"Integral über die Ableitung einer Funktion hängt nur von ihrem Wert am Rand ab"
|
|
|
- Eike Waldfogel
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 V4.2 - V4.3: Integralsätze der Vektoranalysis [Notation in diesem Kapitel: Vorausschau/Überblick: alle Indizes unten!] "Integral über die Ableitung einer Funktion hängt nur von ihrem Wert am Rand ab" Hauptsatz der Analysis: Linienintegral des Gradients = Differenz an den Enden Linie von x nach x' Integral (Änderung pro Schritt) "Rand" der Linie = Punkte Gesamtänderung zwischen Endpunkten Satz v. Stokes: Flächenintegral der Rotation = Linienintegral Fläche mit Rand Integral (Zirkulation pro Flächenelement) Rand der Fläche = Linie Gesamtzirkulation entlang Rand der Fläche Satz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche Volumen mit Rand Integral (Ausfluss pro Volumenelement) Rand des Volumens = geschlossene Oberfläche Gesamtausfluss durch Aussenfläche des Volumens Erinnerung: V3.2 Gradient Geometrische Interpretation: zeigt in Richtung maximaler Steigung v. steht auf den 'Höhenflächen' v. bei Definition: 'Nabla-Operator': (nützliche Eselsbrücke, zum merken von gradient, Divergenz und Rotation) ist ein Vektor-Differentialoperator, wirkt auf all Funktionen, die rechts von ihm stehen. beinhaltet Ableitungen liefert einen Vektor, wenn er auf eine skalere Funktion einwirkt
2 Erinnerung: V3.2 Linienintegral eines Gradientenfeldes Skalarfeld: Gradient: Weg: Änderung von von nach Gesamtänderung entlang Weg : 'Steigung v. f' Schritt in Zeit Zusammenfassung der Strategie: finde geometrische Interpretation für Änderung auf einem infinitesimalem Wegelement; Summe über viele Elemente liefert ein Integral. Analoge Strategie funktioniert auch bei Gauß & Stokes (diese & nächste Vorlesung) Gradient: kartesisch vs. krummlinig: Kartesisch: konsistent mit (2.4) Alternativ: in orthogonal krummlinigen Koordinaten: Z.B. Kugelkoord:
3 Explizit: Kartesische Koordinaten: Zylinderkoordinaten: Kugelkoordinaten: Z.B., für berechne Cartesisch: Zylindrisch: Kugel: V3.3 Divergenz, Satz von Gauß Divergenz: Vektorfeld: Definition: 'Divergenz von ' (in Cartesischen Koordinaten): Notationscheck: Beispiel: Rechenregeln: Beweis v. (6): Produktregel
4 Geometrische Interpretation der Divergenz: Ausfluss pro Volumenelement sei ein Vektorfeld: (zur Anschauung: "Geschwindigkeitsfeld einer Flüssigkeit", mit d=3) Ziel: Berechne den Aussfluss von quaderförmiges Volumenelement bei durch ein Analog für anderen Flächen. Gesamtfluss [(rechts+links) + (hinten+vorne) + (oben+unten)]: "Ausfluss pro Volumenelement" Geometrische Definition der Divergenz Beispiele zur Anschauung: z.b.: mehr fließt raus als rein mehr fließt rein als raus
5 Satz v. Gauß: Volumenintegral v. Divergenz = Flussintegral über Fläche Betrachte nun endliches Volumen,, umschlossen durch Aussenfläche : aufgeteilt in viele infinitesimal kleine Quader: Ausfluss aus Quader i Beiträge aller (!) innerer Flächen heben sich weg, denn Normalvektoren benachbarter Quader sind entgegengesetzt Aussenflächen Satz von Gauss Interpretation: alles was quillt... [Mathematikvorlesung: sauberer Limesprozess, etc.] muss durch die Aussenfläche! Anmerkungen: (1) Berechnung des durch eine Fläche eingeschlossene Volumens : Wähle das triviale Vektorfeld Volumen Ermöglicht Volumenberechnung durch Integration allein über Oberfläche! Beispiel Kugel K mit Radius R: in Kugelkoordinaten (siehe Seite C4.6g) auf Kugeloberfläche gilt:
6 (2) Kontinuitätsgleichung: Sei = Massendichte, = Geschwindigkeitsfeld = Massenstromdichte Massenerhaltung in einem Volumen : Massenabnahme pro Zeit = Ausgeströmte Masse pro Zeit (i.4) rückwärts Integralform der Kontinuitätsgleichung (4) gilt für jedes Gebiet Differentialform der Kontinuitätsgleichung äquivalent zu Erhaltung der Masse (3) Maxwell-Gleichung für elektrisches Feld: Ladungsdichte Integriere über Volumen : Dielektrische Konstante Gesetz v. Gauß: Ladung in Fluss durch Oberfläche (4) Der Fluss quellenfreier Vektorfelder über geschlossene Oberflächen ist 0: Sei dann "quellenfrei" Explizites Beispiel für (1): Seite C4.7c Anwendung: Maxwell-Gleichung für Magnetfeld lautet: also sind Magnetfelder quellenfrei, und (4) gilt:
7 Beispiel: Fluss durch Pyramide Berechne den Fluss des Magnetfeld eines ebenen Quadrupols, durch eine Pyramide: mit Gauß Alternativ: Rand: unten links hinten schräg Unten: Normalenvektor: Links: Normalenvektor: Hinten: Normalenvektor: gleiche Rechnung wie für "links"
8 Schräg: Parametrisierung von durch "Gebirge" Orientiertes Flächenelement: Fluss durch konsistent mit (i.4) Divergenz in krumml. orthog. Koordinaten: Ortsvektor: Kurvengeschw.: "krummer" Quader Vektorfeld: Analog für die anderen beiden Flächenpaare (Indizes zyklisch vertauschen). Folglich: Quadervolumen: Divergenz: (8) = allgemeine Formel für Divergenz in krummlinig orthogonalen Koordinaten!
