Theoretische Elektrodynamik

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1 Theoretische Elektrodynamik Literatur: 1. Joos: Lehrbuch der Theoretische Physik 2. Jackson: Klassische Elektrodynamik 3. Nolting: Grundkurs Theoretische Physik zusätzlich: Sommerfeld: Landau/Lifschitz: Feynman: Keine SI-Einheiten: Fließbach: Bd. 3 + Bd. 6 Mathematische Physik Elektrodynamik der Kontinua Vorlesungen über Physik Elektrodynamik 1

2 Die vorliegende Vorlesung ist garantiert nicht fehlerfrei. Es wird sehr empfohlen, alle Herleitungen und Formeln selbständig zu überprüfen. Hinweise und Anregungen bitte an: Bildernachweis: Soweit die Quelle nicht explizit angegeben ist, stammen die Bilder von Fließbach, Jackson oder wurden selbst erstellt. Viele Visualisierungen stammen von MIT's OpenCourseWare: 8.02T Electricity and Magnetism. 2

3 1. Einleitung Die klassische Elektrodynamik ist ein Teilgebiet der Physik, das sich mit elektrischen und magnetischen Feldern und Potenzialen, elektromagnetischen Wellen und der Dynamik elektrisch geladener Teilchen und Strömen beschäftigt. Die Elektrodynamik basiert auf den Maxwell-Gleichungen, die das Zusammenspiel von elektrischen und magnetischen Feldern beschreiben. Sie wird 'klassisch' genannt, da sie quantenmechanische Aspekte nicht berücksichtigt. 3

4 Vektorfelder: Ein Vektorfeld ist eine Funktion, die jedem Punkt eines Raumes einen Vektor zuordnet. Vektorfelder sind von großer Bedeutung in der Physik, um zum Beispiel die Stärke und Richtung einer Kraft, die an verschiedenen Punkten verschieden sein kann, zu beschreiben. Die elektromagnetischen Felder E(r,t) und B(r,t) können durch ihre Kraftwirkung F auf eine Ladung q nachgewiesen werden. F =q E r,t q v B r, t Ladungen und Ströme sind die Quellen der elektromagnetischen Felder. Feldgleichungen: Die Bewegungsgleichungen für Felder nennt man Feldgleichungen. Sie sind partielle Differenzialgleichungen, die das räumliche und zeitliche Verhalten der Felder bestimmen. Die Feldgleichungen des elektromagnetischen Feldes sind die Maxwell-Gleichungen, diese Gleichungen sind die Grundgleichungen der Elektrodynamik. 4

5 1.1 Gradienten, Divergenzen und Rotationen Die Abbildung zeigt einige Höhenlinien Φ(x,y) = const. Im Dreidimensionalen werden diese Höhenlinien zu den Flächen Φ(x,y,z) = const. Der Gradient von Φ steht senkrecht auf diesen Flächen. Er zeigt in die Richtung des stärksten Anstiegs von Φ; sein Betrag ist proportional zu diesem Anstieg. Zur Berechnung der Divergenz wird ein kleines Volumen betrachtet (hier kugelförmig). Wenn das Vektorfeld im Bereich des Volumens konstant ist, verschwindet die Divergenz. Die Divergenz wird maximal, wenn das Vektorfeld durchweg parallel zum Vektor der Oberfläche des Volumens da ist. Zur Berechnung der Rotation wird eine kleine Fläche (hier kreisförmig) mit dem Normalenvektor n betrachtet. Wenn das Vektorfeld im Bereich der Fläche konstant ist, verschwindet die Rotation. Nimmt V dagegen quer zur Feldrichtung zu, so ist n rot V ungleich Null. Die Rotation wird maximal, wenn V parallel zum Wegelement dr des Randes der Fläche ist. entnommen aus: Fließbach, Elektrodynamik, 4. Auflage 5

6 Kartesische Koordinaten: Der Gradient einer skalaren Größe Φ ergibt einen Vektor: grad = = x, y, z Die Divergenz eines Vektors A ergibt eine skalare Größe: div A = A= A x x A y y A z z Die Rotation eines Vektors A ergibt eine vektorielle Größe: rot A = A= A z y A y z, A x z A z x, A y x A x y Der Nabla-Operator ist definiert als ein Vektor: = x, y, z In kartesischen Koordinaten lautet das Wegelement dr: d r = dx e x dy e y dz e z = dx,dx,dz 6

7 Häufig benutzte Formeln der Vektorrechnung Es sei r = (x,y,z) der Ortsvektor eines Punktes in einem kartesischen Koordinatensystem. Sein Betrag sei r = r und n = r/r bezeichne den Einheitsvektor in Richtung von r. Ferner sei f(r) eine differenzierbare Funktion. Dann gilt: wobei r = div r = x x y y z z = 3 r = rot r = 0 [ n f r ] = 2 r f f r [ n f r ] = 0 a n f r = f r [ a n a n ] n a n f r r r a = a r a i L a L = 1 i r den Drehimpulsoperator darstellt. 7

8 Einige nützliche Formeln der Vektorrechnung = rot grad = 0 a = div rot a = 0 a = rot rot a = a 2 a = grad div a a a = a a a = a a a b = a b b a a b b a a b = b a a b a b = a b b a b a a b a b c = b c a = c a b a b c = a c b a b c a b c d = a c b d a d b c 8

9 1.2 Integralsätze aus der Vektoranalysis V sei ein dreidimensionales Volumen mit dem Volumenelement dv=d 3 r und S eine Fläche die V begrenzt. df ist ein Flächenelement mit Richtung der äußeren Flächennormalen. Gauß'scher Satz: V div A d 3 r = S A d f S sei eine Fläche die von einem Rand S begrenzt wird. dr ist ein Linienelement längs des Rands. Stokes'scher Satz: S rot A d f = S A d r Für ein Vektorfeld ist Wirbelfreiheit gleichbedeutend mit der Wegunabhängigkeit des Linienintegrals: rot A = 0 2 A d r = wegunabhängig 1 9

10 1.3 Das System der Maxwellschen Gleichungen im Vakuum div D = div B = 0 rot E = B rot H = j D t t D = 0 E B = 0 H Das Vorhandensein von Materie modifiziert die letzten beiden Gleichungen, die dann durch materialspezifische Näherungen ersetzt werden. Von grundlegender Bedeutung für die Elektrodynamik ist die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. c =