J urg en Tietze. Einfuhrung. in die angewandte. Wirtschaftsmathematik. Das praxisnahe Lehrbuch - inklusive Bruckenkurs fur Einsteiger

Transkript

1 J urg en Tietze Einfuhrung in die angewandte Wirtschaftsmathematik Das praxisnahe Lehrbuch - inklusive Bruckenkurs fur Einsteiger 17., erweiterte Auflage Mit 500 Abbildungen und mehr als 1700 Ubungsaufgaben ^ Springer Spektrum

2 VII Vorwort Symbolverzeichnis Abkiirzungen, Variablennamen 1 Grundlagen und Hilfsmittel Mengen und Aussagen Mengenbegriff Spezielle Zahlenmengen Aussagen und Aussageformen Verknupfungen von Aussagen und Aussageformen Konjunktion Disjunktion Negation Zusammengesetzte Aussagen Folgerung (Implikation) und Aquivalenz Folgerung (Implikation) Aquivalenz Relationen zwischen Mengen Gleichheit zweier Mengen Teilmengen Verknupfungen (Operationen) mit Mengen Durchschnittsmenge Vereinigungsmenge Restmenge (Differenzmenge) Paarmengen, Produktmengen Elementare Algebra im Bereich der reellen Zahlen R Briickenkurs (BK) 23 Eingangstest 24 Eingangstest - Aufgaben 25 BK1 Thema: Axiome (Grundregeln) der Algebra in R 27 BK1.1 Die neun Axiome (Grundregeln) der Algebra in R 27 BK 1.2 Subtraktion und Division - Differenzen und Briiche 32 BK 1.3 Konventionen/Vereinbarungen zur Reihenfolge der Operationen Selbstkontroll-Test zu Thema BK1 35 BK2 Thema: Termumformungen in R - aus den Axiomen abgeleitete Rechenregeln 36 BK 2.1 0/1-Regeln und Vorzeichenregeln; Multiplikation von Summen, insb. Binomische Formeln" 38 BK 2.2 Briiche und algebraische Bruchterme: Multiplikation/Division zweier Briiche, Kiirzen und Erweitern von Bruchen, Addition/Subtraktion zweier Briiche 43 BK 2.3 Wann ist ein Produkt/Quotient Null? Konsequenzen fur Gleichungen 51 Selbstkontroll-Test zu Thema BK2 53 BK3 Thema: Einige spezielle mathematische Begriffe und Symbole (Exkurs) 54 BK3.1 (absoluter) Betrag einer Zahl/eines Terms 54 BK3.2 Das Summenzeichen 55 V XIII XIV

3 VIII BK3.3 Das Produktzeichen BK3.4 Fakultat und Binomialkoeffizient bl Selbstkontroll-Test zu Thema BK4 Thema: Potenzen und Wurzeln BK4.1 Potenzen mit nattirlichen und ganzzahligen Exponenten ^ 65 BK4.2 Rechenregeln fiir Potenzen 70 BK 4.3 Potenzen mit rationalen (gebrochenen) Exponenten; Wurzeln 76 Selbstkontroll-Test zu Thema BK4 83 BK5 Thema: Logarithmen 85 BK5.1 Begriff des Logarithmus 85 BK5.2 Rechenregeln fiir Logarithmen 90 Selbstkontroll-Test zu Thema BK5 94 BK6 Thema: Gleichungen BK6.1 Allgemeines zu Gleichungen und ihren Losungen BK6.2 Aquivalenzumformungen von Gleichungen 99 Exkurs: Beliebte Fehlerfallen bei der Gleichungsumformung 107 BK6.3 Lineare Gleichungen 115 BK6.4 Quadratische Gleichungen BK6.5 Gleichungen hoheren als 2. Grades, Substitution, Polynomdivision BK6.6 Bruchgleichungen 129 BK6.7 Wurzelgleichungen und Potenzgleichungen 130 BK6.8 Exponentialgleichungen 134 BK6.9 Logarithmengleichungen 137 BK6.10 Exkurs: Lineare Gleichungssysteme 138 Selbstkontroll-Test zu Thema BK6 142 BK7 Thema: Ungleichungen 144 Rechenregeln fur Ungleichungen - Monotoniegesetze 144 Losungsverfahren fiir Ungleichungen 146 Selbstkontroll-Test zu Thema BK7 149 Abschluss-Test Funktionen einer unabhangigen Variablen Begriff und Darstellung von Funktionen Funktionsbegriff Graphische Darstellung von Funktionen Abschnittsweise definierte Funktionen Umkehrfunktionen Implizite Funktionen Verkettete Funktionen Eigenschaften von Funktionen Beschrankte Funktionen Monotone Funktionen Symmetrische Funktionen Nullstellen von Funktionen Elementare Typen von Funktionen Ganzrationale Funktionen (Polynome) Grundbegriffe, Horner-Schema j Konstante und lineare Funktionen Quadratische Funktionen 17g Nullstellen von Polynomen und Polynomzerlegung Gebrochen-rationale Funktionen Algebraische Funktionen (Wurzelfunktionen) Exponentialfunktionen