9 Konkret: Zylinderkoordinaten: Kugelkoordinaten: Beispiel 1: Sei also Beispiel 2: Sei also Laplace-Operator (Divergenz v. Gradient): Kartesische Koord: Definition 'Laplace- Operator': (Skalar-Differentialoperator, wirkt auf alle Funktionen, die rechts von ihm stehen) Beispiel: Laplace krummlinig: Hausaufgaben!
10 Zusammenfassung: V4.2 Divergenz, Satz v. Gauß Divergenz (cartesisch): Satz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche Volumen Symbolisch: suggestive Notation Geometrische Definition der Divergenz: Rand des Volumens = Oberfläche "Ausfluss pro Volumenelement" Divergenz in krummlinigen Koordinaten (d=3):
"Integral über die Ableitung einer Funktion hängt nur von ihrem Wert am Rand ab"
V4.2 - V4.3: Integralsätze der Vektoranalysis [Notation in diesem Kapitel: Vorausschau/Überblick: alle Indizes unten!] "Integral über die Ableitung einer Funktion hängt nur von ihrem Wert am Rand ab" Hauptsatz
Zusammenfassung: Flächenintegrale
Zusammenfassung: Flächenintegrale Gerichtetes Flächenelement: "Fluss" durch Flächenelement: "Fläche über G": "Fluss" durch die Fläche : Für orthogonale Koordinaten: Betrag des Flächenelements: Richtung:
Satz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche. suggestive Notation. "Ausfluss pro Volumenelement"
Zusammenfassung: Satz v. Gauß Satz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche Volumen Rand des Volumens = Oberfläche Symbolisch: suggestive Notation Geometrische Definition der
V4.3 Rotation, Satz von Stokes. Rotation: Vektorfeld: Definition: 'Rotation von ': (nur in d=3 Dimensionen definiert) Notationscheck:
V4.3 Rotation, Satz von Stokes Rotation: Vektorfeld: Definition: 'Rotation von ': (nur in d=3 Dimensionen definiert) Notationscheck: Erinnerung: Gradiententelder sind 'wirbelfrei': Für ein beliebiges (zweifach
Ziel (langfristig): wie lassen sich diese Eigenschaften mathematisch charakterisieren?
V4 Vektorfelder Vektorfelder haben oft Struktur: quellfrei, wirbelfrei Quellfeld Wirbelfeld Ziel (langfristig): wie lassen sich diese Eigenschaften mathematisch charakterisieren? Zunächst brauchen wir
C4.6: Oberflächenintegrale
C4.6: Oberflächenintegrale Ziel: Berechnung von Integralen, deren Integrationsbereich eine 2-dim. Fläche in einem 3-dim. Raum ist (z.b. Fläche von Kugel) Motivation / Anwendungen: - z.b. Elektrostatik:
Kapitel 11: Oberflächen- und Flussintegrale
Kapitel 11: Oberflächen- und Flussintegrale Ziel: Berechnung von Integralen, deren Integrationsbereich eine 2-dim. Fläche in einem 3-dim. Raum ist (z.b. Fläche von Kugel) Motivation / Anwendungen: - z.b.
