Bernd Luderer. Klausurtraining Mathematik und Statistik für Wirtschaftswissenschaftler

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1 Bernd Luderer Klausurtraining Mathematik und Statistik für Wirtschaftswissenschaftler

2 Bernd luderer Klausurtraining Mathematik und Statistik für Wirtschaftswissenschaftler Aufgaben - Hinweise - Lösungen 2., überarbeitete und erweiterte Auflage Unter Mitarbeit von Karl-Heinz Eger Teubner B. G. Teubner Stuttgart Leipzig Wiesbaden

3 Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliographie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über < abrufbar. Prof. Dr. rer. nato habil. Bernd Luderer Geboren 1949 in Chemnitz. Von 1967 bis 1972 Studium der Mathematik, 1972 Diplom an der TH Karl Marx-Stadt. Von 1972 bis 1975 Aspirantur, 1976 Promotion an der Lomonossow-Universität Moskau wiss. Assistent, 1979 Oberassistent TU Karl-Marx-Stadt. Studienaufenthalte 1980 Banachzentrum Warschau, 1983 Lomonossow-Universität Moskau Habilitation, 1989 Dozent, 1992 Professor TU Chemnitz. Arbeitsgebiete: Optimierung, Operations Research, Finanzmathematik I Investmentbanking, Anwendungen der Optimierung in der Wirtschaft Internet: Bernd.Luderer@mathematik.tu-chemnitz.de Prof. Dr. rer. nato habil. Karl-Heinz Eger Geboren 1945 in Penig/Sachsen. Von 1963 bis 1968 Studium der Mathematik, 1968 Diplom an der TH Karl-Marx-Stadt. Von 1968 bis 1990 wiss. Assistent und Oberassistent TU Karl-Marx-Stadt, 1973 Promotion Studienaufenthalt am Banachzentrum Warschau Habilitation, 1991 Dozent, 1992 Professor TU Chemnitz. Arbeitsgebiete: Mathematische Statistik, sequentielle statistische Methoden, Mehrentscheidungsverfahren Karl-Heinz.Eger@mathematik.tu-chemnitz.de 1. Auflage Auflage August 2003 Alle Rechte vorbehalten B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2003 Der B. G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen der Fachverlagsgruppe BertelsmannSpringer. Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. ISBN ISBN (ebook) DOI /

4 Vorwort zur 2. Auflage Die mathematischen Grundlagen spielen in einem wirtschaftswissenschaftlichen Studium eine nicht unbedeutende Rolle, wird doch in einer Reihe volks- und betriebswirtschaftlicher Fächer von ihnen Gebrauch gemacht. Gleichzeitig stellt die Mathematik für viele eine Hürde dar, die erst einmal überwunden sein will. Eine Möglichkeit der gezielten Vorbereitung auf die oftmals gefürchteten Mathematik-Klausuren ist - neben dem regelmäßigen Vorlesungsbesuch und dem Nacharbeiten des Gehörten - die intensive Beschäftigung mit früher gestellten Klausuraufgaben. Wechseln diese auch von Jahr zu Jahr, so liefert die hier vorliegende, den Zeitraum von ca. 15 Jahren umfassende Sammlung von Prüfungs aufgaben doch einen guten Anhaltspunkt über das Spektrum möglicher Aufgaben sowie Schwerpunkte der Mathematikvorlesung. Dabei haben Klausuraufgaben ihre eigene Spezifik: nicht zu leicht, aber auch nicht zu arbeitsaufwendig. Aus den genannten Gründen erschien es mir nützlich, Original-Klausuraufgaben auszuwählen, diese mit ausführlichen Lösungen, Hinweisen und Kommentaren zu versehen und in Buchform zu veröffentlichen. Die enthaltenen Kapitel und Schwerpunkte sind: Lineare Algebra (Matrizenmultiplikation und Verflechtung, inverse Matrix und Leontief-Modell, lineare Gleichungssysteme, Matrizengleichungen, lineare Unabhängigkeit, Determinanten), Analysis der Funktionen einer Variablen (Eigenschaften, Extremwerte, Approximation, numerische Nullstellenberechnung, Integrale), Analysis der Funktionen mehrerer Veränderlicher (Differentiation und Approximation, Extremwerte ohne und mit Nebenbedingungen, Methode der kleinsten Quadrate), Lineare Optimierung (Modellierung, grafische Lösung, Simplexmethode, Dualität), Finanzmathematik (Zins- und Zinseszinsrechnung, Rentenrechnung, Tilgungsrechnung, Rendite berechnung), Verschiedenes (Ungleichungen und Beträge, Mengenlehre und Logik, Zahlenfolgen, analytische Geometrie). Auf vielfachen Wunsch von Lesern und Studenten wurde die vorliegende 2. Auflage ergänzt durch die Kapitel Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik sowie Kurze Übersichtsfragen.

