Wirtschaftsmathematik und Statistik

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1 Beruf und Weiterbildung Walter Lagemann Wolf Rambatz Wirtschaftsmathematik und Statistik Ein Praktikum für die Weiterbildung zum Betriebswirt und zur Betriebswirtin HERAUSGEBER DR. RUDOLF RÖHR

2 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Mathematische Grundlagen der Wirtschaftsmathematik und Statistik Walter Lagemann (Abschnitte ) 1.1 Begriffe der Mengenlehre Mengen Begriff Darstellungsformen Mächtigkeit von Mengen Gleichheit von Mengen Teilmengen Begriff Darstellungsform Teilmengengesetz und Teilmengenrelationen Eigenschaften der Teilmengenrelationen Differenzmenge Begriff Darstellungsform Grundmenge Begriff Darstellungsform und Anwendungen Ergänzungsmenge Begriff Darstellungsform und Beispiele Gesetze der Komplementarität Anwendungsfälle der Mengenlehre Verknüpfen von Mengen Vereinigen von Mengen Begriff und Darstellungsform Gesetzmäßigkeit Anwendungsbeispiele Schneiden von Mengen Begriff und Darstellungsform Gesetzmäßigkeit Anwendungsbeispiele Vereinigen und Schneiden von Mengen Begriff und Darstellungsform Gesetzmäßigkeiten und Dualitätsprinzip Beweisverfahren und Verifikation Anwendungsbeispiele Mengenoperationen in der Grundmenge Einführungsbeispiele und Darstellung De Morgansches Gesetz Teilmengen der Grundmenge und Baumdiagramm Textanalysen und Ergebniserfassung in Diagrammen Diagramm-Analyse 66 Wirtschaftsmathematik (Lehrbuch 1) FELDHAUS VERLAG, Hamburg 13

3 1.3 Zahlenbereiche und ihre Bedeutung Zahlenmengen Menge der natürlichen Zahlen Menge der ganzen Zahlen Menge der rationalen Zahlen Menge der reellen Zahlen Bedeutung der Zahlenmengen Der elektronische Taschenrechner und seine Bedeutung für die Durchführung von Rechenvorgängen in Wirtschaftsmathematik, Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Allgemeine Hinweise Einsatzmöglichkeiten des Taschenrechners Rechenoperationen mit reellen Zahlen und dem Taschenrechner Begriffe und Rechengesetze Addition und Subtraktion von reellen Zahlen Multiplikation und Division von reellen Zahlen Potenzieren und Radizieren Logarithmieren Rechenbeispiele mit dem Taschenrechner Additions- und Subtraktionsvorgänge Multiplikations- und Divisionsvorgänge Potenzieren Radizieren Logarithmieren Berechnungen mit dem Taschenrechner Bestimmung von komplexen Zahlentermen Bestimmung von Funktionswerten Bestimmung von finanzmathematischen Ausdrücken Bestimmung von statistischen Daten Bestimmung von Größen aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung Algebraische Termumformungen Addition und Subtraktion von algebraischen Summen Auflösen von Klammern Multiplikation von Produkttermen und algebraischen Summen Faktorisieren von Produkten, algebraischen Summen und Bruchtermen Division von Produkttermen und algebraischen Summen Multiplizieren und Dividieren von Bruchtermen Erweitern und Kürzen von Bruchtermen Addition und Subtraktion von Bruchtermen Rechenoperationen mit Potenzen und Potenzierungsvorgänge Polynomdivision und Faktorisieren von Potenzausdrücken Radizieren und Verknüpfen von Wurzeltermen Aussagen,Aussageformen und ihre Verknüpfbarkeit Aussagen und Aussageformen Verknüpfungsmöglichkeiten von Aussagen und Aussageformen Einstellige Verknüpfung (Negation) Zweistellige Verknüpfungsformen Konjunktion Wirtschaftsmathematik (Lehrbuch 1) FELDHAUS VERLAG, Hamburg

4 Disjunktion Subjunktion und Implikation Bijunktion und Äquivalenz Alternative Komplexe Aussagen und Aussageformen Kontingenzen Tautologien Kontradiktionen Erfüllbarkeit von Aussageformen Teilweise erfüllbare Aussageformen (Kontingenzen) Allgemein erfüllbare Aussageformen (Tautologien) Nicht erfüllbare Aussageformen (Kontradiktionen) Bedeutung der aussagelogischen Funktionen und Anwendungsbeispiele Aussagelogische Funktionen und ihre Bedeutung Anwendungsbeispiele 129 Wolf Rambatz (Abschnitte ) 1.8 Aussageformen mit einer Variablen Gleichung als Aussage Gleichung als Aussageform Ungleichung als Aussage Ungleichung als Aussageform Lösungsmenge Äquivalenz von Aussageformen Gültigkeit von Aussageformen innerhalb einer Grundmenge Lösungsverfahren bei Gleichungen mit einer Variablen Lineare Gleichungen Umformung und Bestimmung der Lösungsmenge Beispiele für Umformungen von linearen Gleichungen in der Grundmenge Lineare Gleichungen in der Grundmenge (Bruchgleichungen) Gleichungen mit Variablen im Nenner Anwendung linearer Gleichungen mit einer Variablen in der Wirtschaftspraxis Quadratische Gleichungen Rein-quadratische Gleichungen Gemischt-quadratische Gleichungen Anwendung quadratischer Gleichungen in der Wirtschaftspraxis Kubische Gleichungen Allgemeines zu kubischen Gleichungen Bestimmung des ersten Lösungselementes einer kubischen Gleichung Bestimmung der weiteren Lösungselemente mit der Polynomdivision Lösung mit Horner-Schema Anwendung kubischer Gleichungen in der Wirtschaftspraxis Wurzelgleichungen Exponentialgleichungen Allgemeines zu Exponentialgleichungen Beispiele für Exponentialgleichungen 182 Wirtschaftsmathematik (Lehrbuch 1) FELDHAUS VERLAG, Hamburg 15