Integrieren Das bestimmte Integral einer Funktion f f(x) in einer Variable über das Intervall [a,b] schreiben wir
![Integrieren Das bestimmte Integral einer Funktion f f(x) in einer Variable über das Intervall [a,b] schreiben wir](/thumbs/63/49989753.jpg "Integrieren Das bestimmte Integral einer Funktion f f(x) in einer Variable über das Intervall [a,b] schreiben wir")
Klassische Theoretische Physik TP-L - WS 2013/14 Mathematische Methoden 8.1.2014 Frank Bertoldi (Version 2) Abbildungen und Beispiele aus F. Embacher "Mathematische Grundlagen..." und "Elemente der theoretischen
Rand der Fläche = Linie. suggestive Notation. "Zirkulation pro gerichteter Fläche" Vorschau: Eine komplexe Funktion sei nur von der Kombination
Zusammenfassung: Satz von Stokes Satz v. Stokes: Flussintegral der Rotation = Linienintegral Fläche Rand der Fläche = Linie Symbolisch: suggestive Notation Geometrische Definition der Rotation: "Zirkulation
1 Mathematische Hilfsmittel
Mathematische Hilfsmittel. Vektoranalysis Wiederholung Vektor: Länge und Richtung Vektoraddition: A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) kartesische Koordinaten: B A + B = i (a i + b i )e i A+B Multiplikation
Sei Φ(x, y, z) ein skalares Feld, also eine Funktion, deren Wert in jedem Raumpunkt definiert ist.
Beim Differenzieren von Vektoren im Zusammenhang mit den Kreisbewegungen haben wir bereits gesehen, dass ein Vektor als dreiwertige Funktion a(x, y, z) aufgefasst werden kann, die an jedem Punkt im dreidimensionalen
1 Vektoralgebra (3D euklidischer Raum R 3 )
Institut für Physik der Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg WS 202/203 Vorlesung Elektrodynamik LAG PD Dr. Angelika Chassé) Vektoralgebra 3D euklidischer Raum R 3 ). Grundbegriffe = Vektordefinition
Mathematische Grundlagen
G-CSC Goethe-Center for Scientific Computing der Universität Frankfurt 1. Übung zur Vorlesung Modellierung und Simulation 3 (WS 2012/13) Prof. Dr. G. Wittum Susanne Höllbacher, Martin Stepniewski, Christian
Prof. Dr. J. Schumacher Merkblatt zur Strömungsmechanik 1 Institut für Thermo- und Fluiddynamik Technische Universität Ilmenau
Prof. Dr. J. Schumacher Merkblatt zur Strömungsmechanik 1 Institut für Thermo- und Fluiddynamik Technische Universität Ilmenau Mathematische Grundlagen Mit den folgenden mathematischen Grundlagen sollten
1 = z = y + e. Nabla ist ein Vektor, der als Komponenten keine Zahlen sondern Differentiationsbefehle
Anmerkung zur Notation Im folgenden werden folgende Ausdrücke äquivalent benutzt: r = x y = x 1 x 2 z x 3 1 Der Vektoroperator Definition: := e x x + e y y + e z z = x y z. Nabla ist ein Vektor, der als
Grundzüge der Vektoranalysis
KAPITEL 7 Grundzüge der Vektoranalysis 7. Satz von Green................................... 2 7.2 Satz von Stokes................................... 22 7.2. Zirkulation und Wirbelstärke..........................
- 1 - Zunächst das Integral über eine Bogenlänge. Ist in der x,y-ebene (oder im Raum) eine Kurve K vorgeben, so können wir das Integral
- 1 - Vektoranalysis In diesem Kapitel untersuchen wir vornehmlich Vektorfelder und charakterisieren sie durch ihre Wirbel- und Quellstärke. Verstärkt findet diese Vektor(feld)analysis Anwendung in der
Vorlesungsfolien Mathematik 3 WS 2010/11 UMIT. Einleitung
Vorlesungsfolien Mathematik 3 WS 2010/11 Dr. Leonhard Wieser UMIT Einleitung Begriff Vektoranalysis: Kombination aus Linearer Algebra/Vektorrechnung mit Differential- und Integralrechnung Inhaltsangabe:
V2 Felder (Funktionen mehrerer unabhängigen Variablen)
V2 Felder (Funktionen mehrerer unabhängigen Variablen) Orts- und zeitabhängige physikalische Größen werden durch "Felder" beschrieben. Beispiel: Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik: Vektor-Analysis:
5 Der Gaußsche und Stokes sche Integralsatz
HM III = MATH III FT 2013 50 5 Der Gaußsche und Stokes sche Integralsatz Der Gaußsche Integralsatz umgangssprachlich am eispiel strömender Flüssigkeiten: Die Flüssigkeitsmenge, die durch die Oberfläche
