Mathematik für Physiker Band 3
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1 Helmut Fischer Helmut Kaul Mathematik für Physiker Band 3 Variationsrechnung Differentialgeometrie Mathemati sche Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie 4. Auflage
2 Mathematik für Physiker Band 3
3 Helmut Fischer Helmut Kaul Mathematik für Physiker Band 3 Variationsrechnung - Differentialgeometrie - Mathematische Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie 4., überarbeitete und aktualisierte Auflage
4 Helmut Fischer Tübingen, Deutschland Helmut Kaul Tübingen, Deutschland ISBN ISBN (ebook) DOI / Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer-Verlag GmbH 2003, 2006, 2013, 2017 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Planung: Margit Maly Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist Teil von Springer Nature Die eingetragene Gesellschaft ist Springer-Verlag GmbH Germany Die Anschrift der Gesellschaft ist: Heidelberger Platz 3, Berlin, Germany
5 Vorwort Dieser Band gliedert sich in Variationsrechnung, Differentialgeometrie und mathematische Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie. Er richtet sich an Studierende der Physik im Grund und Hauptstudium sowie an alle, die sich näher mit Variationsrechnung und Relativitätstheorie befassen wollen. Als Einstiegsvoraussetzung reicht im Wesentlichen der in Band 1 behandelte Stoff. Gegenstand der klassischen Variationsrechnung sind Variationsintegrale F(v), wie z.b. das Wirkungsintegral der Mechanik, die Bogenlänge oder der Flächeninhalt, wobei v eine Funktionenklasse V von Kurven bzw. Flächen durchläuft. Gefragt wird nach notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, dass eine Funktion u V ein Minimum von F in V liefert. Notwendig hierfür ist das Verschwinden der ersten Variation von F an der Stelle u, δf(u) = 0. Aus dieser Stationarität von u ergibt sich eine Differentialgleichung für u, die Euler Gleichung. In 2 stellen wir die Euler Gleichungen für einige klassische Variationsprobleme auf. Für viele Gebiete der theoretischen Physik ist es möglich und zweckmäßig, ein Wirkungsprinzip der Form δf(u) = 0 zur Formulierung der Grundgesetze an die Spitze zu stellen. Das ist meistens der einfachste und sicherste Weg, die grundlegenden Gleichungen aufzustellen; darüberhinaus lassen sich aus Invarianzeigenschaften des Wirkungsintegrals auf systematische Weise Erhaltungsgrößen gewinnen. Demgemäß spielen Variationsprinzipien in allen Teilen dieses Buches eine wichtige Rolle, z.b. in der Punkt und Kontinuumsmechanik, in der geometrischen Optik, für Minimal und Kapillaritätsflächen, für Geodätische auf Flächen und für die Einsteinschen Feldgleichungen der Allgemeinen Relativitätstheorie. In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird Gravitation als geometrische Eigenschaft einer vierdimensionalen Raum Zeit Mannigfaltigkeit beschrieben. Der für diese Theorie benötigte Apparat (Mannigfaltigkeiten, Tensoren, Lorentz Geometrie) wird in 8 und 9 bereitgestellt. Als Vorbereitung hierfür kann der Abschnitt 7 über Flächen im Ê 3 dienen, in dem die grundlegenden Begriffe der Differentialgeometrie mit geringerem technischen Aufwand und orientiert an der räumlichen Anschauung eingeführt werden. Wir haben uns bemüht, den Zugang zu den angesprochenen Themen zu erleichtern und wichtige Konzepte gut zu motivieren. Bei der Variationsrechnung, der Hamiltonschen Mechanik, der geometrischen Optik und der Differentialgeometrie von Flächen im Ê 3 wird die Notation der Vektoranalysis zugrunde gelegt und die Verwendung von Differentialformen vermieden. In der Differentialgeometrie und der Relativitätstheorie ( 8 11) wird vor allem bei der Einführung von Begriffen nach Möglichkeit die invariante Schreibweise verwendet. Diese kommt der Notation der Vektoranalysis am nächsten und lässt den geometri-
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