Mathematische Zeichen und Abkürzungen 11. Grundlagen der Aussagenlogik und der Mengenlehre 13

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1 Inhaltsverzeichnis Mathematische Zeichen und Abkürzungen 11 Grundlagen der Aussagenlogik und der Mengenlehre 13 1 Grundbegriffe der Aussagenlogik und ihre Verwendung in der Datenverarbeitung Aussagen Aussageformen Äquivalenz von Aussageformen Zusammengesetzte Aussagen und Aussageformen Und-Aussage (Konjunktion) und Und-Schaltung Oder-Aussage (Disjunktion) und Oder-Schaltung Die Verneinung (Negation) Wenn-dann-Aussage (Implikation) 24 2 Grundbegriffe der Mengenlehre Mengen und ihre Elemente Beziehungen zwischen Mengen Gleichmächtigkeit und Gleichheit von Mengen Teilmengen Die Ergänzungsmenge Verknüpfungen von Mengen Die Vereinigung von Mengen Der Durchschnitt von Mengen Die Restmenge Mehrfachverknüpfungen von Mengen Verknüpfungseigenschaften Zählaufgaben mit Mengen Beziehungen zwischen den Verknüpfungen bei Mengen und bei Aussagen bzw. Aussageformen 47 Zahlen- und Rechenbereich der Menge Z der ganzen Zahlen SO 3 Grundbegriffe der Zahlenlehre Die Menge N 0 der natürlichen Zahlen einschließlich der Null Das Rechnen mit natürlichen Zahlen als Ausdruck von Mengenverknüpfungen Zahlenverknüpfung und Abgeschlossenheit Die Menge Z der ganzen Zahlen 54

2 Inhaltsverzeichnis 5 4 Verknüpfungen von Termen in der Mengender ganzen Zahlen Terme; Grundmenge, Definitionsbereich und Wertebereich Der Betrag einer Zahl Die Addition und Subtraktion ganzer Zahlen Die Addition Die Subtraktion Die Addition und Subtraktion physikalischer Größen Die Addition und Subtraktion von Variablen und deren Vielfachen Die Multiplikation und Division ganzer Zahlen Die Multiplikation Die Multiplikation von Größen Die Division Die Division von Größen 73 5 Umformung von Termen Notwendigkeit des Klammersetzens und Klammerauflösens Die Addition und Subtraktion von Summen und Differenzen Die Multiplikation von Summen und Differenzen Das Ausmultiplizieren von Klammerausdrücken Die Multiplikation mehrerer Klammerausdrücke Binomische Formeln Die Division von Summen und Differenzen Das Ausdividieren von Klammerausdrücken Faktorisieren durch Ausklammern Faktorisieren mittels binomischer Formeln Die Division zweier KlammerausdrUcke 86 Zahlen- und Rechenbereich der Menge Q der rationalen Zahlen 88 6 Die Menge Q der rationalen Zahlen Begründung und Darstellung der rationalen Zahlen Die Elemente der Menge <Q der rationalen Zahlen 90 7 Das Rechnen mit rationalen Zahlen Erweitern und Kürzen von Brüchen Vergleichen von Brüchen; gleichnamige und ungleichnamige Brüche Die Addition und Subtraktion rationaler Zahlen Die Addition und Subtraktion gleichnamiger Brüche Die Addition und Subtraktion ungleichnamiger Brüche 98

3 6 Inhaltsverzeichnis 1A Die Multiplikation und Division rationaler Zahlen Die Multiplikation von Brüchen Die Division von Brüchen Verknüpfungen. Gruppen, Ringe, Körper Verknüpfungen Gruppen, Ringe, Körper 106 Gleichungen und Ungleichungen mit einer Lösungsvariablen Gleichungen und Ungleichungen mit ganzen Zahlen Gleichungen und Ungleichungen als Aussagen und Aussageformen Lösungsverfahren bei Gleichungen und Ungleichungen III Gleichungen mit einer Lösungsvariablen Gleichungen mit Formvariablen Ungleichungen Textaufgaben Zahlenrätsel Verteilungsrechnung Mischungsrechnung Weitere Anwendung von Gleichungen mit einer Lösungsvariablen Gleichungen und Ungleichungen für besondere Lösungsmaßnahmen Gleichungen und Ungleichungen mit Brüchen Der Definitionsbereich von Bruchgleichungen und Bruchungleichungen Gleichungen und Ungleichungen mit Brüchen, deren Nenner keine Variablen enthalten Gleichungen und Ungleichungen mit Brüchen, deren Nenner Variablen enthalten Bruchgleichungen mit Formvariablen Textaufgaben aus verschiedenen Gebieten Zahlenrätsel, Merkwürdiges und Scherzhaftes Verteilungsrechnung Mischungsrechnung Zusammengesetzte Prozentrechnung Zinsrechnung Verhältnisse, Verhältnisgleichungen und Produktgleichungen Verhältnisse Verhältnisgleichungen und Produktgleichungen Quotientengleiche und produktgleiche Zahlenpaare Dreisatzaufgaben mit quotientengleichen und produktgleichen Zahlenpaaren Prozentrechnung 155