Theoretische Elektrodynamik
Theoretische Elektrodynamik Literatur: 1. Joos: Lehrbuch der Theoretische Physik 2. Jackson: Klassische Elektrodynamik 3. Nolting: Grundkurs Theoretische Physik zusätzlich: Sommerfeld: Landau/Lifschitz:
Mathematischer Einführungskurs für die Physik
Siegfried Großmann Mathematischer Einführungskurs für die Physik 9., überarbeitete und erweiterte Auflage Mit 123 Figuren, über 110 Beispielen und 233 Selbsttests mit Lösungen STUDIUM VIEWEG+ TEUBNER Inhalt
Teil 8. Vektoranalysis
Teil 8 Vektoranalysis 5 6 8. kalar- und Vektorfelder kalarfeld alternative chreibweisen: U = U(x, y, z) = U( r) R 3 P U(P ) R Visualisierung durch Niveaumengen oder Einschränkungen auf achsenparallele
Wie man dieses (Weg-)Integral berechnet, kann man sich mit der folgenden Merkregel im Kopf halten. Man schreibt d~r = d~r
Vektoranalysis 3 Die Arbeit g Zum Einstieg eine kleine Veranschaulichung. Wir betrachten ein Flugzeug, das irgendeinen beliebigen Weg zurücklegt. Ausserdem seien gewisse Windverhältnisse gegeben, so dass
INHALTSVERZEICHNIS. Seite 1 VEKTOREN UND EINFACHE GESETZMÄSSIGKEITEN
I INHALTSVERZEICHNIS Seite 1 VEKTOREN UND EINFACHE GESETZMÄSSIGKEITEN 1 1.1 Skalare und Vektoren 1.2 Art von Vektoren 1.3 Summe und Differenz von Vektoren 1.4 Parallele Vektoren 1.5 Betrag eines Vektors
Divergenz und Rotation von Vektorfeldern
Divergenz und Rotation von Vektorfeldern Mit Hilfe des Nabla-Operators können nun zwei weitere wichtige elementare Operationen definiert werden, welche formal der Bildung des Skalarproduktes bzw. des äußeren
Wir erinnern zunächst an die verschiedenen Arten von Funktionen, die uns bisher begegnet sind: V : r 0 3 V ( r) 0 3
3 1. Mathematische Grundlagen Zur Vorbereitung fassen wir in diesem ersten Kapitel die wichtigsten mathematischen Konzepte zusammen, mit denen wir in der Elektrodynamik immer wieder umgehen werden. 1.1.
Im Folgenden werde ich als anschauliche Beispiele eine strömende Flüssigkeit im dreidimensionalen Raum sowie eine Landschaftskarte (2D) verwenden.
Vektoranalysis Begriffe Im Folgenden werde ich als anschauliche Beispiele eine strömende Flüssigkeit im dreidimensionalen Raum sowie eine Landschaftskarte 2D) verwenden. Ein Skalarfeld f = fx, y, z) ist
3.4 Gradient, Divergenz, Rotation in anderen Koordinaten
3.3.5 Rechenregeln Für Skalarfelder f, g und Vektorfelder v, w gelten die Beziehungen fg) = f g + g f v w) = v ) w + w ) v + v w) + w v) f v) = f v + v f v w) = w v) v w) 3.5a) 3.5b) 3.5c) 3.5d) f) = div
Mathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 12: Integralsätze von Gauss und Stokes Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 12. Integralsätze 1 / 25 1 Gauss-scher Integralsatz
1. Juli F k x k (X), X D. k=1 (X) F. x 2 (X) F 3. x 1 F 2. F 1 (X). rot F (X) = F n (X) = F j x i. , 1 i, j 3
. Juli 28 3 9 Vektoranalysis 9. Divergenz und otation Es sei D n offen und = [,..., n ] T sei stetig differenzierbares Vektorfeld. Unter der Divergenz des Vektorfeldes versteht man den Ausdruck div = n
Inhaltsverzeichnis. I Vektoranalysis g
I Vektoranalysis g 1 Vektorfunktionen und Raumkurven JJ 1.1 Vektorfunktionen n 1.2 Ableitung einer Vektorfunktion 12 1.3 Bogenlänge und Tangenteneinheitsvektor 16 1.4 Hauptnormale und Krümmung 19 1.5 Binormale
Vektoranalysis Orientierte Flächenintegrale, Satz von Gauß, Satz von Stokes
Vektoranalysis Orientierte Flächenintegrale, Satz von Gauß, Satz von Stokes Themen des Tutoriums am 03.06.2015: Wiederholung: Ein glattes Flächenstück ist eine Menge M R 3, die eine reguläre Parametrisierung
2.3 Gekrümmte Oberflächen
2.3 Gekrümmte Oberflächen Jede Fläche im R 3 besitzt eine zweidimensionale Parameterdarstellung, so dass die Punkte der Fläche durch r(u, u 2 ) = x(u, u 2 )ê x + y(u, u 2 )ê y + z(u, u 2 )ê z beschrieben
JoachimlRisius. Vektorrechnung. Koordinaten, Vektoren, Matrizen, Tensoren und Grundlagen der Vektoranalysis. VOGEL-VERU^G
