eigenschaften sieht so aus: Probe: [v r, φ)] e r e φ = sinφ) cosφ) sinφ)+cosφ) r ) 6) [v , π 4 )] e r e φ = sin π 4 ) cosπ 4 ) sin π 4 )+cosπ 4 ) Im folgenden Kapitel wird gezeigt, wie man eine derartige ransformation berechnet. 0 ) = ) 7) Helmut Hörner,

5 2 Schritt-für-Schritt Anleitung zur Koordinatentransformation 2.1 heoretische Anleitung Angabe Gegeben sei das Vektorfeld v im R 3 ohne Beschränkung der Allgemeinheit für allgemeine Vektorfelder in R n ). Das Vektorfeld akzeptiert als Input einen Vektor in den alten Koordinaten r, s, t, und liefert als Ergebnis einen Vektor in den alten lokalen Koordinaten e r, e s, e t zurück. v r r, s, t) v = [v r, s, t)] rst = v s r, s, t) ) 8) v t r, s, t) Anmerkung: Bei kartesischen Ursprungskoordinaten x, y, z gibt es keinen Unterschied zwischen lokalen Koordinaten e x, e y, e z und globalen Koordinaten x, y, z Gesucht ist das transformierte Vektorfeld [v u, v, w)] uvw, das als Input einen Vektor in den neuen Koordinaten u, v, w akzeptiert, und als Ergebnis auch einen Vektor in den neuen lokalen Koordinaten e u e v e w zurückliefert. Bekannt sei die punktweise Koordinatentransformation vom neuen ins alte Koordinatensystem: r = ru, v, w) ; s = su, v, w) ; t = tu, v, w) 9) Berechnung Schritt 1: Wir setzen 22) in 21) ein, und erhalten somit: Schritt 2: v r u, v, w) v r ru, v, w), su, v, w), tu, v, w)) [v u, v, w)] rst = v s u, v, w) ) = v s ru, v, w), su, v, w), tu, v, w)) ) 10) v t u, v, w) v t ru, v, w), su, v, w), tu, v, w)) Die noch nicht normierten NN ) Basisvektoren der neuen Basis e u, e v, e w können in der alten Basis e r, e s, e t mit Hilfe von 9) wie folgt ausgedrückt werden: [e u NN ] rst = ru,v,w) u su,v,w) u tu,v,w) u ) ; [e v NN ] rst = ru,v,w) v su,v,w) v tu,v,w) v ) ; [e w NN ] rst = ru,v,w) w su,v,w) w tu,v,w) w ) 11) Schritt 3: Die Basisvektoren müssen normiert werden: [e u ] rst = [e u ] NN rst ; [e ] = [e v ] rst NN [e u ] NN rst v rst [e v ] NN ; [e rst w ] rst = [e w ] NN rst [e w ] rst NN 12) Helmut Hörner,

6 Schritt 4: Das transformierte Vektorfeld [v u, v, w)] uvw kann nun mittels der Ergebnisse 11) und 12) berechnet werden: [e u ] rst [v u, v, w)] rst [v u, v, w)] uvw = [e v ] rst [v u, v, w)] rst ) 13) [e w ] rst [v u, v, w)] rst Da das innere Vektorprodukt dasselbe ist wie das Matrixprodukt aus Zeilen- und Spaltenvektor, kann man 13) auch wie folgt als Matrixprodukt anschreiben: Explizit ausgeschrieben: wobei [e u ] rst [v u, v, w)] uvw = [e v ] rst ) [v u, v, w)] rst 14) [e w ] rst [v u, v, w)] uvw = A [v u, v, w)] rst 1) A = ru,v,w) u ru,v,w) v ru,v,w) w su,v,w) u su,v,w) v su,v,w) w tu,v,w) u tu,v,w) v tu,v,w) w ) 16) Diese ransformationsmatrix A ist die transponierte Jacobi-Matrix des Vektorfeldes [v ru, v, w), su, v, w), tu, v, w))] rst. A = J 17) Weil sie aber aus ortohogonalen Basisvektoren aufgebaut ist, ist sie selber orthogonal, und damit ist sie auch die inverse Jacobi-Matrix des Vektorfeldes [v ru, v, w), su, v, w), tu, v, w))] rst : Weiters gilt damit natürlich: Damit kann leicht die zu 1) inverse ransformation angeschrieben werden: A = J 1 18) A 1 = A = J 19) [v u, v, w)] rst = A [v u, v, w)] uvw 20) Helmut Hörner,

