Bachelorkurs Mathematik

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1 Bachelorkurs Mathematik Herausgegeben von Prof. Dr. Martin Aigner, Freie Universität Berlin, Deutschland Prof. Dr. Heike Faßbender, Technische Universität Braunschweig, Deutschland Prof. Dr. Jürg Kramer, Humboldt-Universität zu Berlin, Deutschland Prof. Dr. Peter Gritzmann, Technische Universität München, Deutschland Prof. Dr. Volker Mehrmann, Technische Universität Berlin, Deutschland Prof. Dr. Gisbert Wüstholz, ETH Zürich, Schweiz

2 Die Reihe ist zugeschnitten auf den Bachelor für mathematische Studiengänge. Sie bietet Studierenden einen schnellen Zugang zu den wichtigsten mathematischen Teilgebieten. Die Auswahl der Themen entspricht gängigen Modulen, die in einsemestrigen Lehrveranstaltungen abgehandelt werden können. Die Lehrbücher sind eine Einführung in ein mathematisches Teilgebiet. Sie sind im Vorlesungsstil geschrieben und benutzerfreundlich gegliedert. Die Reihe enthält Hochschultexte und kurz gefasste Skripte, sie wird durch Übungsbücher und andere Mathematiklehrbücher ergänzt.

3 Daniel Grieser Mathematisches Problemlösen und Beweisen Eine Entdeckungsreise in die Mathematik

4 Prof. Dr. Daniel Grieser Carl von Ossietzky Universität Oldenburg, Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Spektrum Springer Fachmedien Wiesbaden 2013 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Planung und Lektorat: Ulrike Schmickler-Hirzebruch, Barbara Gerlach Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Spektrum ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media.

5 Für Ricarda und Leonard

6 Geleitwort Von allen Wissenschaften scheint in der Mathematik der Übergang von Schule zu Universität am schwierigsten zu sein. Der Sprung vom simplen Rechnen und immer gleichen Kurvendiskussionen zu allgemeinen Prinzipien der Linearen Algebra und Analysis begeistert die einen, überfordert aber gleichzeitig viele. Neu ist diese Erkenntnis wahrlich nicht, im Gegenteil: Ganze Bücher wurden darüber geschrieben, und viele Veranstaltungen zur Abhilfe eingeführt, die oft leicht bemühte Namen wie Brückenkurs oder Mathematik für Einsteiger tragen. Meistens handelt es sich um zwei Typen von Vorbereitungskursen: Die einen vermitteln ein paar Grundlagen der Logik, Induktion, Zahlentheorie bis hin zu Begriffen der Algebra, es soll also der Schritt in die abstrakte Denkweise erleichtert werden, die anderen orientieren sich an Problemen, zum Beispiel aus Physik, Biologie und Wirtschaft, und stellen weiter gehende Lösungsmethoden vor, ohne auf Beweise einzugehen. Das vorliegende Buch von Daniel Grieser geht einen anderen, höchst vielversprechenden Weg. Der Autor lehnt sich deutlich an das legendäre Werk Vom Lösen mathematischer Aufgaben von George Pólya an, fügt ihm aber viele neue Akzente hinzu. Neben Problemen und Prinzipien, den beiden Teilen in Pólyas Buch, gibt er ebenso breiten Raum den Beweisen - nach seinen Worten das Herz der Mathematik. Als Mitglied eines erfolgreichen Teams bei der Mathematik-Olympiade ist es nicht verwunderlich, dass Daniel Grieser eine Fülle von spannenden Problemen und Methoden, von ihm Werkzeugkasten genannt, ausbreitet. Dabei belässt er es aber nicht, sondern lädt die Leser immer wieder ein, selber neue Fragen und Beweise zu entwerfen und so die Mathematik als eine wunderbare Schule des Denkens zu begreifen: die Nützlichkeit eines Problems zu erkennen genauso wie die Ästhetik eines eleganten Beweises oder den Erkenntnisgewinn eines wohlformulierten abstrakten Prinzips.

7 viii Geleitwort Fünfzig Jahre nach Pólyas Klassiker lädt Sie dieses Buch aufs Neue zu einer Entdeckungsreise in die Mathematik ein lassen Sie sich, ob Schüler, Lehrer oder einfach Mathematik-Liebhaber, dazu verführen. September 2012 Martin Aigner

8 Inhaltsverzeichnis Einführung 1 1 Erste mathematische Erkundungen Zersägen eines Baumstamms Ein Problem mit Nullen Ein Problem über Geraden in der Ebene Werkzeugkasten Aufgaben Die Idee der Rekursion Die Technik der Rekursion Die Anzahl der Teilmengen Pflasterungen mit Dominosteinen Auflösen der Fibonacci-Rekursion Triangulierungen Werkzeugkasten Aufgaben Vollständige Induktion Das Induktionsprinzip Färbungen Werkzeugkasten Aufgaben Graphen Die Eulersche Formel für ebene Graphen Doppeltes Abzählen bei Graphen Händeschütteln und Graphen Fünf Punkte mit allen Verbindungen in der Ebene... 79

9 x Inhaltsverzeichnis 4.5 Weiterführende Bemerkungen: Eulersche Polyederformel, Topologie und Vierfarbenproblem Werkzeugkasten Aufgaben Abzählen Grundprinzipien des Abzählens Abzählen durch Bijektion Doppeltes Abzählen Weiterführende Bemerkungen: Doppelsummen, Integrale und Unendlichkeiten Werkzeugkasten Aufgaben Allgemeine Strategien Allgemeine Problemlösestrategien Die Diagonale im Quader Das Trapezzahlen-Problem Weiterführende Bemerkungen: Summen-Darstellungen ganzer Zahlen Aufgaben Logik und Beweise Logik Beweise Aufgaben Elementare Zahlentheorie Teilbarkeit, Primzahlen und Reste Kongruenzen Aufgaben Das Schubfachprinzip Das Schubfachprinzip, Beispiele Reste als Schubfächer Eine Erkundungstour: Approximation durch Brüche Ordnung im Chaos: Das Schubfachprinzip in der Graphentheorie

10 Inhaltsverzeichnis xi 9.5 Werkzeugkasten Aufgaben Das Extremalprinzip Das allgemeine Extremalprinzip Das Extremalprinzip als Problemlösestrategie, I Schema für das Extremalprinzip Das Extremalprinzip als Problemlösestrategie, II Weiterführende Bemerkungen: Optimierung, Spiegel und Billard Werkzeugkasten Aufgaben Das Invarianzprinzip Das Invarianzprinzip, Beispiele Schema für das Invarianzprinzip Weitere Beispiele Weiterführende Bemerkungen: Knoten, Erhaltungsgrößen und der Sinn von Unmöglichkeitsbeweisen Werkzeugkasten Aufgaben A Ein Überblick über Problemlösestrategien 257 B Grundbegriffe zu Mengen und Abbildungen 263 Symbolverzeichnis 269 Glossar 271 Listen der Probleme, Sätze und Verfahren 277 Hinweise zu ausgewählten Aufgaben 279 Literaturverzeichnis 289