JoachimlRisius Vektorrechnung Koordinaten, Vektoren, Matrizen, Tensoren und Grundlagen der Vektoranalysis. VOGEL-VERU^G Inhaltsverzeichnis 1. Darstellung von Punkten durch Koordinatensysteme 11 1.1. Die
Vektoranalysis, Funktionentheorie, Transformationen
Rainer Schark Theo Overhagen Vektoranalysis, Funktionentheorie, Transformationen Verlag Harri Deutsch Inhaltsverzeichnis I Vektoranalysis 9 1 Vektorfunktionen und Raumkurven 11 1.1 Vektorfunktionen 11
Repetitorium C: Nabla, 2-, 3-dim. Integrale, Satz v. Gauß
Fakultät für Physik R: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 6/7 Dozent: Jan von Delft Übungen: Hong-Hao Tu, Fabian Kugler http://www.physik.uni-muenchen.de/lehre/vorlesungen/wise_6_7/r_ rechenmethoden_6_7/
(Gaußscher Integralsatz)
Der Gaußsche Integralsatz Beim Oberflächenintegral O F n da beschreibt der Integrand den senkrechten Durchsatz des Vektorfeldes durch das Flächenelement da. Insgesamt liefert das Integral über eine geschlossene
Vorschau: Eine komplexe Funktion sei nur von der Kombination. und "komplex differenzierbar" ( existiert) in. Dann gelten (u.a.):
C8: Komplexe Analysis (KA) Saff & Snyder, Fundamentals of Complex Analysis", Prentice Hall, 1976. Motivation: Differenzieren und Integrieren in der komplexen Ebene Vorschau: Eine komplexe Funktion sei
Normalbereiche in R 2 sehen wie folgt aus: Analog ist ein Bereich D in R 3 ein Normalbereich, wenn er von der Form
155 Normalbereiche in R 2 sehen wie folgt aus: Analog ist ein Bereich in R 3 ein Normalbereich, wenn er von der Form = { (x,y,z) a x b,u(x) y o(x),ũ(x,y) z õ(x,y) } ist, wobei die Rollen der Koordinaten
und "komplex differenzierbar" ( existiert) in. Dann gelten (u.a.):
C8: Komplexe Analysis (KA) Saff & Snyder, Fundamentals of Complex Analysis", Prentice Hall, 1976. Motivation: Differenzieren und Integrieren in der komplexen Ebene Vorschau: Eine komplexe Funktion abhängig,
Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Vorlesung 7
TU München Prof. P. Vogl Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2012/13 Vorlesung 7 Definition: Ein Skalarfeld ordnet jedem Punkt im dreidimensionalen Raum R 3 eine ahl () zu. Unter einem räumlichen Vektorfeld
Analog ist ein Bereich D in R 3 ein Normalbereich, wenn er von der Form. ist, wobei die Rollen der Koordinaten x, y, z vertauscht sein können.
142 Analog ist ein Bereich in R 3 ein Normalbereich, wenn er von der Form = { (x,y,z) a x b,u(x) y o(x),ũ(x,y) z õ(x,y) } ist, wobei die Rollen der Koordinaten x, y, z vertauscht sein können. efinition
Experimentalphysik II
Experimentalphysik II PK2-6SP Webpage http://photonik.physik.hu-berlin.de/lehre/ss08exp2/ 1 Übungstermine 1. Dr. J. Puls: Die, 15-17, Raum 1'12, NEW 14 2. Dr. H.J. Wünsche: Die, 15-17, Raum 1 11 NEW 14
I.1.3 b. (I.7a) I.1 Grundbegriffe der Newton schen Mechanik 9
I. Grundbegriffe der Newton schen Mechanik 9 I..3 b Arbeit einer Kraft Wird die Wirkung einer Kraft über ein Zeitintervall oder genauer über die Strecke, welche das mechanische System in diesem Zeitintervall
In der Experimentalphysik-Vorlesung haben Sie die Maxwell schen Gleichungen der Magnetostatik in ihrer integralen Form kennengelernt:
13 Magnetostatik Solange keine Verwechslungen auftreten, werden wir in diesem und in den folgenden Kapiteln vom magnetischen Feld B an Stelle der magnetischen Induktion bzw. der magnetischen Flußdichte
Repetitorium Analysis II für Physiker
Technische Universität München Larissa Hammerstein Vektoranalysis und Fourier-Transformation Lösungen Repetitorium Analysis II für Physiker Analysis II Aufgabe Skalarfelder Welche der folgenden Aussagen
V2 Felder (Funktionen mehrerer unabhängigen Variablen)
V2 Felder (Funktionen mehrerer unabhängigen Variablen) Orts- und zeitabhängige physikalische Größen werden durch "Felder" beschrieben. Beispiel: Maxwell-Gleichungen der Elektrodynamik: Vektor-Analysis:
Maxwell-Gleichungen (1873) Boltzmann: Es war ein Gott der diese Zeichen schrieb?