5 1.10 Lösungsverfahren bei Ungleichungen mit einer Variablen Bedeutung von Ungleichungen in der Wirtschaftsmathematik Lineare Ungleichungen ohne Variablen im Nenner Umformungsregeln und Lösungsmenge Lineare Ungleichungen mit Variablen im Nenner Fallunterscheidung Zusammenfassung:Ungleichungen mit Variablen im Nenner Quadratische Ungleichungen Funktionen in der Wirtschaftsmathematik Einführung Produktmenge, Relation und Funktion Aussageformen mit einer Variablen Aussageformen mit zwei Variablen Geordnete Paare und Produktmenge Relationen Funktionen als eindeutige Relationen Graphische Darstellung zweidimensionaler Aussageformen im Koordinatensystem Definitions- und Wertebereich Graphische Darstellung von Relationen und Funktionen Formale Darstellung von Funktionen Umkehrrelationen und -funktionen Funktionsarten Algebraische Funktionen Rationale Funktionen Ganz-rationale Funktionen Gebrochen-rationale Funktionen Irrationale algebraische Funktionen Transzendente Funktionen Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen Trigonometrische Funktionen Sonderform konstante Funktion (A) Lineare Funktionen Begriff der linearen Funktion Steigung linearer Funktionen Konstante Funktionen (B) Parallelverschiebungen Lineare Umkehrfunktionen Anwendung linearer Funktionen in der Wirtschaftspraxis Nichtlineare Funktionen Einführung Ganz-rationale Funktionen Quadratische Funktionen Einführung Rein-quadratische Funktionen Gemischt-quadratische Funktionen Ermittlung des Scheitelpunktes Anwendung quadratischer Funktionen in der Wirtschaftspraxis Kubische Funktionen Graphische Betrachtung kubischer Funktionen Wirtschaftsmathematik (Lehrbuch 1) FELDHAUS VERLAG, Hamburg

6 Anwendung kubischer Funktionen in der Wirtschaftspraxis Gebrochen-rationale Funktionen Wurzelfunktionen Exponentialfunktionen Logarithmusfunktionen Folgen und Reihen Einführende Bemerkungen Formale Darstellung von Folgen Folgen und Funktionen Reihen Arithmetische Folgen Arithmetische Reihen Geometrische Folgen Geometrische Reihen Unendliche geometrische Folgen und Reihen 306 Teil 2 Wirtschaftsmathematik Wolf Rambatz 2.1 Lineare Algebra und Operations Research Einführung Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen Graphische Lösung Rechnerische Lösung Rechnerische Lösung mit Einsetzmethode Rechnerische Lösung mit Gleichsetzungsmethode Rechnerische Lösung mit Additionsmethode Rechnerische Lösung mit Determinanten Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen (A) Beispiele aus der Wirtschaftspraxis Lineare Gleichungssysteme mit drei und mehr Variablen Lösung von n n-systemen Lösung mit der Additionsmethode Rechnerische Lösung mit dem Gauß-Algorithmus Rechnerische Lösung mit Determinanten Entwicklung von Determinanten nach einer Zeile Determinanten bei Systemen mit n> Praktische Beispiele für n n-systeme Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen (B) Vektoren und Matrizen Mehrdimensionale Zahlenmengen Vektoren in Geometrie und Naturwissenschaften Vektoren in der linearen Algebra und Ökonomie Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl Addition von Vektoren Zusammenhang zwischen Vektoren und Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Vektor Lösung linearer Gleichungssysteme mit Hilfe der inversen Matrix Linearkombinationen von Vektoren 371 Wirtschaftsmathematik (Lehrbuch 1) FELDHAUS VERLAG, Hamburg 17

7 2.1.4 Lineare Ungleichungssysteme und lineare Optimierung mit zwei Variablen Einführung Graphische Darstellung linearer Ungleichungssysteme Graphische Darstellung der Zielfunktion mit Hilfe von Iso-Geraden Graphische Lösung (Maximierung) Abhängigkeit der Lösung von der Steigung der Zielfunktionsgeraden Graphische Lösung (Minimierung) Sonderfälle Zielfunktion parallel zu einer der Restriktionen Unterschiedliche Einheiten in den Restriktionen Gleichungen als Restriktionen (kombinierte Systeme A) Transportproblem (A) Lineare Optimierung mit drei und mehr Variablen (Simplex-Methode) Einführung Lösung mit der Simplex-Methode (Maximierung) Einführung von Schlupfvariablen Lineares Gleichungssystem Pivot-Verfahren Regeln für die Simplex-Methode Simplex-Methode mit der»greatest Change«-V ariante Nach unten einschränkende Bedingungen (unzulängliche Ausgangslösung) Gleichungen als einschränkende Bedingungen (kombinierte Systeme B) Minimierung mit der Simplex-Methode:Das duale Problem Sonderfälle Operations Research (Exkurs) Einführende Bemerkungen Erweiterungen und Anwendungen der Simplex-Methode Unter- und Obergrenzen (Bounds) Transportproblem (B) Netzplantechnik Methoden der Netzplantechnik Netzplantechnik nach CPM Netzplantechnik unter Berücksichtigung freier Pufferzeiten (CPM) Transportproblem als Zuordnungsproblem (C) 451 Formeln,Regeln und Definitionen 455 Stichwortverzeichnis Wirtschaftsmathematik (Lehrbuch 1) FELDHAUS VERLAG, Hamburg