Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille. Vektoranalysis

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1 Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille Vektoranalysis

2 Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille Vektoranalysis Höhere Mathematik für Ingenieure, Naturwissenschaftler und Mathematiker Verfasst von Prof. Dr. rer. nat Friedrich Wille, Universität Kassel Bearbeitet von Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf, Universität Kassel

3 Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Prof. Dr. rer. nat. Klemens Burg, geb in Bochum Tätigkeit in der Industrie Studium der Mathematik und Physik an der RWTH Aachen Diplomprüfung in Mathematik Promotion, Wiss. Ass. und Akad. Rat/Oberrat, 1970 Habilitation Wiss. Rat und Prof. an der Universität Karlsruhe Prof. für Ingenieurmathematik an der Universität Kassel. Arbeitsgebiete: Mathematische Physik, Ingenieurmathematik Prof. Dr. rer. nat. Herbert Haf, geb in Pfronten/Allgäu Studium der Feinwerktechnik- Optik am Oskar-von-Miller-Polytechnikum München Studium der Mathematik und Physik an der RWTH Aachen Diplomprüfung in Mathematik Wiss. Ass., 1968 Promotion Akad. Rat/Oberrat an der Universität Stuttgart Lehraufträge an der Universität Stuttgart Prof. für Mathematik (Analysis) an der Universität Kassel. Arbeitsgebiete: Funktionalanalysis, Verzweigungstheorie, Approximationstheorie Prof. Dr. rer. nat. Friedrich Wille, geb in Bremen Studium der Mathematik und Physik an den Universitäten Marburg, Berlin und Göttingen Diplom, anschließend Industriepraxis Wiss. Mitarb. der Aerodynamischen Versuchsanstalt (AVA) Göttingen Promotion, Leiter des Rechenzentrums Göttingen Wiss. Ass. der Deutschen Forschungs- und Versuchsanstalt für Luft- und Raumfahrt (DFVLR) Battelle-Institut Genf Habilitation, 1972 Wiss. Rat und Prof. in Düsseldorf Prof. für Angewandte Mathematik an der Universität Kassel. Arbeitsgebiete: Aeroelastik, Nichtlineare Analysis, math. Modellierung 1. Auflage Oktober 2006 Alle Rechte vorbehalten B.G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2006 Lektorat: Ulrich Sandten / Kerstin Hoffmann Der B.G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Mörlenbach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN ISBN

4 Vorwort Der vierte Band unseres Gesamtwerkes»Höhere Mathematik für Ingenieure«beinhaltete bisher die beiden Themenbereiche»Vektoranalysis«und»Funktionentheorie«. Da kein zwingender Grund besteht, diese Gebiete in einem Band zusammenzufassen, haben wir sie neu strukturiert durch zwei eigenständige Bände. Dies wirkt sich zum einen günstig auf die Preisgestaltung aus. Zum anderen möchten wir den Leserkreis erweitern: Neben der für uns nach wie vor wichtigen Zielgruppe der Ingenieurstudenten wenden wir uns gezielt auch an Studierende der Naturwissenschaften und der Angewandten Mathematik. Gegenstand dieses Bandes ist die Vektoranalysis, die vielfältige Anwendungen, etwa in der Strömungsmechanik und der Elektrodynamik, ermöglicht. Insbesondere bei der Herleitung von partiellen Differentialgleichungen, wie der Kontinuitätsgleichung, der Wärmeleitungsgleichung, den Maxwellschen Gleichungen erweisen sich die Integralsätze der Vektoranalysis (s. Abschn. 3) als unentbehrliches Hilfsmittel. Dies läßt sich z.b. in Burg/Haf/Wille (Partielle Dgln.) [12], Abschnitt 4.1.3, nachlesen. Wir beginnen diesen Band mit einem ausführlichen Kapitel über Kurven. Neben differentialgeometrischen Eigenschaften, wie Bogenlänge, Krümmung, Torsion usw. sowie dem Zusammenhang mit Potentialen, sind zwei größere Abschnitte den ebenen Kurven gewidmet. Hier werden Beispiele, die für den Ingenieur wichtig sind, detailliert beschrieben: Kegelschnitte, Rollkurven, Spiralen usw. Es folgen Flächen und Flächenintegrale, eingebettet in den dreidimensionalen Raum, und dann das Herzstück: die Integralsätze von Gauß, Stokes und Green im Dreidimensionalen. Hier wurde zur anschaulichen Beschreibung und Motivation oft auf Strömungen zurückgegriffen. Weitere Differential- und Integralformeln, sowie die Erörterung von Potentialen bei Wirbel- oder quellfreien Feldern vervollständigen das Kapitel, so daß Ingenieure, Physiker und Angewandte Mathematiker dort alles finden, was sie in diesem Zusammenhang brauchen. Ein Kapitel über alternierende Differentialformen, wobei auf besonders verständliche Darstellungsweise geachtet wurde, und ein Kapitel über kartesische Tensoren beschließen diesen Band. Die Beschränkung auf kartesische Tensoren ist einerseits aus Platzgründen angebracht, andererseits aber auch deshalb, weil allgemeine Tensoren fast nur in der Relativitätstheorie angewendet werden. Die leichter faßlichen kartesischen Tensoren sind genau diejenigen, die in der Elastizitätslehre, der Strömungsmechanik und Elektrodynamik gebraucht werden. Noch ein Wort zur Sprache und zum Aufbau! Wir haben versucht, uns von folgendem Prinzip leiten zu lassen:»die Sachverhalte sollen in der Reihenfolge aufgeschrieben werden, in der sie gedacht werden!«dazu ein Beispiel: Bei der Behandlung des Stokesschen Integralsatzes wird sogleich mit einer umgangssprachlichen Formulierung des Satzes begonnen, die auf Strömungen von Flüssigkeiten fußt. Über die Zirkulation in Flüssigkeiten und Verwandtes werden dann nach und nach Begriffe