5 6 Vorwort Letztere erfordern zur Beantwortung keine Rechnung und nur wenig Zeit, dafür aber gewisse theoretische Kenntnisse, während in den meisten anderen gestellten Aufgaben die Anwendung von Methoden und Algorithmen sowie auch Rechenfertigkeiten (denn jede Klausur hat ein Zeitlimit!) im Vordergrund stehen. Einige der Aufgaben wurden leicht redaktionell bearbeitet und ähnliche Aufgaben teilweise zusammengefasst. Ferner erschien es mir angeraten, die Aufgaben nach Gebieten zu ordnen. So kann nun die Prüfungsvorbereitung gezielt entsprechend der einzelnen Gebiete erfolgen. Sind auch Ausbildungsumfang und Schwerpunktsetzung in den einzelnen Hochschuleinrichtungen nicht völlig identisch, so konnte doch in Abstimmung mit Fachkollegen verschiedener Universitäten und unter Einbeziehung ihrer Erfahrungen gesichert werden, dass alle wesentlichen Ausbildungsinhalte durch die im Buch enthaltenen Aufgaben abgedeckt werden. Für die 2. Auflage wurde der gesamte Text einer gründlichen Durchsicht unterzogen. Weiterhin wurden Fehler beseitigt und eine Reihe neuer Aufgaben aufgenommen. Die im Anhang enthaltenen ausführlichen Lösungen und Kommentare sollen Unterstützung bei der Bearbeitung der Aufgaben leisten sowie all jenen, die die gestellten Probleme richtig gelöst haben, dies bestätigen. Andererseits nützt es nicht viel, zu jeder Aufgabe I A I sofort die Lösung im Anhang zu suchen, denn die Mathematik erschließt sich einem nur durch selbständige Arbeit. Besser ist es, in den am Ende jedes Kapitels stehenden Hinweisen I H I nachzuschlagen, wo für die meisten Aufgaben Anregungen zur Lösung [!J gegeben werden und auf besondere Schwierigkeiten aufmerksam gemacht wird. Die Aufgaben zur Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik wurden von Herrn Prof. Dr. K.-H. Eger in Zusammenarbeit mit Herrn S. Baitz zusammengestellt. Ferner waren in der einen oder anderen Weise die Herren Dr. R. Baumgart, Prof. Dr. S. Dempe, Dr. K. Eppler, P. Espenhain und Prof. Dr. J. Käschel an der Auswahl bzw. der Ausarbeitung mancher Aufgaben beteiligt. Ihnen allen sei an dieser Stelle herzlich gedankt. Besonderer Dank gilt Herrn Dr. U. Würker für die sorgfältige Anfertigung der meisten Abbildungen. Schließlich bin ich dem Teubner-Verlag für die Aufnahme des Buches in das Verlagsprogramm und Herrn J. Weiß, Leipzig, für sein stetes Interesse und die bewährt gute Zusammenarbeit zu großem Dank verpflichtet. Chemnitz, im Juni 2003 Bernd Luderer

6 Inhalt 1 Lineare Algebra 1.1 Matrizenmultiplikation, Verflechtung 1.2 Inverse Matrix und Leontief-Modell. 1.3 Lineare Gleichungssysteme, Matrizengleichungen 1.4 Lineare Unabhängigkeit, Rang, Determinanten 1.5 Hinweise Analysis der Funktionen einer Variablen 2.1 Eigenschaften, Extremwerte, Kurvendiskussion 2.2 Approximation, numerische Nullstellenberechnung 2.3 Integrale, Differenzialgleichungen 2.4 Hinweise Analysis der Funktionen mehrerer Veränderlicher 3.1 Differenziation und Approximation Extremwerte bei mehreren Veränderlichen 3.3 Extremwerte unter Nebenbedingungen 3.4 Methode der kleinsten Quadrate 3.5 Hinweise Lineare Optimierung 4.1 ModelIierung Grafische Lösung 4.3 Simplexmethode 4.4 Dualität 4.5 Hinweise... 5 Finanzmathematik 5.1 Zins- und Zinseszinsrechnung 5.2 Rentenrechnung Tilgungsrechnung Renditeberechnung und Investitionsrechnung 5.5 Hinweise

7 8 Inhalt 6 Verschiedenes 6.1 Ungleichungen und Beträge 6.2 Mengenlehre und Logik. 6.3 Zahlenfolgen und -reihen. 6.4 Geraden und Ebenen. 6.5 Hinweise Wahrscheinlichkeitsrechnung 7.1 Zufällige Ereignisse und Wahrscheinlichkeit 7.2 Zufallsgrößen Zentraler Grenzverteilungssatz 7.4 Hinweise. 8 Statistik 8.1 Konfidenzintervalle 8.2 Mittelwerttests Prüfen einer Varianz 8.4 Prüfen von Wahrscheinlichkeiten 8.5 x2-test. 8.6 Hinweise... 9 Kurze Übersichtsfragen Lösungen zu den Aufgaben Lösungen zu Kapitel 1 Lösungen zu Kapitel 2 Lösungen zu Kapitel 3 Lösungen zu Kapitel 4 Lösungen zu Kapitel 5 Lösungen zu Kapitel 6 Lösungen zu Kapitel 7 Lösungen zu Kapitel 8 Lösungen zu Kapitel 9 Literaturverzeichnis Sachwortverzeichnis