7 2.2 Praktisches Beispiel Angabe Gegeben sei das folgende Vektorfeld v in kartesischen Koordinaten. x yz v = [v x, y, z)] xyz = y + xz) 21) z Gesucht ist das transformierte Vektorfeld [v r, θ, φ)] rθφ, das als Input einen Vektor in Kugelkoordinaten r, θ, φ akzeptiert, und als Ergebnis einen Vektor in den lokalen Koordinaten e r, e θ, e φ zurückliefert. Bekannt sei die punktweise Koordinatentransformation von Kugelkoordinaten in kartesischen Koordinaten: xr, θ, φ) = r sinθ) cosφ) ; yr, θ, φ) = r sinθ) sinφ) ; z = r cosθ) 22) Berechnung Schritt 1: Wir setzen 22) in 21) ein, und erhalten somit: Schritt 2: v x r, θ, φ) r sinθ) cosφ) r 2 sinθ) cosθ) sinφ) [v r, θ, φ)] xyz = v y r, θ, φ) ) = r sinθ) sinφ) + r 2 sinθ) cosθ) cosφ) ) 23) v z r, θ, φ) r cosθ) Die nicht normierten NN ) Basisvektoren e r NN, e θ NN, e φ NN können in der kartesischen Basis e x, e y, e z wie folgt ausgedrückt werden: [e r NN ] xyz = [e θ NN ] xyz = [e φ NN ] xyz = xr,θ,φ) r yr,θ,φ) r zr,θ,φ) r ) xr,θ,φ) θ yr,θ,φ) θ zr,θ,φ) θ ) xr,θ,φ) φ yr,θ,φ) φ zr,θ,φ) φ ) 22) = 22) = 22) = r r θ θ φ φ r sinθ) cosφ) sinθ) cosφ) r sinθ) sinφ) = sinθ) sinφ) ) 24) r cosθ) cosθ) r ) r sinθ) cosφ) r cosθ) cosφ) r sinθ) sinφ) = r cosθ) sinφ) ) 2) r cosθ) r sinθ) θ ) r sinθ) cosφ) r sinθ) sinφ) r sinθ) sinφ) = r sinθ) cosφ) ) 26) 0 φ ) Helmut Hörner,

8 Schritt 3: Die Basisvektoren 24), 2) und 26) müssen noch normiert werden: 24) [e NN r ] xyz = sin 2 θ) cos 2 φ) + sin 2 θ) sin 2 φ) + cos 2 θ) = 1 27) 2) [e NN θ ] xyz = r 2 cos 2 θ) cos 2 φ) + r 2 cos 2 θ) sin 2 φ) + r 2 sin 2 θ) = r 28) 26) [e NN φ ] xyz = r 2 sin 2 θ) sin 2 φ) + r 2 sin 2 θ) cos 2 φ) = r sinθ) 29) Schritt 4: sinθ) cosφ) [e r ] xyz = [e r NN ] xyz = sinθ) sinφ) ) 30) [e NN r ] xyz cosθ) [e θ ] xyz = [e θ NN r cosθ) cosφ) cosθ) cosφ) ] xyz = 1 [e NN r cosθ) sinφ) ) = cosθ) sinφ) ) 31) θ ]xyz r r sinθ) sinθ) [e φ ] xyz = [e φ NN ] xyz = 1 [e NN φ ] xyz r sinθ) sinφ) sinφ) r sinθ) cosφ) ) = cosφ) ) 32) r sinθ) 0 0 Wir berechnen das transformierte Vektorfeld [v r, θ, φ)] rθφ mittels ransformationsmatrix: Es gilt: [e r ] xyz sinθ) cosφ) sinθ) sinφ) cosθ) A = [e θ ] xyz = cosθ) cosφ) cosθ) sinφ) sinθ) ) 33) [e φ ] ) sinφ) cosφ) 0 xyz Einsetzen von 30), 31), 32) und 23) ergibt: Ausgerechnet und vereinfacht ergibt dies: [v r, θ, φ)] rθφ = A [v r, θ, φ)] xyz 34) r sinθ) cosφ) r 2 sinθ) cosθ) sinφ) [v r, θ, φ)] rθφ = A r sinθ) sinφ) + r 2 sinθ) cosθ) cosφ) ) 3) r cosθ) r [v r, θ, φ)] rθφ = 0 r 2 cosθ) sinφ) ) 36) Helmut Hörner,