4 IX Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen (Kreisfunktionen, Winkelfunktionen) Iterative Gleichungslosung und Nullstellenbestimmung (Regula falsi) Beispiele okonomischer Funktionen Funktionen mit mehreren unabhangigen Variablen Begriff von Funktionen mit mehreren unabhangigen Variablen Darstellung einer Funktion mit mehreren unabhangigen Variablen Homogenitat von Funktionen mit mehreren unabhangigen Variablen Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen Der Grenzwertbegriff Grenzwerte von Funktionen fur x x Grenzwerte von Funktionen fur x -» (bzw. x - ) Grenzwerte spezieller Funktionen Die Grenzwertsatze und ihre Anwendungen Der Stetigkeitsbegriff Unstetigkeitstypen Stetigkeitsanalyse Stetigkeit okonomischer Funktionen Asymptoten Differentialrechnung fur Funktionen mit einer unabhangigen Variablen Grundlagen und Technik Grundlagen der Differentialrechnung Problemstellung DurchschnittlicheFunktionssteigung(Sekantensteigung), Differenzenquotient Steigung und Ableitung einer Funktion (Differentialquotient) Differenzierbarkeit und Stetigkeit Technik des Differenzierens Die Ableitung der Grundfunktionen Ableitung der konstanten Funktion f(x) = c Ableitung der Potenzfunktion f(x) = x n Ableitung der Exponentialfunktion f(x) = e x Ableitung der Logarithmusfunktion f(x) = Inx Ableitungsregeln Faktorregel Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Erganzungen zur Ableitungstechnik Ableitung der Umkehrfunktion Ableitung allgemeiner Exponential- und Logarithmusfunktionen Logarithmische Ableitung Hohere Ableitungen Zusammenfassung der wichtigsten Differentiationsregeln Grenzwerte bei unbestimmten Ausdriicken - Regeln von de L'Hospital Newton-Verfahren zur naherungsweisen Ermittlung von Nullstellen einer Funktion Anwendungen der Differentialrechnung bei Funktionen mit einer unabhangigen Variablen Zur okonomischen Interpretation der ersten Ableitung Das Differential einer Funktion 313

5 X Die Interpretation der 1. Ableitung als (okonomische) Grenzfunktion Grenzkosten Grenzerlos (Grenzumsatz, Grenzausgaben) Grenzproduktivitat (Grenzertrag) Grenzgewinn Marginale Konsumquote Marginale Sparquote Grenzrate der Substitution Grenzfunktion und Durchschnittsfunktion 6.2 Anwendung der Differentialrechnung auf die Untersuchung von Funktionen Monotonie-und Kriimmungsverhalten Extremwerte Wendepunkte Kurvendiskussion Extremwerte bei nichtdifferenzierbaren Funktionen 6.3 Die Anwendung der Differentialrechnung auf okonomische Probleme Beschreibung okonomischer Prozesse mit Hilfe von Ableitungen Beschreibung des Wachstumsverhaltens okonomischer Funktionen Konstruktion okonomischer Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften Analyse und Optimierung okonomischer Funktionen Fahrstrahlanalyse Diskussion okonomischer Funktionen Gewinnmaximierung Gewinnmaximierung bei doppelt-geknickter Preis-Absatz-Funktion Optimale Lagerhaltung Die Elastizitat okonomischer Funktionen Anderungen von Funktionen Begriff, Bedeutung und Berechnung der Elastizitat von Funktionen Elastizitat okonomischer Funktionen Graphische Ermittlung der Elastizitat Uberpriifung okonomischer Gesetze"mit Hilfe der Differentialrechnung 7 Differentialrechnung bei Funktionen mit mehreren unabhangigen Variablen Grundlagen Begriff und Berechnung von partiellen Ableitungen Okonomische Interpretation partieller Ableitungen Partielle Ableitungen hoherer Ordnung Kennzeichnung von Monotonie und Krummung durch partielle Ableitungen Partielles und vollstandiges (totales) Differential Kettenregel, totale Ableitung Ableitung impliziter Funktionen 7.2 Extrema bei Funktionen mit mehreren unabhangigen Variablen Relative Extrema ohne Nebenbedingungen Extremwerte unter Nebenbedingungen Problemstellung Variablensubstitution Lagrange-Methode 7.3 Beispiele fur die Anwendung der Differentialrechnung auf okonomische Funktionen mit mehreren unabhangigen Variablen Partielle Elastizitaten Begriff der partiellen Elastizitat Die Eulersche Homogenitatsrelation Elastizitat homogener Funktionen

