HollandIHolland. Mathematik im Betrieb

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1 HollandIHolland. Mathematik im Betrieb

2 HEINRICH HOLLAND/ DORIS HOLLAND Mathematik im Betrieb Praxisbezogene Einführung mit Beispielen 5. r überarbeitete Auflage LEHRBUCH

3 Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme HoUand, Heinrich: Mathematik im Betrieb: praxisbezogene Einfiihrung mit Beispielen / Heinrich HollandIDoris Holland. - 5., liberarb. Aufl. - Wiesbaden : Gabler, Auflage Auflage Auflage Auflage Auflage 1999 Alle Rechte vorbehalten Betriebswirtschaftlicher Verlag Dr. Th. Gabler GmbH, Wiesbaden, 1999 Softcover reprint of the hardcover 5th edition 1999 Der Gabler Verlag ist ein Unternehmen der Bertelsmann Fachinformation GmbH. Lektorat: Jutta Hauser-Fahr gabler-online.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfaltigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Höchste inhaltliche und technische Qualität unserer Werke ist unser Ziel. Bei der Produktion und Verbreitung unserer Werke wollen wir die Umwelt schonen: Dieses Buch ist auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier gedruckt. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, daß solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Druck und Buchbinder: Hubert & Co., Göttingen ISBN DOI / ISBN (ebook)

4 Vorwort Das vorliegende Buch deckt den Stoff der Vorlesung Wirtschaftsmathematik im Grundstudium einschließlich der Finanzmathematik ab. Es legt damit die Grundlagen, die im weiteren Verlauf des Studiums benötigt werden. Die mathematischen Verfahren werden mit ihren Anwendungsmöglichkeiten in der betrieblichen Praxis dargestellt. Dabei wird bewußt weitestmöglich auf eine mathematischwissenschaftliche Fachsprache verzichtet. Nicht die mathematische Eleganz steht im Vordergrund, sondern die praktische Umsetzung der Verfahren. Mathematische Beweise und Herleitungen sind an den Stellen enthalten, an denen sie zum Verständnis des Stoffes beitragen. Das Buch hat das Ziel, dem Leser durch diese pragmatische Darstellungsweise die Anwendungsmöglichkeiten der Mathematik nahezubringen. Übersichtlich strukturierte Schemata geben dabei eine Hilfestellung. Aus diesem Grund wird ein besonderer Wert darauf gelegt, in jedem Kapitel den Stoff anhand von Beispielaufgaben, die aus dem Bereich der Wirtschaft stammen, zu erläutern und zu vertiefen. Weitere Aufgaben mit Musterlösungen machen es möglich, den Stoff selbst zu erarbeiten. Sie können zur Selbstkontrolle und zur Prüfungsvorbereitung genutzt werden. Ergänzend haben wir eine Fallstudie in das Buch aufgenommen, die den behandelten Stoff anband einer betriebswirtschaftlichen Unternehmenssituation wiederholt. Die Fallstudie zeigt die Verbindung zwischen der Wirtschaftsmathematik und der Betriebswirtschaftslehre auf und wird durch eine ausführliche Lösung im Anhang vervollständigt. Für die jetzt vorliegende fünfte Auflage wurde die redaktionelle Gestaltung des Buches gründlich überarbeitet; außerdem haben wir einige Kapitel aktualisiert und erweitert. Doris und Heinrich Holland 5

5 Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Grundlagen Zahlbegriffe Potenzen Wurzeln Logarithmen Exponentialgleichungen Summenzeichen 19 2 Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Funktionsbegriff Darstellungsformen Umkehrfunktionen Lineare Funktionen Ökonomische lineare Funktionen Nichtlineare Funktionen und ihre ökonomische Anwendung Problemstellung Parabeln Hyperbeln Wurzelfunktionen Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen 56 3 Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Begriff Analytische Darstellung Tabellarische Darstellung Graphische Darstellung Grundlagen Lineare Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen Nichtlineare Funktionen mit zwei unabhängigen Variablen Ökonomische Anwendung 69 7

6 4 Eigenschaften von Funktionen Nullstellen, Extrema, Steigung, Krümmung, Symmetrie 4.2 Grenzwerte 4.3 Stetigkeit Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Problemstellung Die Steigung von Funktionen und der Differentialquotient Differenzierungsregeln Ableitung elementarer Funktionen Differentiation verknüpfter Funktionen Höhere Ableitungen Anwendungen der Differentialrechnung Extrema Steigung einer Funktion Krümmung einer Funktion Wendepunkte Kurvendiskussion Newtonsches Näherungsverfahren Wirtschaftswissenschaftliche Anwendungen der Differentialrechnung Bedeutung der Differentialrechnung für die Wirtschaftswissenschaften Differentiation wichtiger wirtschaftlicher Funktionen Kostenfunktion Umsatzfunktion Gewinnfunktion Gewinnmaximierung Optimale Bestellmenge Elastizitäten 6 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Partielle erste Ableitung 6.2 Partielle Ableitungen höherer Ordnung 6.3 Extremwertbestimmung 6.4 Extremwertbestimmung unter Nebenbedingungen Problemstellung Variablensubstitution Multiplikatorregel nach Lagrange

7 7 Grundlagen der Integralrechnung Das unbestimmte Integral Das bestimmte Integral Wirtschafts wissenschaftliche Anwendungen Matrizenrechnung Bedeutung der Matrizemechnung Der Begriff der Matrix Spezielle Matrizen Matrizenoperationen Gleichheit von Matrizen Transponierte von Matrizen Addition von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Skalarprodukt von Vektoren Multiplikation von Miltrizen Inverse einer Matrix Input-Output-Analyse Lineare Gleichungssysteme Problemstellung und ökonomische Bedeutung Lineare Gleichungssysteme in Matrizenschreibweise Lineare Abhängigkeit von Vektoren Rang einer Matrix Lösung linearer Gleichungssysteme Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems Innerbetriebliche Leistungsverrechnung Lineare Optimierung Ungleichungen Graphische Methode der linearen Optimierung Analytische Methode der linearen Optimierung Problemstellung Simplex-Methode Verkürztes Simplex-Tableau 235 9

8 10 Finanzmathematik Grundlagen der Finanzmathematik Folgen Reihen Grenzwerte von Folgen Grenzwerte von Reihen Finanzmathematische Verfahren Abschreibungen Zinsrechnung Begriffe der Zinsrechnung Einfache Verzinsung Zinseszinsrechnung Unterjährige Verzinsung Stetige Verzinsung Rentenrechnung Tilgungsrechnung Investitionsrechnung Kombinatorik Grundlagen Permutation Kombinationen Fallstudie 303 Lösungen der Übungsaufgaben 310 Lösungen zur Fallstudie 345 Stichwortverzeichnis