Literatur Feynman: Vorlesungen über Physik, Band II, Oldenbourg H. Vogel: Gerthsen Physik, Springer H.J. Paus: Physik in Experimenten und Beispielen, Hanser P.A. Tipler/R.A. Llewellyn: Moderne Physik,
3. Die Divergenz und die Quellen des elektrischen Feldes
3. Die Divergenz und die Quellen des elektrischen Feldes Das Gauß sche Gesetz V E d f = ɛ Q in = ɛ V ρ el dv stellte eine beachtliche Verbindung her zwischen dem elektrischen Feld E und seinen Quellen,
Die Maxwell-Gleichungen
Die Maxwell-Gleichungen 1 Mathematische Grundlagen Wenn man erstmals mit der Elektrodynamik konfrontiert wird, hat man vermutlich mit der ektoranalysis und dem damit verbundenen Auftreten von partiellen
Mathematik für Ingenieure A III Wintersemester 2008
1 / 35 Mathematik für Ingenieure A III Wintersemester 28 J. Michael Fried Lehrstuhl Angewandte Mathematik III 21.11.28 2 / 35 Wiederholung Divergenz und Rotation Gradient und Laplace-Operator Merkregeln
24: Vektoranalysis und die Integralsätze von Gauß, Green und Stokes
24: Vektoranalysis und die Integralsätze von Gauß, Green und Stokes Zur Integration reeller Funktionen wurden folgende Regeln behandelt (f,g : [a,b] R seien stetig differenzierbar): Einsetzen der Intervall-Grenzen
Elektromagnetische Felder
Elektromagnetische Felder Prof. Dr.-Ing. habil. Gerhard Wunsch Dr. sc. techn. Hans-Georg Schulz u VEB VERLAG TECHNIK BERLIN Inhaltsverzeichnis Schreibweise und Formelzeichen der wichtigsten Größen 10.1.
Vorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Themen: Koordinatensysteme, klassische Differentialoperatoren
Vorlesung: Analsis II für Ingenieure Wintersemester 07/08 Michael Karow Themen: Koordinatenssteme, klassische Differentialoperatoren Polarkoordinaten = cos() = sin() = 2 + 2 =(,) tan() = für 0. Winkel
V5.1 Definition eines Koordinatensystems Ein Koordinatensystem ist eine "glatte" Abbildung von Vektoren auf Koordinaten
V5 Krummlinige Koordinatensysteme Übersicht / Vorschau: Motivation: Symmetrien des Systems ausnutzen, um Beschreibung zu vereinfachen! Beispiel Stromdurchflossener Leiter: Stärke des Magnetfelds hängt
Mathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 11: e Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 11. Linienintegrale 1 / 39 1 Ein einführendes Beispiel 2 3 Prof. Dr. Erich
Wellen und Elektrodynamik für Chemie- und Bioingenieure und Verfahrenstechniker WS 11/12 Übung 2
Wellen und Elektrodynamik für Chemie- und Bioingenieure und Verfahrenstechniker WS 11/12 Übung 2 KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Research Center of the Helmholtz Association
Kapitel 20 Vektoranalysis und Integralsätze
Kapitel 20 Vektoranalysis und Integralsätze 20 20 20 Vektoranalysis und Integralsätze...................... 1160 20.1 Divergenz und Satz von Gauß... 1160 20.1.1 Die Divergenz... 1160 20.1.2 Gaußscher Integralsatz...
Übungen zu Wellen und Elektrodynamik für Chemie- und Bioingenieure und Verfahrenstechniker WS 11/12
Institut für Experimentelle Kernphysik Übungen zu Wellen und Elektrodynamik für Chemie- und Bioingenieure und Verfahrenstechniker WS 11/12 Prof. Dr. T. Müller Dr. F. Hartmann Blatt 1 Bearbeitung: 28.10.2011
Rechenmethoden der Physik I (WS )
Rechenmethoden der Physik I (WS 2009-2010) Vektoren Allgemeines: Kartesische Koordinaten. Komponenten, Vektoraddition, Einheitsvektoren Skalarprodukt: geometrische Bedeutung, Orthogonalität, Kronecker-Delta
Relativistische Beziehungen Hochfrequenzgrundlagen
Hochfrequenzgrundlagen Prof. Dr. H. Podlech 1 Klassische Mechanik Im Rahmen der klassischen Mechanik gelten folgende Beziehungen Masse: m=konstant Impuls: Kinetische Energie: Geschwindigkeit: Prof. Dr.