6 XI Faktorentlohnung und Verteilung des Produktes Okonomische Beispiele fur relative Extrema (ohne Nebenbedingungen) Optimaler Faktoreinsatz in der Produktion Gewinnmaximierungvon Mehrproduktunternehmungen Gewinnmaximierung bei raumlicher Preisdifferenzierung Die Methode der kleinsten Quadrate Okonomische Beispiele fur Extrema unter Nebenbedingungen Minimalkostenkombination Expansionspfad, Faktornachfrage- und Gesamtkostenfunktion Nutzenmaximierung und Haushaltsoptimum Nutzenmaximale Giiternachfrage-und Konsumfunktionen Einfuhrung in die Integralrechnung Das unbestimmte Integral Stammfunktion und unbestimmtes Integral Grundintegrale Elementare Rechenregeln fur das unbestimmte Integral Das bestimmte Integral Das Flacheninhaltsproblem und der Begriff des bestimmten Integrals Beispiel zur elementaren Berechnung eines bestimmten Integrals Elementare Eigenschaften des bestimmten Integrals Beziehungen zwischen bestimmtem und unbestimmtem Integral Integralfunktion Der 1. Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung Der 2. Hauptsatz der Differential-und Integralrechnung Flacheninhaltsberechnung Spezielle Integrationstechniken Partielle Integration Integration durch Substitution Okonomische Anwendungen der Integralrechnung Kosten-, Erlos-und Gewinnfunktionen Die Konsumentenrente Die Produzentenrente Kontinuierliche Zahlungsstrome Kapitalstock und Investitionen einer Volkswirtschaft Optimale Nutzungsdauer von Investitionen Elementare Differentialgleichungen Einleitung Losung von Differentialgleichungen durch Trennung der Variablen Okonomische Anwendungen separabler Differentialgleichungen Exponentielles Wachstum Funktionen mit vorgegebener Elastizitat Neoklassisches Wachstumsmodell nach Solow Einfuhrung in die Lineare Algebra Matrizen und Vektoren Grundbegriffe der Matrizenrechnung Spezielle Matrizen und Vektoren Operationen mit Matrizen Addition von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Skalarfaktor Die skalare Multiplikation zweier Vektoren (Skalarprodukt) Multiplikation von Matrizen Die inverse Matrix 542

7 XII Okonomisches Anwendungsbeispiel (Input-Output-Analyse) 9.2 Lineare Gleichungssysteme (LGS) Grundbegriffe ' ' Losungsverfahren fiir lineare Gleichungssysteme - GauBscher Algorithmus Pivotisieren Losbarkeit linearer Gleichungssysteme Berechnung der Inversen einer Matrix Okonomische Anwendungsbeispiele fiir lineare Gleichungssysteme Teilebedarfsrechnung, Stucklistenauflosung Innerbetriebliche Leistungsverrechnung 10 Lineare Optimierung (LO) 10.1 Grundlagen und graphische Losungsmethode Bin Problem der Produktionsplanung Graphische Losung des Produktionsplanungsproblems Ein Diat-Problem Graphische Losung des Diat-Problems Sonderfalle bei graphischer Losung Graphische Losung von LO-Problemen - Zusammenfassung 10.2 Simplexverfahren Mathematisches Modell des allgemeinen LO-Problems Grundidee des Simplexverfahrens Einfiihrung von Schlupfvariablen Eckpunkte und Basislosungen Optimalitatskriterium Engpassbedingung Simplexverfahren im Standard-Maximum-Fall - Zusammenfassung Beispiel zum Simplex-Verfahren (Standard-Maximum-Problem) 10.3 Zweiphasenmethode zur Losung beliebiger LO-Probleme 10.4 Sonderfalle bei LO-Problemen Keine zulassige Losung Keine endliche optimale Losung (unbeschrankte Losung) Degeneration (Entartung) Mehrdeutige optimale Losungen Fehlen von Nichtnegativitatsbedingungen Ablaufdiagramm des Simplexverfahrens im allgemeinen Fall 10.5 Die okonomische Interpretation des optimalen Simplextableaus Produktionsplanungsproblem Problemformulierung, Einfiihrung von Einheiten Optimaltableau und optimale Basislosung Deutung der Zielfunktionskoeffizienten Deutung der inneren Koeffizienten Zusammenfassung Diatproblem 10.6 Dualitat Das duale LO-Problem Dualitatssatze 10.7 Okonomische Interpretation des Dualproblems Dual eines Produktionsplanungsproblems Dual eines Diatproblems 11 Losungshimveise zum Briickenkurs und zu ausgewahlten Aufgaben 12 Literaturverzeichnis 13 Sachwortverzeichnis