4 Inhaltsverzeichnis 7 Relationen und Funktionen als Zuordnungsvorschriften Zuordnungen Geordnete Paare; Produktmenge Relationen Das rechtwinklige Koordinatensystem (Achsenkreuz, Gitterlinien) Funktionen als eindeutige Relationen Erfahrungsfunktionen 165 Ganze rationale Funktionen 1. Grades Die Funktionen x -» mx und x -* mx + b Die Funktion x-> mx und ihre Umkehrfunktion x-*-^x Die Funktion x -» mx + b und ihre Umkehrfunktion x - -^-x Lineare Gleichungs- und Ungleichungssysteme Gleichungssysteme 1. Grades Graphische Lösung von linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen Rechnerische Lösung von linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen Lineare Gleichungssysteme mit Formvariablen Lösung linearer Gleichungssysteme mit zwei Variablen mit Hilfe von Determinanten Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen mit zwei Variablen Zahlenrätsel Aufgaben aus verschiedenen Sachgebieten Rechnerische Lösung von linearen Gleichungssystemen mit drei Variablen Lösung linearer Gleichungssysteme mit drei Variablen mit Hilfe von Determinanten Textaufgaben zu linearen Gleichungssystemen mit drei Variablen Zahlenrätsel Aufgaben aus verschiedenen Sachgebieten Ungleichungssysteme I.Grades Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen Graphische Lösung von linearen Ungleichungen Graphische Lösung von linearen Ungleichungssystemen mit zwei Variablen Textaufgaben zu linearen Ungleichungssystemen mit zwei Variablen Lineare Optimierung mit zwei Variablen 221

5 8 Inhaltsverzeichnis Quadratwurzeln als Elemente der Menge IR der reellen Zahlen Die Quadratwurzel Einführung der Quadratwurzel Berechnung der Quadratwurzel Irrationale Zahlen und die Menge IR der reellen Zahlen Rechnen mit Quadratwurzeln Addition und Subtraktion Multiplikation und Division 239 Gleichungen und Funktionen 2. Grades als quadratische Aussageformen Quadratische Gleichungen Rechnerische Lösung der reinquadratischen Gleichung ax 2 + c = Rechnerische Lösung der gemischtquadratischen Gleichung ax 2 + bx + c = Lösung durch quadratische Ergänzung Lösung mit Hilfe von Formeln Satz von Vieta, Zerlegen in Linearfaktoren Vermischte Aufgaben Textaufgaben aus verschiedenen Gebieten Zahlenrätsel Aus der Geometrie Verteilungsrechnung Aufgaben aus verschiedenen Sachgebieten Wurzelgleichungen Quadratische Funktionen Die Funktion x -* ax 2 und ihr Graph Die Funktion x -* ax 2 + c Die Funktion x -» ax 2 + bx + c Graphische Lösung der gemischtquadratischen Gleichung ax 2 + bx + c = Quadratische Gleichungssysteme 271 Potenzen und Wurzeln Potenzen Begriff der Potenz 273

6 Inhaltsverzeichnis Rechenregeln für Potenzen mit natürlichen Hochzahlen Addition und Subtraktion Multiplikation und Division von Potenzen mit gleicher Basis Multiplikation und Division von Potenzen mit gleichem Exponenten Potenzieren von Potenzen Potenzen mit dem Exponenten 0 und mit negativen ganzen Exponenten Potenzfunktionen - Umkehrfunktion Die Potenzfunktion x -* ax" und ihr Graph Die Funktionx-* ax~' Die Quadratwurzelfunktion x -»]/x als Umkehrfunktion der Quadratfunktion x-*x Wurzeln; Potenzen mit rationalen Exponenten Der allgemeine Wurzelbegriff Rechnen mit Wurzeln Addition und Subtraktion Multiplikation und Division von Wurzeln mit gleichen Exponenten Potenzieren von Wurzeln und Radizieren von Potenzen Radizieren von Wurzeln Potenzen mit rationalen Exponenten Berechnung der Kubikwurzel 294 Logarithmen als Abbildungen von Zahlenwerten Logarithmen Einführung 2% 21.2 Zehnerlogarithmen und Logarithmentafel Exponentialfunktion und logarithmische Funktion als Umkehrfunktionen Die Exponentialfunktion x -»<? und ihr Graph Die logarithmische Funktion x -> log 0 * und ihr Graph Rechnen mit Zehnerlogarithmen Multiplikation und Division Potenzieren und Radizieren Exponentialgleichungen Logarithmische Gleichungen 314

7 10 Inhaltsverzeichnis Zahlensysteme Das dekadische und das duale Zahlensystem Das dekadische Zahlensystem Das duale Zahlensystem 316 Zahlen- und Rechenbereich der Menge C der komplexen Zahlen Imaginäre und komplexe Zahlen Die imaginäre Einheit Komplexe Zahlen Einführung Addition und Subtraktion komplexer Zahlen Multiplikation und Division komplexer Zahlen Lösung gemischtquadratischer Gleichungen in der Menge C 325 Rechenhilfsmittel Rechnen mit dem elektronischen Taschenrechner Gerätetechnische Vorüberlegungen Grundsätzliches zum Gebrauch des Taschenrechners Tasten und Anzeigefeld Dateneingabe Korrektur von Eingabefehlern Stellenbegrenzung und Rundung Rechnungsfehler durch ungleichmäßige Stellenbelegung Berechnung von Mehrfachverknüpfungen Mehrfachverknüpfung mit Strichrechnung Mehrfachverknüpfung mit Punktrechnung Mehrfachverknüpfung mit Punkt-und Strichrechnung Rechneranzeige und vertretbare Genauigkeit Prozentrechnung Höhere Rechenarten Abschließende Bemerkung 344 Sachverzeichnis 345 Beilage: Quadratwurzel- und Logarithmentafel