Ableitungen von skalaren Feldern Der Gradient
Ableitungen von skalaren Feldern Der Gradient In der letzten Vorlesung haben wir das zu einem konservativen Kraftfeld zugehörige Potential V ( r) = F ( s) d s + V ( r0 ) kennengelernt und als potentielle
Abbildung 14: Ein Vektorfeld im R 2
Vektoranalysis 54 Vektoranalysis Wir wollen nun Vektorfelder betrachten. Es sei U R n. Ein Vektorfeld im R n ist eine Abbildung v : U R n, die jedem Punkt x ihres sbereichs U einen Vektor v(x) zuordnet.
Theoretischen Physik II SS 2007 Klausur I - Aufgaben und Lösungen
Theoretischen Physik II SS 7 Klausur I - Aufgaben und Lösungen Aufgabe Elektrostatik Im Mittelpunkt einer leitenden und geerdeten Hohlkugel RadiusR) befindet sich eine kleine Kugel mit homogener Ladungsverteilung
Experimentalphysik II (Kip SS 2007)
Zusatzvorlesungen: Z-1 Ein- und mehrdimensionale ntegration Z-2 Gradient, Divergenz und Rotation Z-3 Gaußscher und Stokesscher ntegralsatz Z-4 Kontinuitätsgleichung Z-5 Elektromagnetische Felder an Grenzflächen
MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHEMIE UND LEBENSMITTELCHEMIE
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHEMIE UND LEBENSMITTELCHEMIE Integralrechnung für Funktionen mehrerer Variablen
Rechenmethoden der Physik
May-Britt Kallenrode Rechenmethoden der Physik Mathematischer Begleiter zur Experimentalphysik Mit 47 Abbildungen, 297 Aufgaben und Lösungen Springer Teil I Erste Schritte Rechnen in der Mechanik Rechnen
Seminar 1. Epsilontik. 1.1 Der ε-pseudotensor und einige seiner Eigenschaften
Seminar 1 1 Vektoralgebra, -Operator, Epsilontik 1.1 Der ε-pseudotensor und einige seiner Eigenschaften In in allen Bereichen der theoretischen Physik sehr gebräuchliches Hilfsmittel ist der ε-pseudotensor.
Rechentricks zur Vektoranalysis
Rechentricks zur Vektoranalysis VU Elektrodynamik 7. April 2010 Zusammenfassung Das vorliegende Dokument stellt eine Zusammenfassung von hilfreichen Rechentricks zur VU Elektrodynamik dar. Es besteht weder
(i) Abgeschlossenheit, (ii) Assoziativität, (iii) neutrales Element, (iv) inverses Element
Zusammenfassung: L1 Vorlesung 1 Gruppe: Verknüpfung: (i) Abgeschlossenheit, (ii) Assoziativität, (iii) neutrales Element, (iv) inverses Element Körper: (zwei Verknüpfungsregeln: Addition & Multiplikation,
Magnetostatik. B( r) = 0
KAPITEL III Magnetostatik Die Magnetostatik ist die Lehre der magnetischen Felder, die von zeitlich konstanten elektrischen Strömen herrühren. Im entsprechenden stationären Regime vereinfachen sich die
Linien- und Oberflächenintegrale
Linien- und berflächenintegrale Bei den früheren eindimensionalen Integralen wurde in der Regel entlang eines Intervalls einer Koordinatenachse integriert. Bei einem Linienintegral wird der Integrationsweg
Felder und Wellen WS 2017/2018
Felder und Wellen WS 17/18 Musterlösung zum 1. Tutorium 1. Aufgabe (*) Zur Einleitung etwas Grundsätzliches über Flächen-, Volumen-, und Linienintegrale. Die Integration ist am einfachsten, wenn das gewählte
Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder
DGL Schwingung Physikalische Felder Mathematik-Tutorium für Maschinenbauer II: Differentialgleichungen und Vektorfelder Johannes Wiedersich 23. April 2008 http://www.e13.physik.tu-muenchen.de/wiedersich/
Ferienkurs Analysis 3 für Physiker. Übung: Integralsätze
Ferienkurs Analysis 3 für Physiker Übung: Integralsätze Autor: enjamin Rüth Stand: 7. März 4 Aufgabe (Torus) Zu festem R > werden mittels ϱ T : [, R] [, π] [, π] R 3, ϕ ϑ Toruskoordinaten eingeführt. estimmen
VIII.1.4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme
V. Grundbegriffe und -ergebnisse der Magnetostatik 5 V..4 Magnetisches Feld induziert durch einfache Ladungsströme m Fall eines Ladungsstroms durch einen dünnen Draht vereinfacht sich das ntegral im Biot
Beispiel 1: Wegverformung. Berechne: , mit. Lösung: Kurzfassung: Beispiel 1: Wegverformung, Fortsetzung. Alternative Konturverformung: Kurzfassung:
Beispiel 1: Wegverformung Berechne: Lösung: [Man sagt: Folglich ist, mit existiert für alle hat eine "Singularität" oder "Pol".] analytisch auf Deswegen kann Wegunabhängigkeit (i.2) genutzt werden, um
