Mathematik für BWL-Bachelor

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1 Heidrun Matthäus Wolf-Gert Matthäus Mathematik für BWL-Bachelor Schritt für Schritt mit ausführlichen Lösungen 2., überarbeitete Auflage STUDIUM VIEWEG+ TEUBNER

2 {Inhaltsverzeichnis 1 Analysis Funktionen Begriff Nutzen von Funktionen Graph der Funktion Aufgaben der Analysis." Vorschau 22 2 Elementares Handwerkszeug Klammersetzung Punkt- vor Strichrechnung Potenz- vor Punktrechnung Klammern Bruchrechnung Grundsätzliches Multiplikation und Division von Brüchen.' Addition und Subtraktion von Brüchen Größenverhältnisse bei Brüchen 27 3 Erweitertes Handwerkszeug Potenzen, Wurzeln, Logarithmen Potenzen Potenzgesetze "' Wurzeln Wurzelgesetze Der Begriff des Logarithmus Dualer, dekadischer und natürlicher Logarithmus Logarithmengesetze 34

3 Inhaltsverzeichnis 3.2 Gleichungen, Ungleichungen, Beträge Allgemeines zu Gleichungen Quadratische Gleichungen..., Ungleichungen - Begriff und Lösungsmenge Ungleichungen - Multiplikation mit bekannten Zahlen Ungleichungen - Division durch bekannte Zahlen Ungleichungen - Multiplikation/Division ohne Vorzeicheninformation Beträge Betragsgleichungen und -Ungleichungen Umgang mit dem Summenzeichen Einfache Summen Rechenregeln für einfache Summen Doppelsummen Rechenregeln für Doppelsummen 50 4 Elementare Funktionen und ihre Graphen Polynome Allgemeines Berechnung von Funktionswerten von Polynomen Graphen von Polynomen n-ten Grades, wenn n ungerade ist Graphen von Polynomen n-ten Grades, wenn n gerade ist Graphen von Polynomen zweiten Grades Parabeln zeichnen Graphen von Polynomen ersten Grades Polynome nullten Grades und ihre Graphen Exponentialfunktionen Begriff Graphen von Exponentialfunktionen Zeichnendes Graphen Logarithmusfunktionen Begriff Graphen von Logarithmusfunktionen 64

4 Inhaltsverzeichnis 9 5 Verwandte Funktionen und ihre Graphen Begriffserklärung Additionen und Subtraktionen Addition und Subtraktion zur Funktion Addition und Subtraktion zum Argument Multiplikationen Multiplikation der Funktion mit (-1) Multiplikation des Arguments mit (-1) Betragsbildungen Betragsbildung im Argument Von der Funktion zum Betrag der Funktion 70 6 Kurvendiskussion Begriff und Aufgabenstellung Definitionsbereich Bestimmung des Definitionsbereiches Beschreibung des Definitionsbereiches Definitionsbereich als Lösung einer Ungleichung Definitionsbereich als Lösung von Betragsgleichungen Definitionsbereiche der Grundfunktionen Definitionsbereiche verwandter Funktionen Randuntersuchungen Grundfunktionen Beliebige Funktionen Unbestimmte Ausdrücke Wertebereich , Begriff und Bedeutung Wertebereiche der Grundfunktionen Wertebereiche verwandter Funktionen Wertebereiche beliebiger Funktionen 89

5 10 Inhaltsverzeichnis 6.5 Schnittpunkte mit den Achsen Schnittpunkt mit der senkrechten Achse Schnittpunkte mit der waagerechten Achse Ausblick 92 7 Eigenschaften von Funktionen Stetigkeit Definition Konsequenzen von Stetigkeit und Unstetigkeit Arten der Unstetigkeit Suche nach Unstetigkeitsstellen Beschränktheit Definitionen Stetigkeit und Beschränktheit Monotonie Definitionen Rechnerische Bestimmung des Monotonieverhaltens Stetigkeit und Monotonie Umkehrfunktion Fragestellung.' Berechnung der Umkehrfunktion Mittelbare Funktionen: Funktionen von Funktionen Differentialrechnung Vorbemerkung, Bilanz, Ausblick Der erste Ableitungswert Begriff und Bedeutung Symbolik Berechnung des ersten Ableitungswertes: Theorie Berechnung des ersten Ableitungswertes: Praxis Erster Ableitungswert und erste Ableitungsfunktion Erste Ableitungsfunktion von wichtigen Grundfunktionen Faktor- und Summenregel Produktregel 119

6 Inhaltsverzeichnis Quotientenregel Kettenregel Logarithmisches Differenzieren Kurvendiskussion (Fortsetzung) Bedeutung des ersten Ableitungswertes für den Graphen Anstieg der Tangente Waagerechte Tangente Existenz des ersten Ableitungswertes Bedeutung der ersten Ableitungsfunktion für den Graphen Grundsätzliches Nullstellen der ersten Ableitung Zweite Ableitungsfunktion Begriff und Berechnung Bedeutung für die Kurvendiskussion Kriterien und hinreichende Bedingungen für relative Extrema Lösung von Extremwertaufgaben Höhere Ableitungsfunktionen Ableitungsfunktionen nicht überall differenzierbarer Funktionen Grenzwerte unbestimmter Ausdrücke Folgen mit Reihen Folgen als spezielle Funktionen Beschränktheit und Monotonie, alternierende Folgen Beschränktheit von Folgen Monotonie von Folgen Alternierende Folgen Konvergenz und Divergenz von Folgen Das Problem mit dem Unendlichen Definitionen der bestimmten Divergenz Definition der Konvergenz Unbestimmte Ausdrücke 149