5 VI motiviert und präzisiert, bis sich nach einer heuristischen Argumentation der genaue Wortlaut des Stokesschen Satzes ergibt. Auf diese Weise wurde die»natürliche«gedankenfolge des»suchens und Findens«entwickelt, wobei die exakte Formulierung am Schluß steht. Das Lernen von Hilfssätzen»auf Vorrat«wurde dadurch vermieden. Wir hoffen, daß insgesamt ein verständlicher Text entstanden ist. Rücksichtnahme auf den Anwender von Mathematik war uns dabei ein Anliegen, ohne jedoch die mathematische Genauigkeit preiszugeben. Die ursprüngliche Fassung der»vektoranalysis«geht auf Friedrich Wille zurück, der am 9. August 1992 verstorben ist. Die vorliegende Neuauflage, insbesondere die Fehlerkorrektur, wurde von Herbert Haf bearbeitet. Zum Schluß danken wir allen, die uns bei diesem Band unterstützt haben: Herrn Dr.-Ing. Jörg Barner für die Erstellung der hervorragenden LATEX-Vorlage und sein sorgfältiges Mitdenken. Nicht zuletzt danken wir dem Verlag B.G. Teubner für die ausgezeichnete Zusammenarbeit und für das ansprechend gewählte Layout dieses Buches. Kassel, Juni 2006 Herbert Haf

6 Inhaltsverzeichnis 1 Kurven Wege, Kurven, Bogenlänge Einführung: Ebene Kurven Kurven im R n Glatte und stückweise glatte Kurven Die Bogenlänge Parametertransformation, Orientierung Theorie ebener Kurven Bogenlänge und umschlossene Fläche Krümmung und Krümmungsradius Tangenteneinheitsvektor, Normalenvektor, natürliche Gleichung Evolute und Evolvente Beispiele ebener Kurven I: Kegelschnitte Kreis Ellipse Hyperbel Parabel Allgemeine Kegelschnittgleichung, Hauptachsentransformation Beispiele ebener Kurven II: Rollkurven, Blätter, Spiralen Zykloiden Epizykloiden Anwendung: Wankelmotor Hypozykloiden Blattartige Kurven Kurbelgetriebe Spiralen Theorie räumlicher Kurven Krümmung, Torsion und begleitendes Dreibein Berechnung von Krümmung, Torsion und Dreibein in beliebiger Parameterdarstellung Natürliche Gleichungen und Frenetsche Formeln Vektorfelder, Potentiale, Kurvenintegrale Vektorfelder und Skalarfelder Kurvenintegrale Der Kurvenhauptsatz Potentialkriterium Berechnung von Potentialen Beweis des Potentialkriteriums...104

7 VIII Inhaltsverzeichnis 2 Flächen und Flächenintegrale Flächenstücke und Flächen Flächenstücke Tangentialebenen, Normalenvektoren Parametertransformation, Orientierung Flächen Flächenintegrale Flächeninhalt Flächenintegrale erster und zweiter Art Transformationsformel für Flächenintegrale zweiter Art Integralsätze Der Gaußsche Integralsatz Ergiebigkeit, Divergenz Der Gaußsche Integralsatz für Bereiche mit stückweise glattem Rand Die Kettenregel der Divergenz Beweis des Gaußschen Integralsatzes für Bereiche mit stückweise glattem Rand Gaußscher und Greenscher Integralsatz in der Ebene Der Gaußsche Integralsatz für Skalarfelder Der Stokessche Integralsatz Einfache Flächenstücke Zirkulation, Wirbelstärke, Rotation Idee des Stokesschen Integralsatzes Stokesscher Integralsatz im dreidimensionalen Raum Zirkulation und Stokesscher Satz in der Ebene Weitere Differential- und Integralformeln im R Nabla-Operator Formeln über Zusammensetzungen mit grad, div und rot Gaußscher und Stokesscher Satz in div-, grad-, rot-, und Nabla-Form Partielle Integration Die beiden Greenschen Integralformeln Krummlinige orthogonale Koordinaten Die Differentialoperatoren grad, div, rot, in krummlinigen orthogonalen Koordinaten Wirbelfreiheit, Quellfreiheit, Potentiale Wirbelfreiheit: rot V = 0, skalare Potentiale Laplace-Gleichung, harmonische Funktionen Poissongleichung Quellfreiheit: div W = 0, Vektorpotentiale Quellfreie Vektorpotentiale Helmholtzscher Zerlegungssatz...185

8 Inhaltsverzeichnis IX 4 Alternierende Differentialformen Alternierende Differentialformen im R Integralsätze in Komponentenschreibweise Differentialformen und totale Differentiale Rechenregeln für Differentialformen Integration von Differentialformen, Integralsätze Alternierende Differentialformen im R n Definition, Rechenregeln Integrale über p-dimensionalen Flächen Transformationsformel für Integrale Der allgemeine Stokessche Satz Kartesische Tensoren Tensoralgebra Motivation: Spannungstensor Definition kartesischer Tensoren Rechenregeln für Tensoren Invariante Tensoren Diagonalisierung symmetrischer Tensoren und das Tensorellipsoid Tensoranalysis Differenzierbare Tensorfelder, Fundamentalsatz der Feldtheorie Zusammenhang zwischen Tensorgradienten und grad, div, rot, Der Gaußsche Satz für Tensorfelder zweiter Stufe Anwendungen Lösungen zu den Übungen 231 Symbole 237 Literaturverzeichnis 239 Stichwortverzeichnis 243