Gradient eines Skalarfeldes
Gradient eines Skalarfeldes 1-E Gradient eines Skalarfeldes Definition 1: Unter dem Gradient eines differenzierbaren Skalarfeldes Φ (x, y) versteht man den aus den partiellen Ableitungen 1. Ordnung von
Mathematisches Werkzeug für Theoretische Physik
Mathematisches Werkzeug für Theoretische Physik Thomas Glomann thomas@glomann.de. November 2004 basierend auf der orlesung von Prof. Wettig kript bitte auf Fehler überprüfen und diese umgehend an mich
Elektro- und Magnetostatik
Übung 1 Abgabe: 1.3. bzw. 5.3.219 Elektromagnetische Felder und Wellen Frühjahrssemester 219 Photonics Laboratory, ETH Zürich www.photonics.ethz.ch Elektro- und Magnetostatik In dieser Übung befassen wir
Integralrechnung für GLET
Freitagsrunden Tech Talk November 2, 2012 1 Grundlagen Rechenregeln für Integrale 2 Mehrdimensionale Integrale Flächenintegrale Volumenintegrale Lösbar? 3 Kugel- und Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten
Mathematische Einführung
Lehrstuhl für Technische Elektrophysik Technische Universität München Übungen zu "Elektrizitätslehre" (Prof. Wachutka) Mathematische Einführung Die vorliegende Einführung in die Mathematik zur Vorlesung
Selbsteinschätzung Mathe 2 Dieser Fragebogen wächst Woche für Woche mit. 1 Integration von Funktionen einer Veränderlichen
Institut für Wissenschaftliches Rechnen Dr. Ute Feldmann, Maximilian Becker Selbsteinschätzung Mathe 2 Dieser Fragebogen wächst Woche für Woche mit. Die 3 Kreise mit Ampelfarben dienen der Selbsteinschätzung.
Höhere Mathematik für Ingenieure
Burg/Haf/Wille Höhere Mathematik für Ingenieure Band IV Vektoranalysis und Funktionentheorie Von Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf und Prof. Dr. rer. nat. Friedrich Wille Universität Kassel, Gesamthochschule
Wiederholung: Integralsätze im Raum
Wiederholung: Integralsätze im Raum Sei S R 2 ein glattes Flächenstück, d.h. man hat eine (reguläre) Parametrisierung Φ : D R 2 S R 3, (x, y) s = Φ(x, y). S Φ(x, y) T 1 dx T 2 dy Φ D (x, y) e 1 dx e 2
5.6 Potential eines Gradientenfelds.
die Zirkulation des Feldes v längs aufintegriert. 5.6 Potential eines Gradientenfelds. Die Ableitung einer skalaren Funktion ist der Gradient, ein Vektor bzw. vektorwertige Funktion (Vektorfeld). Wir untersuchen
Blatt 12: Satz von Gauss, Satz von Stokes
Fakltät für Physik Jan on Delft, Katharina Stadler, Frake Scharz T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 203/4 http://homepages.physik.ni-menchen.de/~ondelft/lehre/3t0/ Blatt 2: Satz on Gass, Satz on Stokes
Der allgemeine Satz von Stokes...
Der allgemeine Satz von Stokes...... in der Sprache der Differentialformen. dω Differentialformen... sind - vereinfacht gesagt - orientierte Differentiale. k-form im R n a i1,...,i k (x) dx i1... dx ik,
Satz von Gauß. Satz von Gauß 1-1
atz von Gauß Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld F auf einem regulären räumlichen Bereich V, der durch eine Fläche mit nach außen orientiertem vektoriellen Flächenelement d berandet wird, gilt
V: Vektor-Kalkulus. Euklidischer Raum (ER) = Ursprung + Euklidischer Vektorraum (Raum unserer Wahrnehmung) Punkt im ER:
V: Vektor-Kalkulus Euklidischer Raum (ER) = Ursprung + Euklidischer Vektorraum (Raum unserer Wahrnehmung) Punkt im ER: Differenzen v. Punkten sind Vektoren: V1 Kurven V1.1 Definition einer Kurve Intervall:
2.4 Eigenschaften des Gradienten
2.4 Eigenschaften des Gradienten Niveauflächen: Die Niveauflächen (D = 2 Höhenlinien) einer Funktion f sind die durch die Gleichung f(x, y, z) = c = const bestimmten Flächen(scharen); für jeden Wert von
Fakultät für Physik Jan von Delft, Olga Goulko, Florian Bauer T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 2012/13. T0: Nachholklausur. Mittwoch,
Fakultät für Physik Jan von Delft, Olga Goulko, Florian Bauer T0: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 202/3 http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/lehre/2t0/ T0: Nachholklausur Mittwoch, 03.04.203