7 12 Inhaltsverzeichnis Grenzwertsätze Rekursiv beschriebene Folgen Reihen Begriff, Reihen als spezielle Folgen Untersuchung von Reihen Geometrische Reihen Konvergenz von Reihen Grenzwert einer Funktion Funktionen zweier Veränderlicher Begriff, Vorstellung, Graph Aufgabenstellung Veranschaulichung Möglichkeiten und Grenzen Zahlenmäßige Informationen zum Graphen Erste partielle Ableitungswerte Das totale Differential Waagerechte Tangentialebenen Differentialrechnung für Funktionen zweier Veränderlicher Theorie und Praxis : Zusätzliche Regel des partiellen Differenzierens Beispiele Bezeichnungen Höhere partielle Ableitungen Bestimmung von Hoch- und Tiefpunkten Linien gleicher Funktionswerte: Niveaulinien Begriff und Beispiel Ermittlung von Niveaulinien Höhenlinien Funktionen mit mehr als zwei Veränderlichen Begriff Unvorstellbarkeit 189

8 Inhaltsverzeichnis Erste partielle Ableitungswerte und totales Differential Differentialrechnung für Funktionen von n Veränderlichen (w>2) Regeln des partiellen Differenzierens Gradient Höhere partielle Ableitungsfunktionen Hesse-Matrix Relative Extremwerte Extremalaufgaben Freie Extremalaufgaben Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlicher Nebenbedingungen in Ungleichungsform Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen Funktionen mehrerer unabhängiger Veränderlicher Nebenbedingungen in Gleichungsform Funktionen einer unabhängigen Veränderlichen Funktionen von zwei und mehr unabhängigen Veränderlichen Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren: Einführung Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren: Ausblick Analysis und Betriebswirtschaftslehre Preis-Absatz-Funktionen Angebotsmonopolisten Sättigungsprozess Gewinnmaximum und Durchschnittskosten Rentabilität und Marktanteil Gewinnmaximierung Monotonie der Nachfrage COBB-DOUGLAS-Funktion Stückkostenkurve und Grenzkosten Grenzerträge 215

9 14 ^ Inhaltsverzeichnis Zwei Güter Minimalkostenkombinationen Output-Maximierung Lineare Algebra: Matrizen Allgemeines Der Matrixbegriff Der Matrixbegriff in der Mathematik Matrizen-Begriffe Zeilen und Spalten, Format Vektoren als spezielle Matrizen Beziehungen zwischen Matrizen Transponieren Quadratische Matrizen Diagonalen Diagonal- und Einheitsmatrix Symmetrie Einfache Rechenregeln für Matrizen Addition und Subtraktion, Nullmatrix ; Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl Matrizenmultiplikation Herstellbarkeit von Matrizenprodukten Vertauschbarkeit Rechenregeln Besonderheiten der Nullmatrix Einselement der Matrizenmultiplikation Division von Matrizen Inverse Matrix Fragestellung Definition der inversen Matrix Inverse von Diagonalmatrizen Lösung einer Matrixgleichung mit quadratischer Matrix Einzigkeit der Inversen 238

10 Inhaltsverzeichnis Lineare Algebra: Determinanten Der Determinantenbegriff Bedeutung der Determinante Berechnung von Determinanten Zweireihige Determinanten Dreireihige Determinanten - die Regel von Sarrus n-reihige Determinanten - der Entwicklungssatz Determinanten spezieller Matrizen Weitere Determinantengesetze Anwendungen Cramer'sehe Regel Berechnung der Inversen von (2,2)-Matrizen Lineare Gleichungssysteme Definition, Darstellungsformen und Begriffe Quadratische Gleichungssysteme Lösungssituationen Theorie mit Determinanten Praxis I: Basisversion des Gauß'schen Algorithmus Praxis II: Der Gauß'sche Algorithmus mit freier Pivotwahl : Unterbestimmte lineare Gleichungssysteme Definition und mögliche Lösungssituationen Basisversion und freie Pivotwahl Kanonische Form und Basislösungen Lineare Algebra und Betriebswirtschaftslehre Rohstoffe und Endprodukte Mehrstufige Produktion Maschinenzeitfonds Lineare Optimierung Aufgabenstellung Allgemeines 293

11 16 Inhaltsverzeichnis Das Standard-Maximumproblem der LO Das Standard-Minimumproblem der LO Beispiele Akademisches Beispiel Anwendung: Optimales Produktionsprogramm Anwendung: Diätproblem Grafische Lösung Zulässiger Bereich und Ecken Zielfunktion Lösung des Diätproblems Weitere grafisch lösbare angewandte Aufgabenstellungen Das Gärtnerproblem Die Raffinierieaufgabe Die Kaffeeaufgabe Die Meterwarenaufgabe Die Kohletransportaufgabe Die Kreditangebotsaufgabe Die Reiseplanungsauf gäbe Die Zuschnittaufgabe Die Aktienanlageaufgabe " Rechnerische Lösung von LOP (Ausblick) Schlupfvariable { Basislösungen Hauptsatz der linearen Optimierung Austauschverfahren Simplex-Algorithmus 314 Weiterführende und vertiefende Literatur 315 Sachwortverzeichnis 317