9 2.2.3 Rechnung in die andere Richtung Aufgabe: Wir nehmen das Ergebnis 36), und wollen zunächst [v r, θ, φ)] xyz herleiten. Dies machen wir durch Umkehrung der Matrixgleichung 34): Wegen 19) können wir schreiben: Setzen wir die transponierte Matrix 33) und Vektor 36) ein: Das Ergebnis lautet: [v r, θ, φ)] xyz = A 1 [v r, θ, φ)] rθφ 37) [v r, θ, φ)] xyz = A [v r, θ, φ)] rθφ 38) sinθ) cosφ) cosθ) cosφ) sinφ) r [v r, θ, φ)] xyz = sinθ) sinφ) cosθ) sinφ) cosφ) ) 0 cosθ) sinθ) 0 r 2 cosθ) sinφ) ) 39) r sinθ) cosφ) r 2 sinθ) cosθ) sinφ) [v r, θ, φ)] xyz = r sinθ) sinφ) + r 2 sinθ) cosθ) cosφ) ) 40) r cosθ) Vergleichen wir die erme mit den ransformationsregeln 22), können wir dies Umformen zu was mit der Ausgangsgleichung 21) übereinstimmt. x yz [v x, y, z)] xyz = y + xz) 41) z 3 Anhang: Differentialoperatoren in verschiedenen Koordinatensystemen 3.1 Kartesisch Nabla-Operator = x y z) ; ) i = i x i 42) Laplace-Operator = 2 = = 2 x y z 2 43) Gradient skalar) gradfr )) = fx, y, z) = fx,y,z) x fx,y,z) y fx,y,z) z ) = i f 44) Helmut Hörner,

10 Divergenz wenn 0 quellenfrei) v x x, y, z) v x r ) div v y x, y, z) ) = v y r ) ) = v x r ) x v z x, y, z) v z r ) + v y r ) y + v z r ) ; v ) z i = i v i 4) Rotation wenn 0 wirbelfrei; Potential φ: φ = v r )) v x x, y, z) v x r ) rot v y x, y, z) ) = v y r ) ) = v z x, y, z) v z r ) v z r ) y v x r ) z v y r ) x v y r ) z v z r ) x v x r ) y ) = ε ijk j x k 46) Vektorgradient ja, auch das gibt s ) gradv ) = v = v x x v x y v y x v y y v z x v z y 47) v x z v y z v z z ) 3.2 Zylinderkoordinaten Nabla-Operator = r 1 r φ z ) 48) Laplace-Operator = 2 = 1 r ) ) r r r r 2 φ 2 z 2 Gradient skalar) gradfr, φ, z)) = fr ) = fr,φ,z) r 1 fr,φ,z) r φ fr,φ,z) z ) 0) Divergenz wenn 0 quellenfrei) v r r, φ, z) v φ r, φ, z) ) = 1 r r rv r ) + 1 v φ r φ + v z z v z r, φ, z) 1) Rotation wenn 0 wirbelfrei; Potential φ: φ = v r )) 1 v z v φ φ z v r r, φ, z) r v v φ r, φ, z) ) = r v z z r v z r, φ, z) 1 [ rv r r φ) v r ] φ ) 2) Helmut Hörner,

11 3.3 Kugelkoordinaten Nabla-Operator = r 1 r θ 1 r sin θ φ) 3) Laplace-Operator = 2 = 1 f r 2 r2 ) + 1 r r r 2 sin θ θ sin θ θ ) + 1 r 2 sin 2 θ 2 φ 2 4) Gradient skalar) gradfr, θ, φ)) = fr, θ, φ) = fr,θ,φ) r 1 fr,θ,φ) r θ 1 fr,θ,φ) r sin θ φ ) ) Divergenz wenn 0 quellenfrei) v r r, θ, φ) v θ r, θ, φ) ) = 1 1 r v φ r, θ, φ) 2 r r2 v r ) + r sinθ) θ v 1 v φ θ sinθ)) + r sinθ) φ 6) Rotation wenn 0 wirbelfrei; Potential φ: φ = v r )) v r r, θ, φ) v φ r, θ, φ) ) = v z r, θ, φ) 1 [ v r sinθ) θ φ sinθ)) v θ ] φ 1 v r 1 r sinθ) φ r r rv φ) 1 r [ r rv θ ) v r θ ] ) 7) Helmut Hörner,