Gerald Hofmann. Ingenieurmathematik für Studienanfänger

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1 Gerald Hofmann Ingenieurmathematik für Studienanfänger

2 Gerald Hofmann Ingenieurmathematik für Studienanfänger Formeln - Aufgaben - Lösungen Teubner B. G. Teubner Stuttgart Leipzig Wiesbaden

3 Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. 1. Auflage November 2003 Alle Rechte vorbehalten B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2003 Der B. G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. ISBN ISBN (ebook) DOI /

4 Vorwort Als eines der wichtigsten Hilfsmittel im Ingenieurstudium gehört die Mathematik zu den Grundlagenfächern in der Ausbildung an Fachhochschulen, Berufsakademien und Universitäten. Bekanntlich bereitet die Mathematik aber vielen Studienanfängern erhebliche Schwierigkeiten. Das beruht besonders darauf, daß Kenntnisse aus der Schulzeit verlorengegangen sind oder daß einzelne Inhalte in der Schule nicht ausreichend geübt wurden und deshalb jetzt nicht mit der nötigen Sicherheit beherrscht werden. Dieses Teubner-Lehrbuch erleichtert den Übergang von der Schulmathematik zur anwendungsbezogenen Ingenieurmathematik und schlägt eine Brücke zwischen Gymnasium (bzw. anderen studienvorbereitenden Schulen) und Hochschule. Vom Studienanfänger werden neben gesichertem und stets anwendungsbereitem Grundlagenwissen vor allem Rechenfertigkeiten verlangt und erwartet. Deshalb werden in jedem Abschnitt dieses Buches zu Beginn die wichtigsten mathematischen Grundlagen übersichtlich bereitgestellt. Stets schließen sich daran typische und erprobte Aufgaben an. Die meisten dieser Aufgaben habe ich in den letzten Jahren in Vorbereitungskursen oder in Übungen und Klausuren im ersten Semester gestellt. Außerdem enthält das Buch sämtliche Lösungen der mehr als 180 Aufgaben. In den meisten Fällen sind die Lösungen sogar komplett ausformuliert, und es wird dabei großer Wert auf Lösungsschemata und Lösungsalgorithmen gelegt. Da mathematische Sachverhalte nur durch intensive Beschäftigung mit ihnen und insbesondere durch ihre Anwendung beim Lösen von Aufgaben zu verstehen und zu beherrschen sind, wird dem Leser empfohlen, die gestellten Aufgaben selbständig zu lösen. Erst dann sollte man die erhaltene Lösung mit der im zugehörigen Lösungsabschnitt eines jeden Kapitels vergleichen. Nach zentralen Themen aus der Elementarmathematik (von der Bruchrechnung bis zum Lösen transzendenter Gleichungen) werden jene Inhalte der höheren Mathematik dargestellt, welche im Mittelpunkt des ersten Semesters der Mathematikausbildung für Ingenieure stehen. Behandelt werden: Rechnen

5 6 Vorwort mit reellen Zahlen, Lösen von Bestimmungsgleichungen, Mengenlehre und mathematische Logik, Ungleichungen und Gleichungssysteme, Vektorrechnung, analytische Geometrie, Matrizen und Determinanten. Der Band ist sowohl für die Vorbereitung auf ein Studium als auch als studienbegleitende Literatur für das Selbststudium und für die Klausurvorbereitung am Ende des ersten Mathematiksemesters geeignet. Mein besonderer Dank gilt Herrn Dr. K. Luig für das sorgfältige Lesen des Manuskriptes und für viele wertvolle Hinweise und Anregungen. Schließlich möchte ich mich beim Teubner-Verlag und insbesondere bei Herrn J. Weiß für die entgegenkommende und konstruktive Zusammenarbeit bedanken. Leipzig, im September 2003 G. Hofmann

6 Inhaltsverzeichnis 1 Rechnen mit reellen Zahlen 1.1 Die Zahl bereiche Die vier Grundrechenarten 1.3 Potenz- und Wurzelrechnung. 1.4 Logarithmen Lösungen der Aufgaben aus Kapitell Lösen von Bestimmungsgleichungen Das Auflösen algebraischer Gleichungen Exponentialgleichungen u. logarithmische Gleichungen Goniometrie Lösungen der Aufgaben aus Kapitel Mengenlehre, mathematische Logik u. Beweismethoden Grundbegriffe der Mengenlehre Grundbegriffe der mathematischen Logik Beweismethoden in der Mathematik Lösungen der Aufgaben aus Kapitel Ungleichungen und nicht lineare Gleichungssysteme Ungleichungen Ungleichungen mit Beträgen Nichtlineare Gleichungssysteme Lösungen der Aufgaben aus Kapitel Lineare Gleichungssysteme Begriffserklärungen Der Gaußsche Algorithmus Zur Struktur der Lösungsmenge Lösungen der Aufgaben aus Kapitel

7 8 Inhal tsverzeichnis 6 Vektorrechnung Der Begriff des Vektors u. Grundoperationen mit Vektoren Die Komponentenzerlegung Skalarprodukt, Vektorprodukt und Spatprodukt Anwendungen in Geometrie und Physik Lösungen der Aufgaben aus Kapitel Analytische Geometrie Punkte und Geraden in der Ebene Kegelschnitte Punkte, Ebenen und Geraden im Raum Lösungen der Aufgaben aus Kapitel Matrizen und Determinanten Begriff der Matrix Matrizenalgebra Determinante einer quadratischen Matrix Inverse Matrix Lineare Matrizengleichungen Lösungen der Aufgaben aus Kapitel Index 205